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1、有限元数值求解微分方程原理及其约束条件的处理方法,课程：计算机在材料 科学中的应用 单位：湖北工业大学2013年2月,微课内容摘要,在讲述有限元数值求解微分方程过程原理基础上，针对各种初值与边界约束条件，重点提出了一种可行的处理方法。该方法简洁清晰，易学易用，对学习理解有限元法具有启发性。同时，这种方法具有可靠的依据，加以引申可拓展有限元对约束条件的适定范围，其理论推导值得深思。,1.1 一般二阶线性微分方程形式,1、预备知识,例1:具体的二阶线性微分方程及约束条件改写,1.2 最简积分型泛函,1、预备知识,例2：,1、预备知识,1.2 最简积分型泛函,有限元法数值求解微分方程过程原理,伽辽金
2、变分方法,2、泛函方程近似求解,近似解思路：就是将无限维函数解空间降维处理。具体说，就是构造有限N维函数空间，在每一维函数坐标确定一个基函数，同时每个基函数满足初始或边界条件。N个基函数要求线性无关，由这N个基函数进行唯一的线性结合，作为连续泛函方程的近似解。随着N维数增加，解的子空间扩大，近似解的精度提高。,2.1 近似求解思想,如左图所示，用4维函数空间的4个基函数的线性组合去近似更高维（或无限维）的函数,图1 4维函数空间选取的4 个基函数,因为每个基函数满足约束条件，所以连续的Galerkin变分形式可不必考虑约束条件。,例4：两点边值问题：,暂不必考虑边界两点约束条件，上述定解问题对
3、应的等价泛函形式：,2.2泛函方程近似求解实例,微分方程有限元法数值求解过程原理,3 有限元法求解微分方程及约束条件处理,x,x,x,x,x,3.1 限元法思想 将解空间的区间分段，解函数在每段上用拉格朗格插值基函数进行拟合，最后进行约束处理。,1.0,2,1.25,1.75,1.5,1.75,1.25,1.0,2.0,1.5,y(1),y(1.25),y(1.5),y(1.75),y(2),Y,X,叠加形成“总体刚度矩阵”和“总体截荷向量”：,微分方程有限元法数值求解过程原理,3.2、微分方程约束条件的处理,例4（续）两点边值问题：,现考虑边界两点约束条件，即对总体刚度矩阵与截荷矩阵附加约束。但先要对所给的初始边界条件改写，使之与第三类约束条件在形式上对应相符：,*初始及边界条件处理技巧,1）总结：a）本微课中的对约束条件的处理适用于如下4个式子的两两任意组合。,4 总结与思考,b）本微课中的对约束条件的处理方法的理论依据是微分方程对应的变分形式。,伽辽金变分方法,2)思考：a）微分方程的第三类约束条件是如何产生？它有何理论意义或含义？,b）讨论与作业：下两点边值问题的约 束条件如何处理，并求其数值解。,*附有相关的Matlab计算程序可用,谢谢大家,欢迎交流E-mail：,
