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1、实验,Experiments in Mathematics,微 分 方 程 求 解,实验目的,实验内容,MATLAB,2、学会用Matlab求微分方程的数值解.,实验软件,1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解.,1、求简单微分方程的解析解.,2、求微分方程的数值解.,微分方程的解析解,例1,输入：y=dsolve(Dy=1+y2)y1=dsolve(Dy=1+y2,y(0)=1,x),输出：y=tan(t-C1)（通解）y1=tan(x+1/4*pi)（特解）,MATLAB软件求解,例2 常系数的二阶微分方程,y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,x)y=dsolve(D2y
2、-2*Dy-3*y=0,y(0)=1,Dy(0)=0,x),输入：,x=dsolve(D2x-(1-x2)*Dx+x=0,x(0)=3,Dx(0)=0),无解析表达式！,x=dsolve(Dx)2+x2=1,x(0)=0),例4 非线性微分方程,x=sin(t)-sin(t)若欲求解的某个数值解，如何求解？,t=pi/2;eval(x),MATLAB软件求解,输入：x,y=dsolve(Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y)x,y=dsolve(Dx=3*x+4*y,Dy=-4*x+3*y,x(0)=0,y(0)=1),例5,输出：x=-exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2
3、*sin(4*t)y=exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t)x=exp(3*t)*sin(4*t)y=exp(3*t)*cos(4*t),MATLAB软件求解,解 输入命令：x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,.Dy=4*x-5*y+3*z,.Dz=4*x-4*y+2*z,t);x=simple(x)%将x简化 y=simple(y)z=simple(z),结 果 为：x=C3*exp(2*t)+exp(-t)*C1 y=C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t)+exp(-t)*C1 z=C2*exp(-2*t)+C3*exp(2*t),
4、微分方程的数值解,（一）常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。,因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。,返 回,（二）建立数值解法的一些途径,1、用差商代替导数,若步长h较小，则有,故有公式：,此即欧拉法。,2、使用数值积分,对方程y=f(x,y),两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：,实际应用时，与欧拉公式结合使用：,此即改进的欧拉法。,故有公式：,3、使用泰勒公式,以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方
5、法。,4、数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。,k越大，则数值公式的精度越高。,欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。,返 回,（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解,t，x=solver（f,ts,x0,options）,1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成。,2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组。,注意:,选择一组状态变量,注意,
6、1、建立M文件函数 function xdot=fun(t,x,y)xdot=x2(t)；x3(t)；f(t,x1(t),x2(t),xn(t)；2、数值计算（执行以下命令）t,x1,x2,xn=ode45(fun,t0,tf,x1(0),x2(0),xn(0),解:令 y1=x，y2=y1=x,1、建立m-文件vdp1000.m如下：function dy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2、取t0=0，tf=3000，输入命令：T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0
7、);plot(T,Y(:,1),-),3、结果如图,解 1、建立m-文件rigid.m如下：function dy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);,2、取t0=0，tf=12，输入命令：T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),3、结果如图,图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.,该方程无解析解！,（1）编写M文件(文件名为 vdpol.m):fu
8、nction dy=vdpol(t,y);dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=(1-y(1)2)*y(2)-y(1);%或 dy=y(2);(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,（2）编写程序如下:（vdj.m）t,y=ode23(vdpol,0,20,3,0);y1=y(:,1);%原方程的解 y2=y(:,2);plot(t,y1,t,y2,-)%y1(t),y2(t)曲线图 pause,plot(y1,y2),grid%相轨迹图，即y2(y1)曲线,蓝色曲线 y（1）；（原方程解）红色曲线 y（2）；,计算结果,例10 考虑Lorenz模型：,其中参数=8/
9、3，=10，=28,解：1）编写M函数文件(lorenz.m);2)数值求解并画三维空间的相平面轨线；(ltest.m),1、lorenz.mfunction xdot=lorenz(t,x)xdot=-8/3,0,x(2);0,-10,10;-x(2),28,-1*x;,2、ltest.mx0=0 0 0.1;t,x=ode45(lorenz,0,10,x0);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*,t,x(:,3),+)pauseplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid on,图中，x1的图形为实线(蓝），x2的图形为“*”线(绿)，x3的图形为“+”线
10、（红）。取t0，tf=0，10。,计算结果如下图：,曲线呈震荡发散状,三维图形的混沌状,若自变量区间取0，20、0，40，计算结果如下：,观察结果：,1、该曲线包含两个“圆盘”，每一个都是由螺线形轨道构成。某些轨道几乎是垂直地离开圆盘中一个而进入另一个。,2、随着t的增加，x(t)先绕一个圆盘几圈，然后“跳”到另一个圆盘中。绕第二个圆盘几圈，又跳回原来的圆盘。并以这样的方式继续下去，在每个圆盘上绕的圈数是随机的。,1）x0=0 0.1 0.1;t0,tf=0,30;解向量y2）x00=0.01 0.11 0.11;t0,tf=0,30;解向量x y x=(y1-x1,y2-x2,y3-x3),思考：该空间曲线与初始点x0的选择有关吗？,
