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1、第六章 微分方程问题的解法,微分方程的解析解方法常微分方程问题的数值解法微分方程问题算法概述四阶定步长 Runge-Kutta算法及 MATLAB 实现一阶微分方程组的数值解微分方程转换特殊微分方程的数值解边值问题的计算机求解偏微分方程的解,6.1 微分方程的解析解方法,格式：y=dsolve(f1,f2,fm)格式：指明自变量 y=dsolve(f1,f2,fm,x)fi即可以描述微分方程，又可描述初始条件或边界条件。如：描述微分方程时 描述条件时,例：syms t;u=exp(-5*t)*cos(2*t+1)+5;uu=5*diff(u,t,2)+4*diff(u,t)+2*uuu=87*
2、exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+10 syms t y;y=dsolve(D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=,.87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+10),y=dsolve(D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=,.87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1).+10,y(0)=3,Dy(0)=2,D2y(0)=0,D3y(0)=0),分别处理系数，如：n,d=rat(double(v
3、pa(-445/26*cos(1)-51/13*sin(1)-69/2)ans=-8704 185%rat()最接近有理数的分数判断误差：vpa(-445/26*cos(sym(1)-51/13*sin(1)-69/2+8704/185)ans=,y=dsolve(D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=,.87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+.10,y(0)=1/2,Dy(pi)=1,D2y(2*pi)=0,Dy(2*pi)=1/5);如果用推导的方法求Ci的值，每个系数的解析解至少要写出10数行,故可采用有理式近
4、似 的方式表示.vpa(y,10)%有理近似值ans=1.196361839*exp(-5.*t)+.4166666667-.4785447354*sin(t)*cos(t)*exp(-5.*t)-.4519262218e-1*cos(2.*t)*exp(-5.*t)-2.392723677*cos(t)2*exp(-5.*t)+.2259631109*sin(2.*t)*exp(-5.*t)-473690.0893*exp(-3.*t)+31319.63786*exp(-2.*t)-219.1293619*exp(-1.*t)+442590.9059*exp(-4.*t),例：求解 x,y=
5、dsolve(D2x+2*Dx=x+2*y-exp(-t),Dy=4*x+3*y+4*exp(-t),例：syms t x x=dsolve(Dx=x*(1-x2)x=1/(1+exp(-2*t)*C1)(1/2)-1/(1+exp(-2*t)*C1)(1/2)syms t x;x=dsolve(Dx=x*(1-x2)+1)Warning:Explicit solution could not be found;implicit solution returned.In D:MATLAB6p5toolboxsymbolicdsolve.m at line 292x=t-Int(1/(a-a3+
6、1),a=.x)+C1=0故只有部分非线性微分方程有解析解。,6.2 微分方程问题的数值解法6.2.1 微分方程问题算法概述,微分方程求解的误差与步长问题：,6.2.2 四阶定步长Runge-Kutta算法 及 MATLAB 实现,function tout,yout=rk_4(odefile,tspan,y0)y0初值列向量 t0=tspan(1);th=tspan(2);if length(tspan)=3,h=tspan(3);%tspan=t0,th,h else,h=tspan(2)-tspan(1);th=tspan(end);end 等间距数组 tout=t0:h:th;yout
7、=;for t=tout k1=h*eval(odefile(t,y0);%odefile是一个字符串变量，为表示微分方程f()的文件名。k2=h*eval(odefile(t+h/2,y0+0.5*k1);k3=h*eval(odefile(t+h/2,y0+0.5*k2);k4=h*eval(odefile(t+h,y0+k3);y0=y0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;yout=yout;y0;end 由效果看，该算法不是一个较好的方法。,6.2.3 一阶微分方程组的数值解6.2.3.1 四阶五级Runge-Kutta-Felhberg算法,通过误差向量调节步长，此为自动变步长
8、方法。四阶五级RKF算法有参量系数表。,6.2.3.2 基于 MATLAB 的微分方程,求解函数格式1：直接求解 t,x=ode45(Fun,t0,tf,x0)格式2：带有控制参数 t,x=ode45(Fun,t0,tf,x0，options)格式3：带有附加参数t,x=ode45(Fun,t0,tf,x0,options,p1,p2,)t0,tf求解区间，x0初值问题的初始状态变量。,描述需要求解的微分方程组：不需附加变量的格式 function xd=funname(t,x)可以使用附加变量 function xd=funname(t,x,flag,p1,p2,)t是时间变量或自变量（必须
9、给），x为状态向量，xd为返回状态向量的导数。flag用来控制求解过程,指定初值，即使初值不用指定，也必须有该变量占位。修改变量：options唯一结构体变量，用odeset()修改。options=odeset(RelTol,1e-7);options=odeset;options.RelTol=1e-7;,例：自变函数 function xdot=lorenzeq(t,x)xdot=-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3);,t_final=100;x0=0;0;1e-10;%t_final为设定的仿真终止时间
10、 t,x=ode45(lorenzeq,0,t_final,x0);plot(t,x),figure;%打开新图形窗口 plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);axis(10 42-20 20-20 25);%根据实际数值手动设置坐标系,可采用comet3()函数绘制动画式的轨迹。comet3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),描述微分方程是常微分方程初值问题数值求解的关键。f1=inline(-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);,.-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3),t,x);t_final=100;x0=0;0;1e-
11、10;t,x=ode45(f1,0,t_final,x0);plot(t,x),figure;plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);axis(10 42-20 20-20 25);得出完全一致的结果。,6.2.3.3 MATLAB 下带有附加参数的微分方程求解,例：,编写函数function xdot=lorenz1(t,x,flag,beta,rho,sigma)flag变量是不能省略的 xdot=-beta*x(1)+x(2)*x(3);-rho*x(2)+rho*x(3);-x(1)*x(2)+sigma*x(2)-x(3);求微分方程：t_final=100;x0=0;
12、0;1e-10;b2=2;r2=5;s2=20;t2,x2=ode45(lorenz1,0,t_final,x0,b2,r2,s2);plot(t2,x2),options位置为，表示不需修改控制选项 figure;plot3(x2(:,1),x2(:,2),x2(:,3);axis(0 72-20 22-35 40);,f2=inline(-beta*x(1)+x(2)*x(3);-rho*x(2)+rho*x(3);,.-x(1)*x(2)+sigma*x(2)-x(3),t,x,flag,beta,rho,sigma);flag变量是不能省略的,6.2.4 微分方程转换6.2.4.1 单
13、个高阶常微分方程处理方法,例：函数描述为：function y=vdp_eq(t,x,flag,mu)y=x(2);-mu*(x(1)2-1)*x(2)-x(1);x0=-0.2;-0.7;t_final=20;mu=1;t1,y1=ode45(vdp_eq,0,t_final,x0,mu);mu=2;t2,y2=ode45(vdp_eq,0,t_final,x0,mu);plot(t1,y1,t2,y2,:)figure;plot(y1(:,1),y1(:,2),y2(:,1),y2(:,2),:),x0=2;0;t_final=3000;mu=1000;t,y=ode45(vdp_eq,0
14、,t_final,x0,mu);由于变步长所采用的步长过小，所需时间较长，导致输出的y矩阵过大，超出计算机存储空间容量。所以不适合采用ode45()来求解，可用刚性方程求解算法ode15s()。,6.2.4.2 高阶常微分方程组的变换方法,例：,描述函数：function dx=apolloeq(t,x)mu=1/82.45;mu1=1-mu;r1=sqrt(x(1)+mu)2+x(3)2);r2=sqrt(x(1)-mu1)2+x(3)2);dx=x(2);2*x(4)+x(1)-mu1*(x(1)+mu)/r13-mu*(x(1)-mu1)/r23;x(4);-2*x(2)+x(3)-mu
15、1*x(3)/r13-mu*x(3)/r23;,求解：x0=1.2;0;0;-1.04935751;tic,t,y=ode45(apolloeq,0,20,x0);tocelapsed_time=0.8310 length(t),plot(y(:,1),y(:,3)ans=689得出的轨道不正确，默认精度RelTol设置得太大，从而导致的误差传递，可减小该值。,改变精度：options=odeset;options.RelTol=1e-6;tic,t1,y1=ode45(apolloeq,0,20,x0,options);tocelapsed_time=0.8110 length(t1),pl
16、ot(y1(:,1),y1(:,3),ans=1873,min(diff(t1)ans=1.8927e-004 plot(t1(1:end-1),diff(t1),例：,x0=1.2;0;0;-1.04935751;tic,t1,y1=rk_4(apolloeq,0,20,0.01,x0);tocelapsed_time=4.2570 plot(y1(:,1),y1(:,3)%绘制出轨迹曲线显而易见，这样求解是错误的，应该采用更小的步长。,tic,t2,y2=rk_4(apolloeq,0,20,0.001,x0);tocelapsed_time=124.4990 计算时间过长 plot(y2
17、(:,1),y2(:,3)%绘制出轨迹曲线严格说来某些点仍不满足106的误差限，所以求解常微分方程组时建议采用变步长算法，而不是定步长算法。,例：,用MATLAB符号工具箱求解，令 syms x1 x2 x3 x4 dx,dy=solve(dx+2*x4*x1=2*dy,dx*x4+3*x2*dy+x1*x4-x3=5,dx,dy)%dx,dy为指定变量dx=-2*(3*x4*x1*x2+x4*x1-x3-5)/(2*x4+3*x2)dy=(2*x42*x1-x4*x1+x3+5)/(2*x4+3*x2)对于更复杂的问题来说，手工变换的难度将很大，所以如有可能，可采用计算机去求解有关方程，获得
18、解析解。如不能得到解析解，也需要在描写一阶常微分方程组时列写出式子，得出问题的数值解。,6.3特殊微分方程的数值解 6.3.1 刚性微分方程的求解,刚性微分方程 一类特殊的常微分方程，其中一些解变化缓慢，另一些变化快，且相差悬殊，这类方程常常称为刚性方程。MATLAB采用求解函数ode15s()，该函数的调用格式和ode45()完全一致。t,x=ode15s(Fun,t0,tf,x0,options,p1,p2,),例：计算 h_opt=odeset;h_opt.RelTol=1e-6;x0=2;0;t_final=3000;tic,mu=1000;t,y=ode15s(vdp_eq,0,t_
19、final,x0,h_opt,mu);tocelapsed_time=2.5240,作图 plot(t,y(:,1);figure;plot(t,y(:,2)y(:,1)曲线变化较平滑,y(:,2)变化在某些点上较快。,例：定义函数function dy=c7exstf2(t,y)dy=0.04*(1-y(1)-(1-y(2)*y(1)+0.0001*(1-y(2)2;-104*y(1)+3000*(1-y(2)2;,方法一 tic,t2,y2=ode45(c7exstf2,0,100,0;1);tocelapsed_time=229.4700 length(t2),plot(t2,y2)an
20、s=356941,步长分析：format long,min(diff(t2),max(diff(t2)ans=plot(t2(1:end-1),diff(t2),方法二，用ode15s()代替ode45()opt=odeset;opt.RelTol=1e-6;tic,t1,y1=ode15s(c7exstf2,0,100,0;1,opt);tocelapsed_time=length(t1),plot(t1,y1)ans=169,6.3.2 隐式微分方程求解,隐式微分方程为不能转化为显式常微分方程组的方程例：,编写函数：function dx=c7ximp(t,x)A=sin(x(1)cos(
21、x(2);-cos(x(2)sin(x(1);B=1-x(1);-x(2);dx=inv(A)*B;求解：opt=odeset;opt.RelTol=1e-6;t,x=ode45(c7ximp,0,10,0;0,opt);plot(t,x),6.3.3 微分代数方程求解,例：,编写函数 function dx=c7eqdae(t,x)dx=-0.2*x(1)+x(2)*x(3)+0.3*x(1)*x(2);2*x(1)*x(2)-5*x(2)*x(3)-2*x(2)*x(2);x(1)+x(2)+x(3)-1;M=1,0,0;0,1,0;0,0,0;options=odeset;options
22、.Mass=M;Mass微分代数方程中的质量矩阵（控制参数）x0=0.8;0.1;0.1;t,x=ode15s(c7eqdae,0,20,x0,options);plot(t,x),编写函数：function dx=c7eqdae1(t,x)dx=-0.2*x(1)+x(2)*(1-x(1)-x(2)+0.3*x(1)*x(2);2*x(1)*x(2)-5*x(2)*(1-x(1)-x(2)-2*x(2)*x(2);,x0=0.8;0.1;fDae=inline(-0.2*x(1)+x(2)*(1-x(1)-x(2)+0.3*x(1)*x(2);,.2*x(1)*x(2)-5*x(2)*(1-
23、x(1)-x(2)-2*x(2)*x(2),t,x);t1,x1=ode45(fDae,0,20,x0);plot(t1,x1,t1,1-sum(x1),延迟微分方程求解,sol:结构体数据，sol.x:时间向量t,sol.y:状态向量。,例：,编写函数：function dx=c7exdde(t,x,z)xlag1=z(:,1);%第一列表示提取 xlag2=z(:,2);dx=1-3*x(1)-xlag1(2)-0.2*xlag2(1)3-xlag2(1);x(3);4*x(1)-2*x(2)-3*x(3);历史数据函数：function S=c7exhist(t)S=zeros(3,1)
24、;,求解：lags=1 0.5;tx=dde23(c7exdde,lags,zeros(3,1),0,10);plot(tx.x,tx.y(2,:)与ode45()等返回的x矩阵不一样，它是按行排列的。,6.4边值问题的计算机求解,6.4.1 边值问题的打靶算法,数学方法描述：以二阶方程为例,编写函数：线性的function t,y=shooting(f1,f2,tspan,x0f,varargin)t0=tspan(1);tfinal=tspan(2);ga=x0f(1);gb=x0f(2);t,y1=ode45(f1,tspan,1;0,varargin);t,y2=ode45(f1,ts
25、pan,0;1,varargin);t,yp=ode45(f2,tspan,0;0,varargin);m=(gb-ga*y1(end,1)-yp(end,1)/y2(end,1);t,y=ode45(f2,tspan,ga;m,varargin);,例：编写函数：function xdot=c7fun1(t,x)xdot=x(2);-2*x(1)+3*x(2);function xdot=c7fun2(t,x)xdot=x(2);t-2*x(1)+3*x(2);t,y=shooting(c7fun1,c7fun2,0,1,1;2);plot(t,y),原方程的解析解为解的检验 y0=(exp
26、(2)-3)*exp(t)+(3-exp(1)*exp(2*t)/(4*exp(1)*(exp(1)-1)+3/4+t/2;norm(y(:,1)-y0)%整个解函数检验ans=4.4790e-008 norm(y(end,1)-2)%终点条件检验ans=2.2620e-008,非线性方程边值问题的打靶算法：用Newton迭代法处理,编写函数：function t,y=nlbound(funcn,funcv,tspan,x0f,tol,varargin)t0=tspan(1);tfinal=tspan(2);ga=x0f(1);gb=x0f(2);m=1;m0=0;while(norm(m-m
27、0)tol),m0=m;t,v=ode45(funcv,tspan,ga;m;0;1,varargin);m=m0-(v(end,1)-gb)/(v(end,3);end t,y=ode45(funcn,tspan,ga;m,varargin);,例：编写两个函数：function xdot=c7fun3(t,x)xdot=x(2);2*x(1)*x(2);x(4);2*x(2)*x(3)+2*x(1)*x(4);function xdot=c7fun4(t,x)xdot=x(2);2*x(1)*x(2);,t,y=nlbound(c7fun4,c7fun3,0,pi/2,-1,1,1e-8)
28、;plot(t,y);set(gca,xlim,0,pi/2);精确解：检验：y0=tan(t-pi/4);norm(y(:,1)-y0)ans=1.6629e-005 norm(y(end,1)-1)ans=5.2815e-006,6.4.2 线性微分方程的有限差分算法,把等式左边用差商表示。,编写函数：function x,y=fdiff(funcs,tspan,x0f,n)t0=tspan(1);tfinal=tspan(2);ga=x0f(1);gb=x0f(2);h=(tfinal-t0)/n;for i=1:n,x(i)=t0+h*(i-1);end,x0=x(1:n-1);t=-
29、2+h2*feval(funcs,x0,2);tmp=feval(funcs,x0,1);v=1+h*tmp/2;w=1-h*tmp/2;b=h2*feval(funcs,x0,3);b(1)=b(1)-w(1)*ga;b(n-1)=b(n-1)-v(n-1)*gb;b=b;A=diag(t);for i=1:n-2,A(i,i+1)=v(i);A(i+1,i)=w(i+1);end y=inv(A)*b;x=x tfinal;y=ga;y;gb;,例：编写函数：function y=c7fun5(x,key)switch key case 1,y=1+x;case 2,y=1-x;other
30、wise,y=1+x.2;end t,y=fdiff(c7fun5,0,1,1,4,50);plot(t,y),6.5 偏微分方程求解入门 6.5.1 偏微分方程组求解,函数描述：,边界条件的函数描述：初值条件的函数描述：u0=pdeic(x),例：,函数描述：,function c,f,s=c7mpde(x,t,u,du)c=1;1;y=u(1)-u(2);F=exp(5.73*y)-exp(-11.46*y);s=F*-1;1;f=0.024*du(1);0.17*du(2);,描述边界条件的函数function pa,qa,pb,qb=c7mpbc(xa,ua,xb,ub,t)pa=0;
31、ua(2);qa=1;0;pb=ub(1)-1;0;qb=0;1;,描述初值：function u0=c7mpic(x)u0=1;0;求解：x=0:.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,c7mpde,c7mpic,c7mpbc,x,t);surf(x,t,sol(:,:,1)，figure;surf(x,t,sol(:,:,2),6.5.2 二阶偏微分方程的数学描述,椭圆型偏微分方程：,抛物线型偏微分方程：双曲型偏微分方程：特征值型偏微分方程：,6.5.3 偏微分方程的求解界面应用简介 6.5.3.1 偏微分方程求解程序概述,启动偏微分方程求解界面在 MATLAB
32、下键入 pdetool 该界面分为四个部分菜单系统工具栏集合编辑求解区域,6.5.3.2 偏微分方程求解区域绘制,1）用工具栏中的椭圆、矩形等绘制一些区域。2）在集合编辑栏中修改其内容。如（R1E1E2）E33）单击工具栏中 按纽可得求解边界。4）选择Boundary-Remove All Subdomain Borders菜单项，消除相邻区域中间的分隔线。5）单击 按纽可将求解区域用三角形划分成网格。可用 按纽加密。,6.5.3.3 偏微分方程边界条件描述,选择Boundary-Specify Boundary Conditions菜单,6.5.3.4 偏微分方程求解举例,例：求解：1）绘制
33、求解区域。2）描述边界条件（Boundary-Specify Boundary Conditions）。3）选择偏微分方程的类型。单击工具栏中的PDE图标，在打开的新窗口选择Hyperbolic选项，输入参数c,a,f,d.4）求解。单击工具栏中的等号按钮。,显示：1）图形颜色表示t=0时u(x,y)的函数值。2）单击工具栏中的三维图标将打开一新的对话框，若再选择Contour可绘制等值线，若选择Arrows选项可绘制引力线。若单独选择Height（3d-plot)，则在另一窗口绘制出三维图形。3）可在单击三维图标打开的新对话框中，对Property栏目的各个项目重新选择。4）可修改微分方程的
34、边界条件，重新求解。动画：1）Solve-Parameters对话框时间向量改为0:0.1:2。2）三维图标打开的对话框中选择Animation选项，单击Options按纽设置播放速度。Plot-Export Movie 菜单。,6.5.3.5 函数参数的偏微分方程求解,例：(椭圆型）,求解：1）求解区域不变。2）描述边界条件，u=0。3）选择偏微分方程的类型。单击工具栏中的PDE图标，在打开的新窗口选择Elliptic选项，输入参数c=1./sqrt(1+ux.2+uy.2),a=x.2+y.2,f=exp(-x.2-y.2).4)再打开Solve-Parameters对话框，选定Use nonlinear solve属性（该属性只适于椭圆性偏微分方程）5）求解。单击工具栏中的等号按钮。,
