常微分方程与运动稳定性-第一篇.ppt

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1、常微分方程 与 运动稳定性,天津大学研究生课程,常微分方程与运动稳定性 既是一门重要的基础理论课程，又有广泛的工程应用背景，在机械，电力能源，电讯，化工，航空航天，生物，经济和社会等领域发挥着越来越大的作用。掌握本课程的基本解法和基本定理，是学习后续课程(非线性振动、分岔混沌理论、控制)所必需的，同时也为今后的科学研究工作打下良好的基础。,绪 论,主要研究内容包括：,常微分方程研究常微分方程(组)基础理论及其具体解法；运动稳定性研究李雅普诺夫稳定性理论及其在若干系统中的应用；定性理论研究平面动力系统的初等奇点分布，相轨线形态和作图法，以及极限环的性质。,第一篇 常微分方程,引 言,常微分方程已

2、有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。,牛顿最早采用数学方法研究二体问题中的常微分运动方程，从而在理论上证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，澄清了当时关于地球将坠毁于太阳的一种悲观论点。另外，莱布尼兹也经常与牛顿在通信中互相提出求解微分方程的挑战。,其后，许多著名数学家也都遵循这一历史传统，把数学研究结合于当时许多重大的实际力学问题，在这些问题中通常离不开常微分方程的求解法。海王星的发现是通过对常微分方程的近似计算得到的；十九世纪在天体力学上的主要成就应功于拉格朗日对线性常微分方程的工作。,自本世纪二十年代以来，常微分方程的应用范围更是不断

3、扩大并深入到机械，电讯，化工，生物，航空航天，经济和其它社会学科的各个领域，各种成功的实例是不胜枚举的。,本篇主要介绍常微分方程的一些基本定理、常用解法和计算机应用。第一章 基本概念 中介绍微分方程及其解的定义和几何解释，以及重要的理论基础：解的存在性、唯一性定理、和解对初值(及参数)的连续性、可微性定理；第二章 初等积分法 以恰当方程和积分因子为主线贯穿各种求解法；近似解法；第三章 线性微分方程组 本篇的重点，它是第二篇以及以后一些专业课程的基础，重点放在具体解法上。,参考教材,丁同仁，常微分方程教程，高教出版社，1991叶彦谦，常微分方程讲义，人教出版社，1982陆启韶，常微分方程与定性理

4、论，1990天大编，常微分方程与定性理论周义仓，常微分方程及其应用，科学出版社，2003,第一章 基本概念,第一节 微分方程及其解的定义,第二节 存在和唯一性定理,第三节微分方程及其解的几何解释,第一节 微分方程及其解的定义,定义 1 由单个自变量x，这个自变量的未知函数 y=y(x)，及其直到n阶导数组成的函数方程,(1.1),叫作 n 阶常微分方程。,如果函数F对未知函数 y和它的各阶导数y,y(n)的全体均是一次的，则是线性常微分方程，否则为非线性常微分方程。(1.2)和(1.5)是线性的；(1.3)和(1.4)是非线性的。,。,分别都是微分方程(1.2)在区间(-,0)或(0,+)上的

5、一个解(C是任意的常数).,对一切xJ都成立，则 y=j(x)是微分方程(1.1)在定义区间J上的一个解。,定义2 设函数 y=j(x)在区间J上连续，且有直到n阶的连续导数，且,.,可以验证,不是(1.2)的解,(1.1),(1.2),分别都是在区间(-,+)上的一个解.,也是在区间(-,+)上的一个解(C1和C1是任意常数)。,对于微分方程(1.5)：,定义3 设n阶微分方程(1.1)的解 y=j(x,C1,C2,Cn)包含n个独立的任意常数C1,C2,Cn,则称为通解；y=j(x)（不包含任意常数）称为特解。,n 个任意常数C1,C2,Cn是独立的含义：j,j,，j(n-1)关于C1,C

6、2,Cn的Jacobi行列式,是方程(1.5)的通解；,是(1.5)的特解。,例如：自由落体运动方程,初值问题,mg,上式两侧对t积分两次，得到,C1,C2 任意常数。,若给定初值条件：,可确定：,结论：自由落体运动在给定初值条件下，惟一地确定一个解,(1.6),一般情况下 n 阶微分方程的初值形式如下，,第二节 存在和唯一性定理,Lipschiz 条件：,毕卡定理：,一般情况下 n 阶微分方程的初值形式如下，,(1.6),毕卡定理,考虑一阶微分方程,(1.7),其中f(x,y)是平面区域G内给定的连续函数(fGC)。其解为：,第三节 微分方程及其解的几何解释,所以微分方程及其解的几何解释为：

7、给定微分方程就是给定平面区域G上的一个方向场。,解：,方向场如图（1.1）。直线 y=kx 就是微分方程的积分曲线，其中 k 是任意常数。,这种用隐函数方式给出的通解，叫作方程的通积分。,定义：若由隐函数(x,y)=0 确定的函数：=(x)是(1.1)的解，则(x,y)=0 为(1.1)的通积分。,-C是任意常数。,(1.9),第二章 初等积分法,第一节 全微分方程（恰当方程）,第二节 变量分离的方程,第三节 一阶线性方程,第四节 积分因子法,第一节 全微分方程（恰当方程）,(2.1),(2.2),则(2.1)为全微分方程。,就是方程(2.1)的一个通积分。,例 求解微分方程,解：,(2.6)

8、,则对x积分第一式:,再将它代入上面第二式，即得,由此得出：,为方程(2.8)的通积分，其中C为任意常数。,解：,第二节 变量分离的方程,微分方程(2.10)为变量分离的方程,(2.10),若函数P(x,y)和Q(x,y)均可表示为x的函数与 y的函数的乘积。,令：,例：,问题:(2.13)与(2.11)是否同解?,(2.11),积分得：,(*)=,利用方向场并参照通积分表达式，作出积分曲线族:,第三节 一阶线性方程,一阶线性非齐次方程,(2.14),先讨论(2.15)的求解:,通解为:,其中 p(x)，q(x)C,当 x I=(a,b).,(2.15),讨论(2.14)的求解,将其改写为：,

9、(2.16),-恰当方程.其通积分为：,积分因子法,cc,例.求解微分方程,解：计算积分因子,乘以原式两端得,或,通常把通解(2.17)中的不定积分写成变上限的定积分，即,1.(2.15)的解恒等于零或恒不等于零。,2.线性方程的解是整体存在的，即(2.14)或(2.15)的任一解都在 I 上存在。,3.(2.15)任意解的线性组合仍为其解，(2.14)和(2.15)的任意解之和仍为(2.14)的解，(2.14)的任意两解之差是(2.15)的解。,4.(2.14)任一解加上(2.15)的通解为(2.14)的通解。,5.线性方程的初值问题(2.18)的解存在且唯一。,线性微分方程的一些性质：,由

10、(2.20)得,第四节 积分因子法,(2.20),记,得积分因子为：,积分因子,例.求解微分方程,解：,乘以积分因子得：,第五节 近似解法,逐次迭代法 Picard迭代序列Taylor 级数 Euler折线法 微分中值定理,第三章 线性微分方程组,记：,考虑 n 阶线性微分方程,第一节 一般理论,(3.1)的相应的齐次线性方程组为：,(3.2),1.1 齐次线性微分方程,(3.4),线性无关,即存在线性映射 H:Rn,证明：利用行列式的基本性质可得,从引理2的证明中可见，,推论 1 解组(3.7)式线性相关的充要条件为,(3.13),解 不难验证,所以(3.13)是一个基本解组(3.12)是通

11、解。,由解组(3.7)构成的方程(3.2)的解矩阵,亦即方程(3.2)的解矩阵 Y(x)是方程(3.2)的矩阵解，反之亦然。,1.2 非齐次线性微分方程组,得证,利用常数变易法可以求得(3.1)的一个特解(已知(3.2)的一个基解矩阵)。,(3.17),(3.20),(3.21),解：由例1知道，相应的齐次方程组的一个基解矩阵为：,例2.求解初值问题,解：原方程,(*)式的通解为,第二节 常系数线性微分方程组,如何求(3.24)的一个基解矩阵？,当 n=1 时，A=a 为一个实数，(3.24)为,2.1 矩阵指数函数的定义和性质,定义 矩阵A的指数函数为,矩阵指数函数的性质：,2.2 常系数齐

12、次线性微分方程组的基解矩阵,证明：矩阵指数函数为,逐项求导,(3.26),例,(3.29)和(3.28)代入(3.27)得：,任意矩阵Jordan标准型JE+Z e xJ-初等函数有限和,2.3 利用Jordan型求基解矩阵,Jordan标准型,假设Jordan块,缺点:求Jordan标准型 J 和变换阵成过急P 的计算量太大,2.4 特征根法,利用式(3.34),应用待定系数法，可直接求得(3.24)的相应基解矩阵，按矩阵 A 的Jordan 型特征根的重数分为两种情况：,(一)A 只有单的特征根,(3.35),证明：将y代入(3.24)即可,则 y1的共轭复值解:,例3 求微分方程组的通解

13、。,解：求特征值,所以方程的通解为：,例 求解微分方程组,解：易知,解矩阵可取为：,求实基解矩阵(3.35)：,通解为,另一种做法：从复值解提取所需的实值解；,它的实部和虚部为：,是两个线性无关解，由此同样可得通解。注意,y1 的共轭为,的第一列为：,(一)A 只有单的特征根,(3.24),齐次线性方程组,(3.36),(二)A有重特征根,比较 x 的同次幂的系数可得：,证明：把(3.36)代入(3.24)得：,(3.36),(3.39),证明：,(3.37),例 求解方程组,解：,把以上结果代入(3.39)式，可得到一个基解矩阵,通解为：,例 求解方程组,解：,可直接验证下式不等于零：,例

14、求解方程组,解：由第三个方程,把 y3 代入到第二个方程，得到：,将 y2代入第一个方程，得到：,方程组的通解：,第三节 高阶线性微分方程,(3.42),(3.44),*微分方程(3.41)满足初值条件,(3.47),3.1 高阶线性微分方程的一般理论,(3.42),(3.42),积分可得出(3.51),证明：,即得结论,解 直接由公式(3.52)和(3.53)得通解为：,(3.55),也可以用常数变易法推导(3.55)式。,与(3.54)相对应的齐次方程的通解为：,求导得：,联立式(3.57)和(3.58)，可以解出,积分上式，再代回到(3.56)式中，整理后就得到(3.55)式。,求导得：

15、,3.2 常系数高阶线性微分方程,(3.57),(3.58),注：有一对复特征根的情况:由实部和虚部提取实值解,例 求解微分方程,解：特征方程为,特征根为0，-1 和 2,例 求解微分方程,解：特征方程,取复值解,原方程通解：,解：相应齐次线性微分方程的特征方程为,由此可得齐次方程的一个基本解组：,利用常数变易法求得原方程的通解为：,利用待定系数法来确定方程的特解,例如，假设方程(3.50)中的非齐次项,例 求解微分方程,解：特征方程为：,由此推知：,原方程的通解为：,例求解微分方程,例求解线性微分方程组,解：从第一个方程可得,求出它的一个基本解组为,得到原来微分方程组的通解为：,第三节 一阶线性方程,一阶线性非齐次方程,(2.14),当 q(x)=0 时,(2.14)的齐次方程,(2.15),先讨论(2.15)的求解:,通解为:,其中 p(x)，q(x)C,当 x I=(a,b).,(2.15),