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1、5.3 有限字长运算对数字滤波器的影响,DF的实现，涉及到两种运算：相乘、求和。定点制运算中，每一次乘法运算之后都要作一次舍入（截尾）处理，因此引入了非线性，采用统计分析的方法，将舍入误差作为独立噪声e(n)迭加在信号上，因而仍可用线性流图表示定点相乘。,定点相乘运算统计分析的流图表示,对舍入噪声e(n)作如下的假设：,1.e(n)为平稳随机噪声序列；2.e(n)与输入序列 x(n)不相关，各噪声之间也互不相关。3.e(n)为白色噪声；4.在量化间隔上均匀分布（即每个噪声都是均匀等概率分布）。有了这些条件，整个系统就可作为线性系统处理。每一个噪声可用第一章所讲的线性离散系统的理论求出其输出噪声
2、，所有输出噪声经线性迭加得到总的噪声输出。,下面分析三种情况下的有限字长效应：IIR滤波器 FIR滤波器 FFT计算计算输出的量化噪声方差,5.3.1 IIR 的有限字长效应 以一阶IIR滤波器为例，其输入与输出关系可用差分方程表示为：乘积项将引入一个舍入噪声，如图 上述一阶系统的单位脉冲响应为 系统函数为 由于 是迭加在输入端的，故由 造成的输出误差为：,输出噪声方差 或 由上两式均可求得 可见字长 越大，输出噪声越小，同样的方法可分析其它高阶DF的输出噪声。,例4：一个二阶IIR低通数字滤波器，系统函数为 采用定点制算法，尾数作舍入处理，分别计算其直接型、级联型、并联型三种结构的舍入误差。
3、解：直接型,直接型结构流图如图,图中、分别为系数0.04、1.7、-0.72相乘后引入的舍入噪声。采用线性迭加的方法，从图上可看出输出噪声 这三个舍入噪声通过网络 形成的，如图5.28b，因此 是H0(z)的单位脉冲响应,输出噪声的方差为：,输出噪声的方差为：将 代入，利用留数定理得：,级联型 将H(z)分解 结构流图为 图5.29 IIR级联型的舍入噪声分析,由图中可见，噪声、通过 网络，噪声 只通过网络，即,和 分别是H1(z)和H2(z)的单位脉冲响应,因此：将 代入，得：（思考：如果将H1(z)和H2(z)次序颠倒，结果会怎样）,因此：将 代入，得：,并联型 将H(z)分解为部分分式
4、其结构如图：0.36 0.9-0.32 0.8图 IIR并联型的舍入噪声分析,并联型结构有4个系数，有4个舍入噪声，其中 只通过 网络，通过 网络。输出噪声方差为：代入B1(z)和B2(z)及 的值，得：,比较三种结构的误差大小，可知 直接型 级联型 并联型原因：l直接型结构的所有舍入误差都经过全部网络的反馈环节，反馈过程中误差积累，输出误差很大。l级联型结构，每个舍入误差只通过其后面的反馈环节，而不通过它前面的反馈环节，误差小于直接型。l并联型：每个并联网络的舍入误差只通过本身的反馈环节，与其它并联网络无关，积累作用最小，误差最小。,该结论对IIR DF有普遍意义。因此，从有限字长效应看，直
5、接型（、型）结构最差，运算误差最大，高阶时避免采用。级联型结构较好。并联型结构最好，运算误差最小。结论：IIR滤波器的有限字长效应与它的结构有关。,5.3.2 FIR的有限字长效应 IIR的分析方法同样适用于FIR滤波器，FIR滤波器无反馈环节（频率采样型结构除外），不会造成舍入误差的积累，舍入误差的影响比同阶IIR滤波器小，不会产生非线性振荡。以横截型结构为例分析FIR的有限字长效应。,舍入噪声 N 阶FIR的系统函数为：无限精度下，直接型结构的差分方程为：有限精度运算时，,每一次相乘后产生一个舍入噪声 故 输出噪声为：如图。,图中可见，所有舍入噪声都直接加在输出端，因此输出噪声是这些噪声的
6、简单和。于是，输出噪声方差与字长有关，与阶数有关，N越高，运算误差越大，或者，在运算精度相同的情况下，阶数越高的滤波器需要的字长越长。,例：FIR滤波器，N=10，b=17时N=1024时，因此，滤波器输出中，小数点后只有4位数字是有效的。,动态范围：定点运算时，动态范围的限制，常导致FIR的输出结果发生溢出。利用比例因子，压缩信号的动态范围，可避免溢出。FIR输出：,定点数不产生溢出的条件：为使结果不溢出，对 采用标度因子A，使由此确定A。,对于窄带信号略显保守,5.3.3 FFT计算中的有限字长效应,按时间抽取的8点FFT,M级、N/2个蝶形结,1、输出噪声的方差：,xl-1(m),e(l
7、,n),xl(m),xl-1(n),蝶形运算的量化误差,-1,xl(n),相乘所引入的舍入误差源是复数，每个复乘包括4个实乘，每个定点实乘产生一个舍入误差源，因此产生四个误差源e1，e2，e3和e4，即,当误差源e(l,n)通过后级蝶形结时，加、减运算是不会影响方差的，而通过乘系数 后，对方差的影响为：,e(l,n)通过所有蝶形结时，加、减和乘的运算对方差均无影响。这样，计算FFT的最后输出误差，只需知道输出结点共连接多少个蝶形结即可。,连接到X(k)末端的误差源总数为,X(k)上叠加的输出噪声 的均方值(即为方差，因均值为零)为:,蝶形结输出的最大模值小于等于输入最大模值的两倍,因此，FFT
8、最后输出最大值有可能等于输入值的 倍，即,因而要求,2、输出的信噪比,这意味着为了防止溢出，可以在输入端一次性乘上比例因子1/N。如果假设x(n)在区间内 是均匀等概分布的，因而x(n)的方差为,而,因而,从而得到在这种防止溢出方法下输出的信噪比。,第二种方法：引入了1/2的比例因子避免输出信噪比过小问题,一个蝶形结乘1/2后所形成的总的误差方差为,但每往前一级，其引入误差的方差要降低到1/4倍。参照图蝶形结的联接，则可求出总的输出噪声方差为,考虑到输出信号的方差仍为,则可得到,蝶形结个数,此时信噪比值不再和N平方成反比，而是和N成反比，信噪比大大提高，这显然比把1/N的比例因子全放在输入端的
9、情况要好得多。,还有一种防止溢出的方法是采用成组浮点运算。基本思想是对FFT蝶形运算的每一级输出的N个数共用一个阶码。计算按定点运算进行，开始时对于所有的输入定点数x(n)，n=0,1,2,N-1，共用的阶码c=0。一级级做蝶形运算，一旦某个蝶形结计算中出现溢出，则将整个这一级的序列（运算过的和未运算过的）全部乘1/2，并在阶码c上加1，然后运算从发生溢出的蝶形结继续下去。当以后某级蝶形运算又出现溢出时，再对该级的序列乘上1/2衰减因子，并在阶码c上加1，直到M级计算完为止。这种办法要增加检验溢出的判断步骤，目前许多信号处理硬件均具有溢出检测功能，在做加减运算的同时一旦发生溢出就自动将溢出标志位置位。最后FFT结果的比例因子即为,此法可以提高FFT的信噪比,
