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1、4.4 FIR数字滤波器的最优化设计,前面介绍了FIR数字滤波器的两种逼近设计方法，即窗口法（时域逼近法）和频率采样法（频域逼近法），用这两种方法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频率特性Hd(ej)的逼近。说到逼近，就有一个逼近得好坏的问题，对“好”“坏”的衡量标准不同，也会得出不同的结论，我们前面讲过的窗口法和频率采样法都是先给出逼近方法、所需变量，然后再讨论其逼近特性，如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参数，以获取最优的结果，这就引出了最优化设计的概念，最优化设计一般需要大量的计算，所以一般需要依靠计算机进行辅助设计。,最优化设计的前提是最优准则的确定，在FIR滤波器
2、最优化设计中，常用的准则有 最小均方误差准则 最大误差最小化准则。1)均方误差最小化准则，若以E(ej)表示逼近误差，则 那么均方误差为,均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误差，这一方法注重的是在整个-频率区间内总误差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点可能会有较大的误差，对于窗口法FIR滤波器设计，因采用有限项的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近误差为：如果采用矩形窗 则有,在矩形窗内与理想的完全相同，窗外是不可控制的，此时误差最小，与其它窗函数相比,矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差FIR设计，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大
3、,或者说误差分布不均匀。2)最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则）,表示为 其中F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个频率采样值（或时域 h(n)值），在给定频带范围内使频响的最大逼近误差达到最小。也叫等波纹逼近。优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。,例如，我们提到的频率采样最优化设计，它是从已知的采样点数N、预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取样（即过渡带取样）出发，利用迭代法（或解析法）得到具有最小的阻带最大逼近误差（即最大的阻带最小衰减）的FIR滤波器。但它只是通过改变过渡
4、带的一个或几个采样值来调整滤波器特性。如果所有频率采样值（或FIR时域序列h(m)）都可调整，显然，滤波器的性能可得到进一步提高。,零相位滤波器作为研究对象（4.75）对于M阶滤波器，其极值点个数（4.76）问题生成（4.81）算法（4.82）估算公式（4.84）,讨论对象：零相位滤波器,假定滤波器的单位脉冲响应h(n)为对称于n=0的单位脉冲响应，且N为奇数，此时，线性相位因子a=0.令N=2M+1,M为任意正整数，则滤波器频率响应可写为,对于零相位，要求h(n)=h(-n)，由于h(n)的对称特性，则,式中，a(0)=h(0);a(n)=2h(n),n0。由上式可见，零相位滤波器的频率响应
5、应是一纯实数。本节以此滤波器为例来讲解。,低通滤波器的误差分配,设计目标：假定希望设计一个如图所示的滤波器，各个参数的含义,切比雪夫最佳一致逼近 如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数：M、c、r、1、2按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带 0 p 内以最大误差 1 逼近1，在阻带r 内 以最大误差2逼近零。要同时确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法：1）给定M、1、2，以c和r为变量。缺点：边界频率不能精确确定。2）给定M、c和r，以1和2为变量，通过迭代运算，使逼近误差1和2 最小，并确定h(n)切比雪 夫最佳一致逼近。特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。,一
6、.误差函数 定义逼近误差函数：,为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和阻带内的误差值，是已知的权函数，在不同频带可取不同的值，将通阻带波动统一起来 所要设计的滤波器的幅频特性 理想滤波器的幅频特性,(4.79),希望在固定 M,c,r 的情况下逼近一个低通滤波器，这时有,对于表4.1中的第一种滤波器，,使得在各频带上的加权误差最大值一样,（P137:4.15）,给定后等效于求(阻带衰减)最小。,于是,切比雪夫逼近问题变为，寻求一组系数 使逼近误差的最大值达到最小，即,二.交替定理（最佳逼近定理）令F表示闭区间 的任意闭子集，为了使 在 F 上唯一最佳地逼近于,其充分必要条件是误差函数
7、在 F 上至少应有（M+2）次“交替”，即其中，且 属于F。1）至少有 M+2 个极值，且极值相互“交替”，具有等 波纹的性质，2）由于 是常数，所以 的极值也就是 的极值。,要有M+2个极值频率点近似系统响应,借助于低通滤波器的设计，可以直观地解释这个定理。这时，闭子集F包括区间 和。因为滤波器频响 是逐段恒定的，所以对应于误差函数 各峰值点的频率 同样也对应于 恰好满足误差容限时的频率。根据前面的讨论，在开区间 内至多有M-1个极值，此外，根据通带和阻带的定义，令 的约束条件为，,，再加上 和处的极值，误差曲线极值频率（交替）满足定理。,逼近方法：固定 k、M、和，以 作为参变量。按照交替
8、定理，如果 F 上的M+2个极值点频率 已知，则由（1）式可得到 M+2 个方程：,为极值点频率对应的误差函数值。,M+2个极值频率点给出M+2个方程未知系数M+1个a(n)和,注意：极值点频率必须位于 和区间内。由于 和 固定，因而 和 必为这些极值频率中的一个，设，则应有 求解上述方程组可得到全部系数问题：1）实际情况下，M+2 个极值点频率未知；2）直接求解上述非线性方程组比较困难。,雷米兹（Remez）算法给出了求解切比雪夫最佳一致逼近问题的方法。,雷米兹交替算法,圆点-第一次迭代的极值频率点叉内插多项式的极值点，新的极值频率点,三.雷米兹（Remez）算法,1）在频率子集 F 上均匀
9、等间隔地选取 M+2 个极值点频率,2）由 求 和利用重心形式的拉格朗日插值公式，,其中,如在频带 F 上，对所有频率都有，则 为第一次获取的最大误差，即为极值点频率。,3）对上次确定的极值点频率 中的每一点，在其附近检查是否在某一频率处有，如有，则以该频率点作为新的局部极值点。对 M+2 个极值点频率依次进行检查，得到一组新的极值点频率。重复步骤1）、2），求出，完成一次迭代。重复上述步骤，直到 的值改变很小，迭代结束，这个 即为所求的 最小值。由最后一组极值点频率求出，反变换得到,完成设计。优点：可准确确定；逼近误差均匀分布，相同指标下，滤波器所需阶数低。,有一些估算公式可用于决定最佳滤波器长度N：,对于窄带低通滤波器，对滤波器长度N起主要作用：,Parks-McClellan FIR filter,Matlab函数remez(Obsolete)firpm,4.5 IIR与FIR数字滤器的比较,低,滤波器设计就是求h(n)、H(z)或者说频率响应不同的设计方法只是从不同的思考角度来达到这一目的,
