机器人技术第三章机器人运动学及其数学基础.ppt

《机器人技术第三章机器人运动学及其数学基础.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机器人技术第三章机器人运动学及其数学基础.ppt（150页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、I.机器人学,机器人学机械电子工程Dr.Kevin Craig,I.机器人学,IEEE International Conference on Robotics and Automation(ICRA)2010 安克雷奇 文章：856/2034 分会场：154 国家：47IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems(IROS)2009 圣路易斯 文章：936/1599 分会场：192 国家：53,I.机器人学,Technical Session的主要内容,Human robot interactionMe

2、dical roboticsSensor fusionLegged robotsUnderwater robotsManipulator motion planningCamera calibrationIntelligent transportation systemsSLAM:Features and landmarks,Humanoid robot body motionMicrorobotsBiologically-inspired robotic devicesRehabilitation roboticsField roboticsGraspingNanorobotic manip

3、ulationFish-like robotParallel robot,第二章 机器人运动学及其数学基础,参考教材,美付京逊机器人学中南大学蔡自兴机器人学美理查德鲍尔机器人操作手数学编程与控制,参考教材,美付京逊机器人学,美籍华人普渡大学（Purdue University）电机工程专业著名教授4部著作、400多篇论文第一任国际模式识别学会会长，被誉为自动模式识别之父1985年去世,参考教材,中南大学蔡自兴,中南大学教授，我国人工智能和机器人领域著名专家中国人工智能学会智能机器人专委会理事长曾与付京逊教授一起工作过,第一节 引言,串联机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移

4、动关节串联而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端执行器），用以操纵物体，或完成各种任务,关节的相对运动导致杆件的运动，使末端执行器定位于所需要的方位上在一般机器人应用问题中，人们感兴趣的是：末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学问题机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系,运动学研究的问题,Where is my hand?,Direct KinematicsHERE!,How do I put my hand here?,Inverse Kinematics:Choose these angles!,运动学正问题,

5、运动学逆问题,哈佛大学Roger Brockett建立的指数积公式运动学滚动接触非完整控制数学基础-刚体运动 参考文献：机器人操作的数学导论 作者：理查德摩雷 李泽湘 夏卡恩萨斯特里 翻译：徐卫良 钱瑞明（东南大学）,研究运动学的方法,1955年丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（Hartenberg）提出了一种采用矩阵代数方法解决机器人的运动学问题D-H方法，其数学基础即是齐次变换具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和 比例变换问题为以后的比例变换、透视变换 等打下基础,第二节 数学基础齐次坐标和齐次变换,2.1 点和面的齐次坐标2.1.1 点的齐次坐标,一般来说，n维空间的齐次坐标

6、表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数。引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放,式中i,j,k为x,y,z 轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数,显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1。,列矩阵,一个点矢：,例1：,可以表示为：V=3 4 5 1T 或 V=6 8 10 2T 或 V=-12-16-20-4T,齐次坐标与三维直角坐标的区别,V点在OXYZ坐标系中表示是唯一的（a、b、c）而在

7、齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。,几个特定意义的齐次坐标：,0 0 0 nT坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 1 0 0 0T 指向无穷远处的OX轴0 1 0 0T 指向无穷远处的OY轴 0 0 1 0T 指向无穷远处的OZ轴 0 0 0 0T 没有意义,2个常用的公式：,点乘:,叉乘:,2.1.2 平面的齐次坐标,平面齐次坐标由行矩阵P=a b c d 来表示当点v=x y z wT处于平面P内时，矩阵乘积PV=0，或记为,与点矢 相仿，平面 也没有意义,点和平面间的位置关系,设一个平行于x、y轴，且在z轴上的坐标为单位距离的平面P可以表示为

8、：或 有：PV=,例如：点 V=10 20 1 1T 必定处于此平面内，而点 V=0 0 2 1T处于平 P 的上方，点V=0 0 0 1T处于P平面下方，因为：,2.2 旋转矩阵及旋转齐次变换2.2.1 旋转矩阵,设固定参考坐标系直角坐标为Oxyz，动坐标系为Ouvw，研究旋转变换情况。,初始位置时，动静坐标系重合，O、O 重合，如图。各轴对应重合，设P点是动坐标系Ouvw中的一点，且固定不变。则P点在Ouvw中可表示为：,、为坐标系Ouvw的单位矢量，则P点在oxyz中可表示为：,当动坐标系Ouvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系oxyz中的位置,已知：P点在Ouvw中是不变的仍然成立，由

9、于Ouvw回转，则：,用矩阵表示为:,（2-7）,反过来：,2.2.2 旋转齐次变换,用齐次坐标变换来表示式（2-7）,2.2.3 三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵,三个基本旋转矩阵,即动坐标系 求 的旋转矩阵，也就是求出坐标系 中各轴单位矢量 在固定坐标系中各轴的投影分量，很容易得到在两个坐标系重合时，有：,方向余弦阵,同理：,三个基本旋转矩阵:,合成旋转矩阵:,例1：在动坐标中有一固定点，相对固定参考坐标系 做如下运动：R（x,90）；R(z,90)；R(y,90)。求运动后点 在固定参考坐标系 下的位置。,解1：用画图的简单方法,解2：用分步计算的方法,R（x,90）,R（z,90）,R（

10、y,90）,（2-14）,（2-15）,（2-16）,上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：,R3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：,定义1：当动坐标系 绕固定坐标系 各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换,平移齐次变换矩阵,注意：平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换,2.2.4 相对变换,举例说明：例1：动坐标系0起始位置与固定参考坐标系0重合,动坐标系0做如下运动：R(Z,90)R（y,90）Trans(4，-3,7)，求合成矩阵,解1：用画图的方法

11、：,解2：用计算的方法,根据定义1，我们有：,以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：,例2：先平移Trans(4,-3,7)；绕当前 轴转动90；绕当前 轴转动90；求合成旋转矩阵。,（2-20）,解1：用画图的方法,解2：用计算的方法,（2-21）,式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为

12、依次右乘，称为相对变换。,结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相对于固定坐标系，,也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。,右乘的意义：,机器人用到相对变换的时候比较多例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示但也要知道在O中的位姿，就用右乘的概念。,o,H,2.2.5 绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换,有时动坐标系O可能绕过原点O的分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r 转动角。研究这种转动的好处是可用O绕某轴r 的一次转动代替绕O各坐标轴的数次

13、转动为推导此旋转矩阵，可作下述5步变换：绕X 轴转角，使r 轴处于XZ平面内绕Y 轴转-角，使r 轴与OZ轴重合绕OZ轴转动角绕Y 轴转角绕X 轴转-角,由上图容易求出：,由定义1和定义2，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：,（2-25）,带入式（2-25），得,由该式可以推出3个基本旋转矩阵,2.2.6 齐次变换矩阵的几何意义,设，有一个手爪，即动坐标系O，已知，初始位置重合，那么O在O中的齐次坐标变换为：，如果手爪转了一个角度，则：,T反映了O在O中的位置和姿态，即表示了该坐标系原点和各坐标轴单位矢量在固定坐标系中的位置和姿态。该矩阵可以由4个子矩阵组成，写成如下形式：,为姿态矩阵（旋转矩阵）

14、，表示动坐标系O在固定参考坐标系O中的姿态，即表示O各坐标轴单位矢量在O各轴上的投影,为位置矢量矩阵，代表动坐标系O坐标原点在固定参考坐标系O中的位置,为透视变换矩阵，在视觉中进行图像计算，一般置为0,为比例系数,如果需要求解O在O中的位置和姿态，此时的齐次变换矩阵为，即求逆矩阵：,其中：,这些式子以后经常遇到，在机器人计算中，所要求的就是齐次变换矩阵,2.2.7 透镜成像的齐次变换,因此，进行机器人运动学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为 0-0，没有摄像头时为0 0 0。,知识点：,点和面的齐次坐标和齐次变换三个基本旋转矩阵绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标

15、轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。绕任意轴旋转：5步顺序透视变换,知识点：,三个基本旋转矩阵,例题1：O与O初始重合，O作如下运动：绕Z轴转动30；绕X轴转动60；绕Y轴转动90。求T。,例题2：O与O初始重合，O作如下运动：绕X轴转动90；绕w轴转动90；绕Y轴转动90。求 T；改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。,解：,解：绕Z（w）轴转动90；绕X轴转动90；绕Y轴转动90。,例题3：矢量 在O中表示为，O相对于O的奇次变换为：,解：1）,解：2）,解：3）,，,例题4：如图所示

16、，1）写出、；2）求,解：1）,解2）：根据定义2，绕自身旋转，右乘,习题1：O与O初始重合，O作如下运动：绕z轴转动90；绕v轴转动90；绕x轴转动90。求 T；改变旋转顺序，如何旋转才能获得相同的结果。,习题2：已知齐次变换矩阵 要求R（f,),求f和值,第三章 机器人运动学,机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考系的运动作为时间的函数进行分析研究，而不考虑引起这些运动的力和力矩也就是要把机器人的空间位移解析地表示为时间的函数，特别是研究机器人关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿态之间的关系本章将讨论机器人运动学几个具有实际意义的基本问题。,3.1 机器人运动学所讨论的问题,3.1.1

17、 研究的对象机器人在基本机构形式上分为两种，一种是关节式串联机器人，另外一种是并联机器人，如图：,PUMA560,Hexapod,Fanuc manipulator,1972 Victor Scheinman在Unimation公司为通用；1980Westinghouse收购；1988Stubli收购；Nokia Robotics在80年代卖出1500余台PUMA系统；Nokia的 Robotics division1990年卖出。,运动学研究的问题,Where is my hand?,Direct KinematicsHERE!,How do I put my hand here?,Inve

18、rse Kinematics:Choose these angles!,运动学正问题,运动学逆问题,研究的问题:运动学正问题-已知杆件几何参数和关节角矢量，求操作机末端执行器相对于固定参考作标的位置和姿态（齐次变换问题）。运动学逆问题-已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？如能达到，那么操作机有几种不同形态可以满足同样的条件？,逆,3.2 机器人杆件，关节和它们的参数,3.2.1 杆件，关节操作机由一串用转动或平移（棱柱形）关节连接的刚体（杆件）组成每一对关节杆件构成一个关节自由度，因此N个自由度的操

19、作机就有N对关节-杆件。0号杆件（一般不把它当作机器人的一部分）固联在机座上，通常在这里建立一个固定参考坐标系，最后一个杆件与工具相连关节和杆件均由底座向外顺序排列，每个杆件最多和另外两个杆件相联，不构成闭环。,关节,杆件,末端操作手,机座,两自由度,关节：一般说来，两个杆件间是用低付相联的只可能有6种低付关节：旋转（转动）、棱柱（移动）、圆柱形、球形、螺旋和平面，其中只有旋转和棱柱形关节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所示：,旋转,棱柱形,柱形,球形,螺旋形,平面,3.2.2 杆件参数的设定,条件关节串联每个杆件最多与2个杆件相连，如Ai与Ai-1和 Ai+1相连。第 i 关节的

20、关节轴 Ai 位于2个杆件相连接处，如图所示，i-1关节和 i+1关节也各有一个关节轴 Ai-1 和 Ai+1。,杆件参数的定义 和,li 关节Ai轴和Ai+1轴线公法线的长度 关节i轴线与i+1轴线在垂直于 li 平面内的夹角，有方向性,由Ai转向Ai+1，由右手定则决定正负,由运动学的观点来看，杆件的作用仅在于它能保持其两端关节间的结构形态不变。这种形态由两个参数决定，一是杆件的长度 li，一个是杆件的扭转角,Ai,Ai+1,杆件参数的定义 和,Li和Li-1在Ai轴线上的交点之间的距离 Li和Li-1之间的夹角，由Li-1转向Li，由右手定则决定正负，对于旋转关节它是个变量,确定杆件相对

21、位置关系，由另外2个参数决定，一个是杆件的偏移量，一个是杆件的回转角,Ai,Ai+1,Ai-1,移动关节杆件参数的定义确定杆件的结构形态的2个参数Li与i与旋转关节是一样的。确定杆件相对位置关系的2个参数则相反。这里i为常数，di为变量。上述4个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相对位置关系，在转动关节中，Li,i,di是固定值，i是变量。在移动关节中，Li,i,i是固定值，di 是变量。,3.3 机器人关节坐标系的建立,对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿坐标系（xi,yi,zi），（i=1,2,n），n是自由度数，再加上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。基座坐标系 定义

22、为0号坐标系（x0,y0,z0）,它也是机器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和方向可任选，但 轴线必须与关节1的轴线重合，位置和方向可任选；最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位，但必须保证 与 垂直。,机器人关节坐标系的建立主要是为了描述机器人各杆件和终端之间的相对运动，对建立运动方程和动力学研究是基础性的工作。为了描述机器人各杆件和终端之间转动或移动关系，Denavit和Hartenberg于1955年提出了一种为运动链中每个杆件建立附体坐标系的矩阵方法（D-H方法），建立原则如下：,D-H关节坐标系建立原则,右手坐标系原点Oi：设在Li与Ai+1轴线的交点上 Zi轴：与A

23、i+1关节轴重合，指向任意 Xi轴：与公法线Li重合，指向沿Li由Ai轴线指向Ai+1轴线 Yi轴：按右手定则,关节坐标系的建立原则,Ai,Ai+1,Ai-1,原点Oi：设在Li与Ai+1轴线的交点上 Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 Xi轴：与公法线Li重合，指向沿Li由Ai轴线指向Ai+1轴线 Yi轴：按右手定则,杆件长度Li 沿 xi 轴，zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 杆件扭转角i 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi 杆件偏移量 di 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至0i 1 坐标系原点的距离 杆件回转角i 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi,

24、两种特殊情况,两轴相交，怎么建立坐标系？0iAi与Ai+1关节轴线的交点；ZiAi+1轴线；XiZi和Zi-1构成的平面的法线；Yi右手定则；,A,i,A,i,+,1,o,i,z,i,-,1,z,i,x,i,y,i,两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与Ai+1平行)？先建立 0i-1然后建立0i+1最后建立 0i,注意：由于Ai和Ai+1平行，所以公法线任意点 在A点位置；按照先前的定义，di为Oi-1点和A点之间的距离，di+1为B点和C点间的距离，这样设定可以的，但我们可以变更一下，将0i点放在C点，定义Oi在Li+1和Ai+1轴的交点上，这样使di+1=0使计算简便，此时di=,相邻关节坐标

25、系间的齐次变换过程 机器人运动学正解,将xi-1轴绕 zi-1 轴转 i 角度，将其与xi轴平行；沿 zi-1轴平移距离 di，使 xi-1 轴与 xi 轴重合；沿 xi 轴平移距离 Li，使两坐标系原点及x轴重合；绕 xi 轴转 i 角度，两坐标系完全重合,根据上述坐标系建立原则，用下列旋转和位移我们可以建立相邻的 Oi-1 和 Oi 坐标系之间的关系,机器人的运动学正解方程,D-H变换矩阵,=,=,机械手的坐标变换图如图所示，机械手的末端（即连杆坐标系i）相对于基座坐标系0的描述用 oTi 表示，即：,0,z,A1,A2,A3,A4,A5,A6,0,E,X,0T6,1T6,2T6,3T6,

26、4T6,5T6,机械手的坐标变换图,机器人的运动学正解方程,举例：Stanford机器人,A1,A2,A3,A4,A5,A6,z1,x1,y1,O1,z2,x2,y2,O2,z3,y3,x3,O3,y4,z4,x4,O4,z5,y5,x5,O5,z6,x6,y6,O6,z0,y0,x0,O0,为右手坐标系原点Oi：Ai与Ai+1关节轴线的交点Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 Xi轴：Zi和Zi-1构成的面的法线Yi轴：按右手定则,Li 沿 xi 轴，zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离i 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zidi 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至0i

27、 1 坐标系原 点的距离i 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi,解：,3.4 例题,试求立方体中心在机座坐标系0中的位置该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，那么，求手爪相对于0的姿态是什么？,在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。,x,y,z,解1：,因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。

28、,x,y,z,o,O,机,O,物,解2：,X机,工作空间,工作空间:末端操作手可以到达的空间位置集合如何获得工作空间:利用正运动学模型,改变关节变量值可达空间:末端操作手可以至少以一个姿态到达的空间位置集合灵活空间:末端操作手可以以任何姿态到达的空间位置集合,如何确定可达空间?首先，令 3变化,示例:平面 3连杆机器人,l2,l3,l1,3.5 机器人末端操作器位姿的其它 描述方法,用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要9个元素来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广义坐标。一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方向，被称为欧拉角的三个角度，、就是这种广义坐标。

29、有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系的姿态。三种最常见的欧拉角类型列在表中,3种最常见的欧拉角类型,类型1：表示法通常用于陀螺运动,类型2：所得的转动矩阵为右乘,类型3：一般称此转动的欧拉角为偏航角、俯仰和横滚，（这种方法也叫做偏航、俯仰和横滚角表示方法）这种形 式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为,正运动学问题:已知关节角度或位移，计算末端操作手的对应位姿.逆运动学问题:已知末端操作手的位姿，求解对应的关节变量.为什么逆运动学问题更困难?可能存在多解或无解通常需多次求解非线性超越方程,3.6 运动学逆问题,解的存在性,目标点应位于工作空间内可能存在多解，

30、如何选择最合适的解？,存在双解!,求解方法,如果各关节可用某算法获得，一个机械手是有解的.算法应包含所有可能解.,封闭形式解（解析解）数值解,方法,我们对封闭形式的解法更感兴趣 代数方法 几何方法,可解性的重要结论是：所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，其通解一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大。但在某些特殊情况下，如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于 0 或 90的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解。为使机器人有解析解，一般设计时，使工业机器人足够简单，尽量满足这些特殊条件。,对于给

31、定的机器人，能否求得它的运动学逆解的解析式（也叫封闭解）。,运动学逆问题的可解性,运动学逆问题的多解性,机器人运动问题为解三角方程，解反三角函数方程时会产生多解.显然对于真实的机器人，只有一组解与实际情况最相对应，因此必须作出判断，以选择合适的解。,通常采用如下方法剔除多余解：,若该关节运动空间为，则应选。,1根据关节运动空间选取合适的解。例如求得机器人某关节角的两个解为,2选择一个与前一采样时间最接近的解，例如：,若该关节运动空间为，且，则应选,3根据避障要求，选择合适的解,4逐级剔除多余解,对于具有n个关节的机器人，其全部解将构成树形结构。为简化起见，应逐级剔除多余解。这样可以避免在树形解

32、中选择合适的解。,迭代法计算量大几何法适用于自由度较少的情况反变换法,运动学逆问题解法,用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方程的右边移到左边考察方程式左、右两端对应元素相等，以产生一个有效方程式，理论上可得到12个方程。然后求这个三角函数方程式，以求解未知数 把下一个未知数移到左边重复上述过程，直到解出所有解缺点：无法由数种可能的解中直接得出合适的解，需要通过人为的选择,运动学逆问题解法反变换法,Paul 等人提出的方法(1981年，也叫求逆的方法，是解析解):,Paul 等人提出的方法,因此，通常用四象限的反正切函数来确定 值，其象限定义为

33、：,此时不能用反余弦 来求解关节角，因为这样求解不仅关节角的符号不确定（），而且角的精度也难以保证（，即角度变化引起的值变化不大）。,例1：欧拉角表示的逆运动学求解：,由式中矩阵（1，3）元素相等，有,例2：斯坦福机器人运动学逆问题解,式中：,由两端矩阵元素（3,4）对应相等可得：,作三角变换：,式中：,得到：,即有：,由（1,4）和（2,4）元素对应相等，得：,式中第四列：,式中第三列：,高腕,低腕,取前一个采样点的值,5,几何解法（适用于少自由度）,原则:将原始空间几何问题转化为若干个 平面几何问题,x,y,L1,L2,应用“余弦定理”:x2+y2=l12+l22 2l1l2cos(180

34、2),2,几何解法(续),则有:,x,y,再次利用余弦定理得到:l22=x2+y2+l12-2l1(x2+y2)cos 即 cos=(x2+y2+l12-l22)/2l1(x2+y2)在 0 180范围内求解，最后利用 1=转换为多项式,1,通常超越方程难以求解，因为变量 通常以cos()或 sin()的形式出现.可以转换为变量 u=tan(/2)的多项式，然后利用下式求解:cos()=(1-u2)/(1+u2)sin()=2u/(1+u2),3.7 微动矩阵和微动齐次变换,对象:微动矩阵主要是描述机器人在微动范围内各关节的位移运动关系定义:各关节当角度转动 小于5，平移在 0.1mm 以下时

35、，微动矩阵大致可用用途：误差补偿、微驱动、微操作,设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的齐次变换为oTN，做微动，绕任意轴w轴转；绕各坐标轴平移dx,dy,dz求：在 中的位置和姿态.,定义 为微动齐次变换矩阵,在忽略高次项的情况下：微动齐次变换与次序无关,因此说，微动齐次变换与次序无关,3.7.2 微动平移和微动旋转的齐次变换,平移：,旋转R，绕通过原点的任意轴 旋转 角:,在微动范围内,绕任意轴转动 角,可以看作绕x,y,z轴的微转动的合成。因此：,因此：,因此微动率=,微动的齐次变换：dT=T,己知变换矩阵,转动：,平移：,求d T,解：,反过来：如果我们要求 在 中的齐次交换矩

36、阵为,实际测得的为,那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？,转动：,平移：,3.7.3 等效微动位移的求解,前面研究的是：动坐标系On在Oo中的变换为T，相对于基准坐标系作微平移和微转动，来求微动齐次变换。现在我们研究：动坐标系On相对于自身坐标系做了微位移或微转动，达到绕基准坐标同样的效果则如何求解。,dT=T（绕基准坐标系）,=TT（绕动坐标系）,左乘,绕基准,右乘,绕动坐标轴,强调等效,设：,有：,研究绕自身轴的微动率和绕固定坐标系坐标轴的微动率之间是什么关系，举例说明：,例：一动坐标系相对于固定坐标系的齐 次变换为,n,s,a,p,己知相对固定坐标系的微动平移和转动,求：与 求

37、dT 求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动,解：=,解：,解：绕自身平移和转动,其结果等于绕固定坐标系转动和旋转,等效,3.7.4 等效微动变换的普遍形式,机器人运动学方程：,定义：前一个坐标系当作当前坐标系的基准坐标系,相对于,是动坐标系,如果,相对于,产生了一个微动，它的微动齐次变换为,那么这么一个微动会对末端执行器产生什么影响？因为对机器人来讲,我们关心的是末端执行器的运动情况。,同理如果,相对于,产生一个微动,有：,这是微动齐次变换的普遍形式,微动率的求解,按照前面讲的等效理论有：,这是两个普通形式如机器人末端产生一个误差,如果在别外一个关节上补偿,就要采用上面的方法。,说明：如果我

38、们发现末端操作器相对于基准坐标系有了微位移（平移或转动）,我们可以认为末端操作器相对于自己的坐标系发生了微位移。只是微动率和不同而己。其结果是等效的。这些在进行误差补偿和微动时有用,如产生误差 如何补偿？可以反向运动末端关节来补偿,3.7.5 微动齐次变换的意义,3.7.6 误差及误差补偿,制造和检测误差运算过程中圆整、插补、拟合造成的误差原理性误差构件承受的负载、加速度、重力的变形误差传动误差环境影响误差,误差来源：,单关节补偿多关节补偿,误差补偿：,单关节补偿：,这是一种精确的求法,这只是一种理想的方法。满足上述补偿实际上是很困难的,有时几乎是不可能的,有时用近似方法,认为这是理论值,认为

39、这是实测值,同理：,认为这是理论值,认为这是实测值,这种方法是不精确的,有误差,但是如果能满足精度要求就可以,例题,按精确的方法计算,绕自身坐标系 补偿,这是精确的 值,可以看出与我们以前做的例题正好相反,绕固定坐标系补偿,按近似的方法计算,多关节补偿：,目标为：,实际为：,忽略高次项，有：,绕自身,同理,绕前一个坐标系,我们有：,以Oi,绕自身为例,为了消除,令多关节做微动,由此产生,补偿,多关节的微动率为,（绕自身）,由于,注意：我们在定义DH坐标系时,Z轴和回转轴重合，因此，绕X,Y是旋转不了的。,因此,又如果都是转动关节,没有移动,令,得到,按照元素对应相等,求解,能够求解。,这里,是

40、i,相对于自身的微转角,知识点复习,数学基础知识点：,点和面的齐次坐标和齐次变换三个基本旋转矩阵绝对变换：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。相对变换：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。绕任意轴旋转：5步顺序,关节坐标系的建立原则,Ai,Ai+1,Ai-1,原点Oi：设在Li与Ai+1轴线的交点上 Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 Xi轴：与公法线Li重合，指向沿Li由Ai轴线指向Ai+1轴线 Yi轴：按右手定则,杆件长度Li 沿 xi 轴，zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 杆

41、件扭转角i 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi 杆件偏移量 di 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至0i 1 坐标系原点的距离 杆件回转角i 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi,运动学知识点：,两种特殊情况,两轴相交，怎么建立坐标系？OiAi与Ai+1关节轴线的交点；ZiAi+1轴线；XiZi和Zi-1构成的平面的法线；Yi右手定则；,Ai,Ai+1,相邻关节坐标系间的齐次变换过程 机器人运动学正解,将xi-1轴绕 zi-1 轴转 i 角度，将其与xi轴平行；沿 zi-1轴平移距离 di，使 xi-1 轴与 xi 轴重合；沿 xi 轴平移距离 Li，使两坐标系原点及x轴重合

42、；绕 xi 轴转 i 角度，两坐标系完全重合,机器人的运动学正解方程,D-H变换矩阵,=,=,逆运动学的定义 逆运动学的存在性 逆运动学的可解性 逆运动学的多解性（剔除办法）逆运动学解法（数值解、解析解）,运动学逆问题,How do I put my hand here?,Inverse Kinematics:Choose these angles!,运动学逆问题,迭代法计算量大几何法适用于自由度较少的情况反变换法,运动学逆问题解法,用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方程的右边移到左边考察方程式左、右两端对应元素相等，以产生一个有效方程式，理论上可得到12个方程。然后求这个三角函数方程式，以求解未知数 把下一个未知数移到左边重复上述过程，直到解出所有解 通常用四象限的反正切函数来确定值缺点：无法由数种可能的解中直接得出合适的解，需要通过人为的选择,高腕,低腕,取前一个采样点的值,dT=T（绕基准坐标系）,=TT（绕动坐标系）,左乘,绕基准,右乘,绕动坐标轴,强调等效,微动变换：,误差补偿：,单关节补偿多关节补偿,大作业：PUMA机器人,求解：建立坐标系；给出D-H参数表；推导正运动学、逆运动学；编程得出工作空间,A1,A4,A3,A2,A6,A5,PUMA机器人的杆件参数表,