《线性代数4.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数4.ppt（48页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、在数的运算中,当数 a 0 时,有 aa-1=a-1a=1.,在矩阵的运算中,单位阵 I 相当于数的乘法运算中的1,那么,对于矩阵A,如果存在一个矩阵A-1,使得,AA-1=A-1A=I,则矩阵A称为可逆矩阵,称A-1为A逆阵.,一、逆矩阵的概念和性质,2.4 逆 矩 阵,定义:对于n 阶方阵A,如果存在一个n 阶方阵B,使得 AB=BA=I则称矩阵A是可逆的,并称矩阵B为A的逆矩阵.A的逆矩阵记作A-1,即,（1）A与,为同阶方阵；,（2）若 B 是 A 的逆矩阵，那么 A 也是 B 的逆矩阵;,(3),例如:设,由于 AB=BA=I,所以 B 为 A 的逆矩阵.,说明:若A是可逆矩阵,则A
2、的逆矩阵是唯一的.,事实上:若设B和C是A的逆矩阵,则有,所以,A的逆矩阵是唯一的,即,AB=BA=E,AC=CA=E,可得:,B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.,B=C=A-1.,解:利用待定系数法.,即,则,又因为,则,解得,所以,即,AB=BA=E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须寻求可行而有效的方法.,证明:若A可逆,则有A-1,使得AA-1=I.,定理1:矩阵A可逆的充要条件是|A|0,且,其中A*为矩阵A的伴随矩阵.,故|A|A-1|=|I|=1,所以,|A|0.,由伴随矩阵的性质:AA*=A*A=|A|I,知,当|A|0时,按逆矩阵的定义得,说明
3、：,（1）该定理揭示了矩阵可逆的充要条件，,并给出了逆矩阵的一种求法公式法.,(2)上（下）三角矩阵可逆当且仅当,主对角元全不为0，且当,时,这里逆矩阵由定义得到！,若,当 12n 0时，A可逆，且,例2、当a，b满足什么条件时，矩阵 A 不可逆，其中,解：,由矩阵可逆的充要条件可知：,当a=1或b=2时，A不可逆.,当|A|=0 时,称A为奇异矩阵,否则称A为非奇异矩阵.,由此可得,A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.,若A可逆，那么由,AB=O,B=O,由AB=AC,B=C,证明:由 AB=E 得,|A|B|=|E|=1,推论:若 AB=E(或 BA=E),则 B=A-1.,故|A
4、|0.,因而,A-1存在,于是,B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.,故结论成立.,推论说明：若 ABE，则一定有 BAE.,当|A|0 时,定义,A0=E,A-k=(A-1)k(k为正整数).,且此时对任意整数,有,AA=A+,(A)=A.,逆矩阵的运算性质,(1)若矩阵A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=A.,(2)若矩阵A可逆,且 0,则 A 亦可逆,且,若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.,证明:,(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AIA-1=AA-1=I,所以,(AB)-1=B-1A-1.,一般地,证明:,(
5、4)若矩阵A可逆,则AT 亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I,所以,(AT)-1=(A-1)T.,求转置和求逆可以换序.,(5)若矩阵A可逆,则有|A-1|=|A|-1.,证明:,因为 AA-1=I,所以|A|A-1|=|I|=1,因此,|A-1|=|A|-1.,注意：,（1）当 A，B 可逆时，A+B 不一定可逆；,即使 A+B 可逆，一般,反例：设 A 可逆，取B=A，,显然 B 可逆，但,A+B=O 不可逆.,取 Adiag（2，1），B diag（1，2），,此时A+B=diag(3,1)可逆，且,显然,解:因为,二、关于逆矩阵的求法,所
6、以A-1存在.,同理可得,所以,故,解:,例4:下列矩阵A,B是否可逆?若可逆,求其逆矩阵.,所以,A可逆.,由于,同理可得,所以,由于,故B不可逆.,解:用伴随矩阵的方法求A逆阵.,|A|=ad bc 0.,A11=d,A21=b,A12=c,A22=a.,设,则A可逆且,则,求二阶矩阵A的逆可用“两换一除”的方法,其做法如下:,先将矩阵 A 中的主对角元素调换其位置,再将次对角元素调换其符号,最后用 A 的行列式|A|除矩阵A的每一个元素,即可得 A 的逆矩阵 A-1.,利用公式求A的逆矩阵，要注意：,（1）不要忘记除以|A|;,(2)注意A的伴随矩阵的定义和其中元素的符号；,（3）适用范
7、围：特殊矩阵，低阶矩阵.,求出A的逆矩阵后，可以检查其正确性：（做矩阵乘法）,例5:设,问线性方程组AX=b是否有解？如有解，求其解.,解:由于,所以AX=b有唯一解，且由AX=b可得,即,因为,所以,例5:设,求矩阵X使其满足 AXB=C.,解:由于,所以,A-1,B-1都存在.且,又由 AXB=C,得 A-1AXBB-1=A-1CB-1,则 X=A-1CB-1.,于是,X=A-1CB-1,例6:解矩阵方程,解:给方程两端左乘矩阵,得,所以,例7:设方阵A满足矩阵方程 A2A2E=O,证明:A,A+2E 都可逆,并求它们的逆矩阵.,证明:由 A2A2E=O,得 A(AE)=2E,则,故A可逆
8、,且A-1=,又由,可得,因为 A 可逆，所以 A2E 可逆，且,又由 A2A2E=O,得(A+2E)(A3E)+4E=O,则,故(A+2E)可逆,且(A+2E)-1=,或者,例8:设三阶方阵A,B满足关系式:A-1BA=6A+BA,且,求B.,解:由于|A|=1/56 0,由 A-1BA=6A+BA,得 A-1BABA=6A,所以A可逆,且A-1=,则(A-1E)BA=6A,由于(A-1E)=,所以(A-1E)可逆,且,(A-1E)-1=,由A和(A-1E)可逆可得:,B=6(A-1E)-1,解:由于|P|=2,A=PP-1,A2=PP-1 PP-1=PP-1=P2P-1,Am=PmP-1,
9、则 An=PnP-1,而,例10.设,为非零实矩阵，证明：若,则 A 可逆.,证明：设,那么,于是由条件,可得,又因为A为非零实矩阵，所以,且至少有一个不等于0，假设,将 A 按照第,行展开得：,所以 A 可逆.,例11.设A，B均为 n 阶可逆矩阵，证明,证明：,（1）因为A，B可逆，所以,从而A,B可逆.,由,得：,（2）因为,所以,且,于是,小结,逆矩阵的概念及运算性质;逆矩阵A-1存在当且仅当|A|0.,逆矩阵的计算方法:(1)待定系数法;,(3)初等变换法(下一节介绍).,(2)伴随矩阵法:,思考题,思考题解答,若A可逆,那么矩阵方程 AX=B(或YA=B)是否有唯一解:X=A-1B(或X=BA-1)?,若当A为奇异方阵时,上述方程可能有解但不唯一,也可能无解.,是的!这是由A-1的唯一性决定的.,作业：第9697页 40（2）（4）（5）41（1）（3）42 46,
