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1、第 6 章 栅格非均匀效应与均匀化群常数计算,临界计算的前提是精确地确定多群扩散方程的系数,计算结果的精确度在很大程度上依赖于这些所采用群常数的精确度。常见动力堆基本上全是非均匀反应堆，世界上第一座反应堆是非均匀反应堆。对于非均匀栅格，由于空间的非均匀性，给群常数计算带来更大困难。本章将讨论栅格的非均匀效应以及非均匀栅格均匀化群常数计算。,6.1 栅格非均匀效应,按照堆芯内燃料和慢化剂的分布形式，反应堆可以分为均匀和非均匀两类：均匀堆中，燃料和慢化剂均匀混合在一起，如：把铀和慢化剂制成铀盐溶液。非均匀堆中，把燃料集中制成块状，如圆柱体、环形、球形、片状等，按一定的几何形式放入慢化剂中，构成栅格
2、结构的堆芯。常见的栅格结构有正方形和六角形栅格：,正方形栅格（a）、六角形栅格（b）和平板栅格（c）的示意图,非均匀栅格内的中子通量密度分布是不均匀的：热中子分布热中子主要在慢化剂中产生热中子主要被燃料核吸收，形成从慢化剂向燃料块热中子流。空间自屏效应：外层燃料核对内层燃料核的屏蔽作用。使热中子利用系数减小，燃料得不到充分利用，非均匀堆缺点。共振中子分布共振中子主要在慢化剂中产生。由于燃料核共振吸收截面大（7000靶），共振中子平均自由程短（0.003cm），共振中子会发生强烈空间自屏效应。,栅格内裂变中子（1）、共振中子（2）和热中子（3）的空间分布,共振中子分布 共振中子基本上在燃料表面就
3、完全被吸收，所以燃料内共振中子通量密度分布下降非常急剧（自屏效应）。对于非均匀堆，由于燃料之间距离大，使得裂变中子有更大的机会在慢化剂中直接慢化成热中子而不发生共振吸收。由于这两原因，非均匀堆中燃料核共振中子吸收能力减小,逃脱共振俘获概率 p 增大，非均匀堆优点。裂变中子分布使用非均匀燃料分布，增加了高能中子与燃料快碰撞的几率而引起U238的裂变，使得燃料中快中子增殖效应增大。非均匀堆优点。,栅格内裂变中子（1）、共振中子（2）和热中子（3）的空间分布,非均匀栅格内的中子通量密度分布是不均匀的。空间自屏效应对热中子吸收不利，但却对逃脱共振吸收有利。使用非均匀燃料分布，增加了高能中子与燃料快碰撞
4、的几率而引起U238的裂变，使得燃料中快中子增殖效应增大。合理选择燃料快的直径或厚度、栅距等，可以增加无限介质增殖因子。因栅格的块结构所引起的效应,以及由其所产生的各种参数的变化,通常叫做非均匀效应。,6.2 栅格的均匀化处理,6.2.1 栅格的均匀化非均匀堆有上万根燃料棒,临界计算非常复杂或不可能。非均匀堆中子通量密度分布整体分布加精细分布。实际计算中，非均匀堆等效为均匀反应堆，而所得能谱和临界计算结果与原来非均匀堆相同。,非均匀堆的均匀化处理（a）非均匀堆内的中子通量密度分布；（b）等效均匀堆内的中子通量密度分布,所谓的均匀化就是用一个等效的均匀介质来代替非均匀栅格，使得计算结果（特征物理
5、量，如中子反应率）与非均匀栅格 相等或近似。关键问题是如何确定等效均匀化介质的各种中子截面参数或 有效群参数。首先保证栅元内各能群的各种中子反应率保持相等。即：我们认为：非均匀介质的均匀化计算公式：,非均匀反应堆的计算可分成两步进行：栅格均匀化，考虑非均匀效应计算出等效均匀化系统的均匀 化常数；将非均匀系统等效为均匀系统，利用计算出的均匀化常数，采用均匀反应堆理论计算临界大小、中子通量密度分布、功率分布等。上述处理方法叫做非均匀反应堆的均匀化处理。6.2.2 堆芯的均匀化截面的计算 对于一个有上万栅元的堆芯，仅仅进行以栅元为基础的均匀处理是不够的，还要以燃料组件为单位进行均匀化处理，求出每个燃
6、料组件的有效均匀化截面，然后进行全堆芯的临界扩散计算，求出堆芯内中子通量密度或功率分布。,以压水堆为例，非均匀反应堆的均匀化计算步骤为：第一步从栅元的均匀化开始 进行均匀化计算。第二步利用栅元的均匀化计 算结果进行燃料组件的均匀 化计算。第三步利用燃料组件的少群 均匀化常数，进行24群的 堆芯扩散计算，得出堆芯的 物理量，如有效增殖因子，中子通量密度等。,非均匀堆（轻水堆）计算流程示意图,6.3 栅元均匀化群常数的计算,栅元均匀化群常数计算中主要问题是求栅元中各种介质 的中子通量密度分布。栅元介质有强吸收性和不均匀性，中子扩散理论不适用。栅元均匀化通常采用更精确的数值计算方法，有SN方法、CP
7、M方法、Monte Carlo方法等。CPM方法应用最广，优点是有较高的精确度并且计算方法简单。下面介绍应用碰撞概率方法计算栅元的均匀化群常数维格纳-赛兹（Wigner-Seitz）等效栅元近似,栅元组成和等效栅元,6.3.1 积分输运理论的基本方程,先从中子平衡基本原理出发列出积分输运理论的基本方程。假设在实验室系内中子与原子核的散射各向同性，r处源Q(r,E)所产生中子对r处的中子通量密度的贡献为其中 为连接r与r点的直线路径的“光学距离”，也就是以平均自由程为单位量度的距离。当t为常数时，等于,推导积分输运方程的矢径表示,对于栅元计算，通常假设等效栅元的边界为各向同性全反射且净中子流等于
8、零。因而，空间任意点的中子通量密度为：这是关于中子通量密度(r,E)的积分形式中子输运方程。它等同于扩散近似中的扩散方程,可以用来求解栅元内中子通量密度的分布(r,E)。碰撞概率法CPM（Collision Probability Method）积分中子输运方程要求:中子源及对中子与原子核的散射 在实验室坐标系各向同性的假设。扩散中子输运方程要求：除了以上的假设外还要求中子 通量密度的角分布必须接近各向同性分布。（或中子通量密度是随空间位置缓慢变化的函数）。,以圆柱栅元为例，首先将系统划分为I个互不相交的均匀子区当区域划分足够小时，可假设：每一子区的截面参数为常数或可用该区的平均值表示，每一子
9、区内的中子源强或中子通量密度等于常数。对能量变量采用分群近似求解，采用G群近似。在积分输运方程两端乘以t，然后在每一子 区体积内Vi及能量区间Eg=Eg-1-Eg内对方程进行体积与能量积分，并 按照分群近似方法处理，得：其中这里 g,I,Qg,j 分布表示第g群第i区的平均(r,E)和第g群第j区的平均中子源强。,圆柱等效栅元的部分,Pij,g为第j区内产生的一个各向同性中子不经任何碰撞到达i区发生首次碰撞的概率。源项 Qg,j包括：不考虑外中子源部分，得碰撞概率形式积分输运方程多群常数及首次碰撞概率Pij,g可事先独立求得，上式为一含有g,I线性方程组，可用迭代方法求解。CPM方法关键是首次
10、碰撞概率计算，与几何及材料有关，可以由专门程序计算。,6.3.2 碰撞概率方程的解及少群常数的计算,碰撞概率形式的积分方程可用第五章中的源迭代方法求解，对第n次迭代计算有：其中根据k的物理定义有迭代时所用的收敛判据准则为：,对方程求解时，多群常数可取自“多群截面库”。求得栅元的多群中子慢化能谱g,I后，就可以求得栅元的均匀化截面：也可进行并群，均匀化栅元的少群截面：从g群到g群的群转移均匀化截面,6.4 燃料组件内均匀化通量密度分布及少群常数的计算,燃料组件均匀化群常数是在对组件内燃料、控制棒和可燃毒物棒栅元进行均匀化后进行的。碰撞概率法中各子区是通过首次碰撞概率Pij,g而相互耦合，对于17
11、17组件有289G个Pij,g。Pij,g计算很耗时，因而碰撞概率法CPM不适用。在碰撞概率法CPM基础上发展的界面流方法（穿透概率法）：将组件分成若干个子区，每个子区之间通常用界面流必须连续的条件耦合。每个子区只与相邻（四个）子区耦合。对每个子区只需计算首次穿透和泄露两个概率，而且这些概率只需对组件内所含不同类型的栅元进行计算，不必对所有栅元进行计算。它是组件均匀化计算的经济而又精确的方法。,将所研究的系统划分为IJ个均匀化子区，可取一个栅元为一个子区。设子区(I,j)的体积为Vi,j 面积为Sm或Sn，子区内中子源项为Qg(I,j)，则子区Sn表面的中子出射流方程为：根据中子守恒关系可得（
12、i,j)子区内中子平衡方程,燃料组件内网格的划分,以上三个方程构成界面流方法的基本方程。利用系统四周的边界条件以及各子区界面上出射流应等于相邻子区界面入射中子流连续条件，可以确定用迭代方法确定唯一解。确定出子区的中子通量密度分布g(i,j）后，就可计算组件的少群参数,6.5 共振区群常数的计算,中子慢化过程中，在共振能区（几个eV到0.01MeV），对某些核素存在强烈共振吸收现象。由于共振截面变化的复杂性以及自屏和互屏等 强烈非均匀相应影响，共振截面与能量、栅元的几何结构、介质温度等密切相关。在多群库中，并不直接给出一些共振吸收核（238U,235U,239Pu）共振截面，而是给出一些共振参数
13、数据，根据栅元的具体结构计算得出。,给定燃料栅格，根据群常数定义，共振核g群共振吸收截面为：Eg 为能群间隔，燃料棒内的平均中子通量密度能谱分布为：定义第i个共振峰有效共振积分Ei 为共振峰i的宽度，一个能群中可能又几个共振峰，对能群g，它的有效共振积分可以写成共振区内共振吸收群截面的计算便归结为有效共振积分和燃料棒内共振中子通量密度的计算，,6.5.1 非均匀栅元有效共振积分的计算,非均匀栅格共振积分计算要比均匀系统复杂和困难很多。先讨论孤立棒栅元：孤立棒栅元假设：假定燃料块间的距离大于中子在慢化剂内的平均自由程。适用于重水堆、石墨堆。即从一个燃料块飞出的共振中子不可能在穿过慢化剂时未经碰撞
14、而仍以其原来能量进入相邻的另一个燃料块。只取一个栅元来研究，而不考虑其它栅元的影响。我们假设栅元只是由燃料和慢化剂组成，并认为燃料由一种元素组成。,用F(E)和M(E)表示燃料快和慢化剂的共振中子通量密度。PF0(E)在燃料块内产生的均匀和各向同性分布、能量为E的中子未经碰撞逸出块外在慢化剂内发生首次碰撞的概率，即首次飞行逃脱概率。PM0(E)慢化剂内均匀和各向同性分布的能量为E的中子在燃料块内发生首次碰撞的概率。在燃料快内能量高于E的中子与燃料核弹性碰撞后进入E与E+dE能量范围内的中子数为这些中子在燃料快内发生首次碰撞的数目为,中子平衡方程建立示意图,在慢化剂内慢化到E与E+dE能量范围内
15、的中子在燃料快中发生首次碰撞的数目用无吸收介质内慢化区内能谱即费米谱近似代替慢化剂内能谱分布是合理的即：同时利用互易关系，和t,Ms,M,可得根据中子平衡原理，得燃料快内的中子慢化方程,中子平衡方程建立示意图,6.5.2 等价原理,要解方程（6-37）必须首先确定PF0(E)，它的计算非常复杂，与燃料的形状、尺寸有关，很难解析求解。近似方法求解：定义燃料棒平均弦长对于圆柱体。定义假想的“逃脱”宏观截面再定义假想的“逃脱”微观截面E.P.Wigner 提出下列PF0(E)的近似计算公式，称为维格纳有理近似公式,尽管(6-41)式简单,但能给出比较满意的精度.将其代入中子燃料中子的慢化方程便可求解
16、。可以把共振峰分成两类，近似求解：对比(6-43)与(2-75)，若非均匀反应堆的e代替均匀堆的 则非均匀反应堆的有效共振积分表达式便和均匀反应堆有效共振积分相等。这一结果称为等价原理。,6.5.3 互屏（丹可夫）效应,在轻水堆中燃料棒之间的距离小于中子在慢化剂内的平均自由程。形成所谓稠密无限栅格。实际栅格中相邻燃料棒间的相互影响，增大中子和燃料核碰撞与被共振吸收的概率。这种相互影响叫互屏（丹可夫）效应：,丹可夫效应示意图,考虑到丹可夫效应，实际上 PF*PF0，PF*的计算非常复杂，只能通过数值方法得到。丹可夫效应通常引入一个丹可夫修正因子来考虑。其物理意义相当于实际栅格中燃料棒的中子首次飞
17、行逃脱概率较孤立棒的减小。在实际栅格有效共振积分计算中，只须用PF*替代PF0，或在（6-42）和（6-43）中将 代替，便可得到实际栅格的有效共振积分。,6.5.4 温度对共振吸收的影响,随燃料温度的升高,由于多普勒展宽,共振峰的峰值截面降低。从而使共振吸收随温度而增大。这是有“能量自屏”和“空间自屏”所造成。“能量自屏”效应温度升高后,02li。虽然多普勒效应使截面峰值降低了，但因能量自屏效应减弱，总的效果使共振吸收增加了。,温度对共振吸收的影响,“空间自屏”效应 多普勒效应对空间自屏影响同样使非均匀堆的共振吸收增加。燃料温度升高，由于多普勒效应，能量自屏及空间自屏效应减弱，共振吸收增大，
18、从而使有效增殖因子和反应性减小，反应性效应为负。这一现象对反应堆的动态过程和安全运行非常重要。,多普勒效应,6.5.5 共振区群常数的计算,有效共振积分重要的应用是用于多群常数计算。共振区宏观吸收截面分为两部分，即：弱吸收部分及强吸收部分：其中：为截面随能量缓慢变化的弱吸收部分，弱吸收部分由多群常数库给出，为强吸收部分，若燃料中只含有单一吸收剂，有ug为以勒为单位的能群宽度，上式是共振能区吸收剂的g能群共振吸收截面的计算公式。,*有效共振积分的半经验公式,有效共振积分的计算非常复杂，有时可以用经验公式简单确定。对于非均匀栅格，有效共振积分的半经验公式为：对于金属铀，对于二氧化铀通过实验还有如下
19、有效共振积分半经验公式：对金属铀a=2.8;b=27.1,对于二氧化铀a=5.35;b=26.6,6.6 栅格几何参数的选择,栅格重要几何参数:燃料块的厚度、半径(d)和栅距(h)。h/d 决定了栅元中慢化剂核和燃料核数目之比，也决定了中子被慢化的程度。对给定燃料和富集度，改变这些参数，将改变系统的keff。以压水堆为例：燃料和慢化剂体积比VH2o/VUo2发生变化时，栅格的无限增殖因数k将发生变化。,铀水栅格增殖因数 与(NH/NU)的关系（a）p，f与 的关系；（b）与 的关系,VH2o/VUo2增加，逃脱共 振俘获概率p增加，所 以k 增加。同样VH2o/VUo2增加，栅 元中慢化剂含量
20、增加，中子被慢化剂吸收的份 额增加，所以热中子利 用系数f下降，k 下降。两种效应相互作用的结果使k 与VH2o/VUo2变化曲线上存在一个极大值。在给定燃料富集度和慢化剂材料的情况下，存在着使栅格的k达到极大值或临界体积为极小的栅格几何参数，这样的栅格叫最佳栅格。k极大值左侧的栅格称为慢化不足栅格，右侧的栅格称为过分慢化栅格。从安全角度要求，压水堆VH2o/VUo2的设计和运行必须在欠慢化区。这样当水温升高时，水的密度下降 VH2o/VUo2减少，k下降，反应堆才是安全的。,铀水栅格增殖因数 与(NH/NU)的关系（a）p，f与 的关系；（b）与 的关系,所有的压水堆的栅格都是运行在慢化不足的情况下，因为慢化不足的压水堆具有负的反应性温度系数。压水堆都采用改变溶解在水中的硼酸的浓度的方法来补偿燃料的燃耗和裂变产物中毒所引起的反应性损失。改变溶解在水中的硼酸浓度可以改变最佳栅格值，一个在含硼浓度较低的慢化不足的栅格，当可溶硼浓度增加时可能变为过分慢化栅格，成为具有正反应性温度系数的反应堆。为避免这种情况，对给定堆芯，通常有一个最大允许硼浓度，此时反应堆仍为慢化不足栅格。,不同硼浓度时铀水栅格的增殖因数 与 的关系,
