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1、从方程的角度理解线性代数,用消元法解二元线性方程组,一、二元线性方程组与二阶行列式,a22-a12 消去 x2 得,a11-a21 消去 x1 得,当 a11a22-a12a21 0 时,方程组的解为,二阶行列式,记,Cramer 法则,方程组的解为,当系数行列式 D 0 时,例3 计算 n 阶行列式,Laplace 按行列展开定理,行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.,即,解,三、行列式的性质,性质1 行列式 det A 与它的转置行列式 det AT 相等.,注:由该性质可知,以下对行而言的性质,对列也成立.,性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号
2、的外面.,例如:,推论2 对 n 阶矩阵 A,有 det(kA)=kn det A.,性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.,推论1 有一行元素全为零的行列式值为零.,性质4 对换两行,行列式值反号.,推论1 有两行全同的行列式,其值为零.,性质5 把行列式某一行的各元素乘以同一数,然后加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.,性质,四、行列式值的计算,(2)利用 Laplace 定理的降阶法.,(1)化为上(下)三角形行列式的所谓化三角形法;,行列式的计算基本过程就是利用性质逐步简化行列式的结构.,为了便于检查,引进以下记号:,用 ri
3、 rj 表示对换第 i,j 行;,用 kri 表示第 i 行乘以非零数 k；,用 rj+kri 表示把第 i 行的 k 倍加到第 j 行.,用 ci 表示第 i 列,有相仿的记号.,性质,主要方法有两个:,消元过程同解方程组的变化,例1 解线性方程组,用相应的增广矩阵表示,一、消元法与矩阵的初等行变换,下列三种变换称为矩阵的初等行变换：,矩阵的初等行变换,(3)把矩阵的第 i 行的 k 倍加到第 j 行,用 rj+kri 记之.,(2)用非零数 k 乘矩阵的第 i 行,用 kri 记之;,(1)对换矩阵的第 i,j 行,用 rirj 记之;,线性方程组的消元过程,同解方程组的变化,用相应的增广
4、矩阵(行变换)的变化来表示,显得更加清晰.,一、消元法与矩阵的初等行变换,如果矩阵 A 经过有限次初等行变换,化为矩阵 B,就称矩阵 A 与 B 行等价.,增广矩阵行等价的两个线性方程组同解.,解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:,例3 解线性方程组,此增广矩阵相应的方程组第三个方程为 0=2,不可能.,原方程组无解.,(行阶梯形矩阵),最后,矩阵 A 便化为行阶梯形矩阵,其中 a1ar 0,r m,n,左下方空白处元素全为零.,用初等行变换化矩阵为行最简形,线性方程组的最简形解法,将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.,对于齐次线性方程组,增广矩阵改用系数矩阵即
5、可.,例5 解线性方程组,解 化方程组的增广矩阵为行最简形:,于是得同解方程组,令自由未知元 x2=k1,x4=k2,得原方程组的通解为,mn 矩阵,aij:矩阵的第 i 行第 j 列的元素,用粗体大写字母表示矩阵,以上矩阵记为 A(aij).,简称(i,j)元.,一、矩阵及其线性运算,数与矩阵的乘积,数 k 与矩阵 A=(aij)的乘积称为数乘运算,记作 kA,矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的线性运算.,线性运算律,设 A,B,C 为同型矩阵,k,l 为数,则成立,(1),(2),(3),规定为,二、矩阵的乘法运算,设有从变元 x1,xn 到变元 y1,ym 的线性变换,记,称矩阵 A
6、为线性变换的系数矩阵.,两矩阵的乘积,设,记,AB 中第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.,线性方程组,可记为矩阵形式 Ax=b,其中,当b 0 时,称方程组为非齐次的.,当b=0 时,称方程组为齐次的;,称矩阵 A 为线性方程组的系数矩阵.,称矩阵,为线性方程组的增广矩阵.,例4 已知两个线性变换,解,求从 x1,x2,x3 到 z1,z2,z3 的线性变换.,所求为,方阵 A 可逆时,其逆矩阵唯一,记为 A-1.,逆矩阵,如果存在矩阵 B,使 AB=BA=E那么称方阵 A 为可逆的,并称 B 为 A 的逆矩阵.,二、逆矩阵,设 A 可逆,则矩阵方程 A
7、X=B 有唯一解 X=A-1 B.,设 A 可逆,则矩阵方程 XA=B 有唯一解 X=BA-1.,设 A 可逆,则线性变换 y=Ax 的逆变换为 x=A-1 y.,逆矩阵的性质,设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则有,逆矩阵计算公式,非奇异矩阵 A 可逆,且其逆矩阵为,三、逆矩阵的初等变换求法,设 A 可逆,则,由定理4知,(A,E)经若干次初等行变换可化为(E,A-1).,逆矩阵的初等变换求法,逆矩阵的初等变换求法:,解,1.4 矩阵分块法,用若干条横、竖线将矩阵分块,每一小块称为子矩阵.以子矩阵为元素的形式上的矩阵,称为分块矩阵.,例1 将 34 矩阵分块,分块法有多种.,例如:,22 分块
8、:,23 分块:,解,由已知|A|0,|B|0,而|D|=|A|B|0,因此 D 可逆.,解得,因此,则,分块对角阵,(3)A 可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,s)都可逆,且有,其中 Ai(i=1,s)都是方阵,空白处元素全为零.,性质,(1),(2),矩阵的秩,如果矩阵 A 的等价标准形为,那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩,记为 R(A),或 rank(A).,规定零矩阵的秩等于0.,定理1 任一矩阵的等价标准形唯一.,推论 n元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充分必要条件是 R(A)n.,当方程个数少于未知元个数时,齐次线性方程组有非零解.,当A为方阵时,Ax=0
9、有非零解的充要条件是|A|=0.,可解性定理,(1)当 R(A,b)R(A)时,方程组无解;,(2)当 R(A,b)=R(A)=n 时,方程组有唯一解;,(3)当 R(A,b)=R(A)n 时,方程组有无穷多解.,设 n 元线性方程组 Ax=b.,例1 a 取什么值时,线性方程组,(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解.,解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换,1.当 a 1,-2 时,方程组有唯一解;,2.当 a=-2 时,方程组无解;,3.当 a=1 时,方程组有无穷多解.,当 R(A)=n 时,n 元齐次方程组 Ax=0 只有零解.,当 R(A)=r n 时,不妨设 Ax=0 的同解
10、方程组为,其中,注意:,二、线性方程组解的结构,则 Ax=0 的通解可表示为向量形式,齐次通解结构定理,则 Ax=0 的通解可表示为向量形式,其中,注意:,设 x1,xn-r(r=R(A)为 n 元方程组 Ax=0 的解,且满足条件 R(x1,xn-r)=n-r,则 Ax=0 的通解为,(k1,kn-r 为任意数),称 x1,xn-r 为方程组 Ax=0 的一个基础解系.,解 化系数矩阵为行最简形:,例4 求线性方程组,的一个基础解系.,于是得同解方程组,分别令 x3=7,x4=0 和 x3=0,x4=7,得基础解系为,一、向量组的秩和最大无关组,向量组的秩,设 A 为一向量组,A 中线性无关
11、向量组所含向量个数的最大值 r,称为向量组 A 的秩,记为 R(A).,向量组的最大无关组,设向量组 A 的秩为 r,如果 a1,ar 为 A 中一个线性无关向量组,那么称 a1,ar 为 A 的一个最大无关组.,最大无关组的性质,设 A 为一向量组,则部分组 a1,ar 为 A 的一个最大无关组的充分必要条件是,(2)A 中任一向量可由 a1,ar 线性表示.,(1)a1,ar 线性无关;,初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.,证明,设矩阵 A 经初等行变换化为矩阵 B.,设矩阵 A 的列向量组有一线性关系,因为矩阵 A 与 B 行等价,所以 Ax=0 与 Bx=0 同解,由此可知也有,定理1,记,秩与最大无关组的一个算法,例3 设,的秩为3,一个最大无关组为,易知,且有,的秩为3,一个最大无关组为,因此,且有,化矩阵 A为行最简形 A0,通过观察 A0,便知 A的列向量组的秩和一个特定的最大无关组,以及 A的其余列向量在该最大无关组下的线性表示.,向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是,定理3,其中(A,B)表示向量组 A 与 B 的并集构成的向量组.,定理4,向量组 A 与向量组 B 等价的充分必要条件是,
