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1、4.7 正弦定理、余弦定理应用举例要点梳理1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法如表所示.,基础知识 自主学习,2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等.3.实际问题中的常用角（1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 叫仰角,目标视线在水平视线 叫俯角（如图）.,上方,下方,(2)方位角指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图）.（3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.,正北,基础自测
2、1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60,C点的俯角是70，则BAC 等于（）A.10 B.50 C.120 D.130 解析 由已知BAD=60,CAD=70,BAC=60+70=130.,D,2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔 A在观察站北偏东40,灯塔B在观察站南偏 东60，则灯塔A在灯塔B的（）A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东10 D.南偏西10 解析 灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得ACB=80，CAB=CBA=50，则=60-50=10.,B,3.在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC 上的高为（）A.B.C.D.解析
3、由余弦定理可得：,B,4.ABC中,若A=60,b=16,此三角形面积 则a的值为（）A.20 B.25 C.55 D.49 解析 由S=bcsin A=220,得c=55.由余弦定理得 a2=162+552-21655cos 60=2 401,a=49.,D,5.(2009湖南文,14)在锐角ABC中,BC=1,B=2A,则 的值等于,AC的取值范围为.解析,2,题型一 与距离有关的问题 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取 相距 km的C、D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45,求 A、B之间的距离.分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解.,题型分类 深
4、度剖析,解 如图所示在ACD中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD=km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.在ABC中，由余弦定理，得,B,求距离问题要注意：（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.,知能迁移1（2009海南,宁夏理，17）为了测量两山顶M、N间的 距离，飞机沿水平方向在A、B 两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面 内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和 A、B间的距离，请
5、设计一个方案，包括：指 出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标 出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离 的步骤.,解 方案一：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示).第一步：计算AM.由正弦定理第二步：计算AN.由正弦定理第三步：计算MN.由余弦定理,方案二：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2;A、B的距离d（如图所示）.第一步：计算BM.由正弦定理第二步：计算BN.由正弦定理第三步：计算MN.由余弦定理,题型二 与高度有关的问题 某人在塔的正东沿着南偏西60的方向 前进40米后，望见塔在东
6、北方向，若沿途测得 塔顶的最大仰角为30，求塔高.依题意画图，某人在C 处,AB为塔高,他沿CD前进，CD=40米，此时DBF=45,从C到D 沿途测塔的仰角，只有B到测试点 的距离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB=AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出 塔高AB,必须先求BE，而要求BE，需先求BD（或BC）.,解 如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD=40，此时DBF=45，过点B作BECD于E，则AEB=30，,在BCD中,CD=40,BCD=30,DBC=135,BDE=180-135-30=15.在RtBED中，BE=DBsin 15在RtABE中，AEB=
7、30，AB=BEtan 30=故所求的塔高为,解斜三角形应用题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求；（2）依题意画出示意图；（3）分析与问题有关的三角形；（4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案；（5）注意方程思想的运用；（6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.,知能迁移2 如图所示，测量河对岸的 塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D，现测得 BCD=，BDC=，CD=s，并 在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解 在BCD中，CBD=-,题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用(12分)如图所示,在梯形 ABCD中，ADBC，
8、AB=5，AC=9，BCA=30,ADB=45，求BD的长.由于AB=5，ADB=45，因此要 求BD，可在ABD中，由正弦定理求解,关键 是确定BAD的正弦值.在ABC中,AB=5,AC=9，ACB=30,因此可用正弦定理求 出sinABC,再依据ABC与BAD互补确定 sinBAD即可.,解 在ABC中，AB=5，AC=9，BCA=30.ADBC，BAD=180-ABC,于是sinBAD=sinABC=.8分同理，在ABD中，AB=5，sinBAD=，ADB=45，解得BD=.故BD的长为.要利用正、余弦定理解决问题,需将 多边形分割成若干个三角形.在分割时，要注意 有利于应用正、余弦定理
9、.,6分,12分,知能迁移3 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的 一个动点，以DC为边作等边PCD，且点D与 圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的 最大值.,解 设POB=，四边形面积为y，则在POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OPOCcos=5-4cos.,方法与技巧1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个 平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.,思想方法 感悟提高,失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义.1.方向角从指
10、定方向线到目标方向线的水平角.2.方位角从正北方向线顺时针到目标方向线 的水平角.3.坡度坡面与水平面的二面角的度数.4.仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内 的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线 下方时称为俯角.,一、选择题1.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分 别是30，60,则塔高为（）解析 作出示意图如图，由已知：在RtOAC中，OA=200，OAC=30，则OC=OAtanOAC=200tan 30=在RtABD中，AD=，BAD=30，则BD=ADtanBAD=,A,定时检测,2.一船向正北航行，看见正西方向有相距10
11、海里的两 个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时 后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船 的南偏西75，则这艘船的速度是每小时（）A.5海里 B.5 海里 C.10海里 D.10 海里 解析 如图所示，依题意有BAC=60，BAD=75，所以CAD=CDA=15，从而CD=CA=10，在RtABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是（海里/小时）.,C,3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋 观察站C的距离都等于a km,灯塔A在 观察站C的北偏东20，灯塔B 在观察 站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B 的距离为（）A.a km B.a km C.a km D.2a km 解析 利用余
12、弦定理解ABC.易知ACB=120,在ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC BCcos 120=2a2-2a2,B,4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔 P的南偏西75距塔68海里的M处,下午2时到达这 座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（）A.海里/小时 B.海里/小时 C.海里/小时 D.海里/小时,解析 如图所示，在PMN中，,答案 A,5.如图，一货轮航行到M处,测得灯塔S 在货轮的北偏东15,与灯塔S相距20 海里,随后货轮按北偏西30的方向 航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则 货轮的速度为（）A.20 海里/小时 B.20 海里/小
13、时 C.20 海里/小时 D.20 海里/小时,解析 由题意知SM=20,SNM=105,NMS=45,答案 B,6.线段AB外有一点C,ABC=60,AB=200 km,汽车以 80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的 速度由B向C行驶,则运动开始 h后，两车的距离最 小.A.B.1 C.D.2,解析 如图所示，设t h后,汽 车由A行驶到D，摩托车由B行 驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就是求DE最小时t的值.由余弦定理：DE2=BD2+BE2-2BDBEcos 60=(200-80t)2+2 500t2-(200
14、-80t)50t=12 900t2-42 000t+40 000.,答案 C,7.在ABC中,BC=1,B=，当ABC的面积等于 时，tan C=.解析 SABC=acsin B=,c=4.由余弦定理：b2=a2+c2-2accos B=13,二、填空题,8.在ABC中,AC=，BC=2，B=60,则A的大 小是，AB=.解析,45,9.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60的方向,两船 相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船是乙船速度的 倍，则甲船应取方向 才能追上乙船；追上时甲 船行驶了 海里.解析 如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船的速度为v,则BC=tv，AC=t
15、v，B=120，BC=AB=a，AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 120,北偏东30,三、解答题10.如图所示,扇形AOB,圆心角AOB等 于60,半径为2,在弧AB上有一动 点P，过P引平行于OB的直线和OA交 于点C，设AOP=，求POC 面积的最大值及此时的值.解 CPOB，CPO=POB=60-，OCP=120.在POC中，由正弦定理得,11.在ABC中，已知(1)sin2 cos(B+C)的值;(2)若ABC的面积为4,AB=2,求BC的长.解,12.在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A(-1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的 方向,距离A 2 n mil
16、e的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解 如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.设缉私船用t h在D处追上走私船，,则有CD=10 t，BD=10t.在ABC中，AB=-1，AC=2，BAC=120,由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=（-1）2+22-2（-1）2cos 120=6,BC=，CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理，得BCD=30.即缉私船北偏东60方向能最快追上走私船.,返回,
