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1、5.2 求不定积分的几种基本方法,一、第一类换元法（凑微分法）,.,先看下例：,例1 求,解,设,则,一般地，如果,是,的一个原函数，则,而如果,又是另一个变量,的函数,且,可微，那么根据复合函数的微分法，有,由此得,是具有原函数,于是有如下定理：,定理1 设,可导，则,有换元公式,（5-2）,由此可见，一般地，如果积分,不能直接,利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式,能表示为,的形式，且,较易计算，那么可令,代入后有,这样就得到了,的原函数.这种积分称为第一类换元法.,由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分,因子,因此第一类换元法也称为凑微分法.,例2 求,解,再以,代入，即得
2、,例3 求,解 被积函数,可看成,与,构成的复合,函数，虽没有,这个因子，但我们可以凑出这个因子：,，,如果令,便有,，,一般地，对于积分,总可以作变量代换,，把它化为,，,例4 求,解 令,则,，,例5 求,解 令,则,有,凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式在,比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤,例7 求,例6 求,解,解,解,例8 求,例9 求,解,类似地可得,例10 求,解,例11 求,解,类似地可得,类似地可得,例12 求,解,例13 求,解,第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10
3、),二、第二类换元法,第一类换元法是通过变量代换,，将积分,化为积分,第二类换元法是通,过变量代换,，将积分,化为积分,在求出后一个积分后,再以,反函数,代回去,这样换元积分公式可表示为:,上述公式的成立是需要一定条件的，首先等式右边,的不定积分要存在，即被积函数,的,有原函数；其次,的反函数,要存在.我们有下面的定理,定理2 设函数,连续,单调、可导，并且,，则有换元公式,(5-3),下面举例说明公式(5-3)的应用,例14 求,解 遇到根式中是一次多项式时，可先通过适当的换,元将被积函数有理化，然后再积分,令,则,，故,例15 求,解 令,，则,则有,例16 求,解 为使被积函数有理化利用
4、三角公式,令,则它是,的单调可导函数，,具有反函数,且,因而,例17 求,解 令,则,于是,其中,例18 求,解 被积函数的定义域为,令,，这时,故,其中,当,时,可令,类似地可得到相同形式的结果,以上三例中所作的变换均利用了三角恒等式，称之为,三角代换，可将将被积函数中的无理因式化为三角函数,的有理因式一般地，若被积函数中含有,时，可,作代换,或,；含有,时，可作,代换,；含有,时，可作代换,利用第二类换元法求不定积分时，还经常用到倒代换,即,等,例19 求,解 令,则,因此,当,时，,有,当,时，,有,综合起来，得,在本节的例题中，有几个积分结果是以后经常会遇到,的所以它们通常也被当作公式
5、使用这样,常用的积分,公式，除了基本积分表中的以外，再添加下面几个(其中,常数a0).,(14),(15),(16),(17),(18),(19),(20),(21),例20 求,解,利用公式(18)，可得,例21 求,解,利用公式(21)，可得,三 分部积分法,.,一、分部积分公式的推导,思考：,诸如此类的不定积分，用换元积分法都不能求解,特点：被积函数是两种不同类型的函数的乘积.,需要用到求不定积分的另一种基本方法分部积分法,设函数,及,具有连续导数那么，,移项，得,对这个等式两边求不定积分，得,（5-4）,公式（5-4）称为分部积分公式.,如果积分,不易求,而积分,比较容易时,分部积分公
6、式就可用了.,为简便起见,也可把公式（5-4）写成下面的形式:,（5-5）,现在通过例子说明如何运用这个重要公式.,例22 求,解 由于被积函数,是两个函数的乘积,选其中一,那么另一个即为,如果选择,则,个为,得,如果选择,则,得,上式右端的积分比原积分更不容易求出,由此可见，如果,和,选取不当，就求不出结果,所以应用分部积分法时，恰当选取,和,是关键，,一般以,比,易求出为原则,例23 求,解,例24 求,解,由上面的三个例子知道，如果被积函数是指数为正整,数的幂函数和三角函数或指数函数的乘积，就可以考虑,用分部积分法，并选择幂函数为,经过一次积分，就,可以使幂函数的次数降低一次,例25 求,解,例26,求,解,例27 求,解,总结上面四个例子可以知道,如果被积函数是幂函数,和反三角函数或对数函数的乘积,就可以考虑用分部积分,法,并选择反三角函数或对数函数为,一般地,如果被积函数是两类基本初等函数的乘积,在多数情况下,可按下列顺序:反三角函数、对数函数、,幂函数、三角函数、指数函数，将排在前面的那类函,数选作,，后面的那类函数选作,下面两例中使用的方法也是比较典型的.,例28 求,解,等式右端的积分与原积分相同,把它移到左边与原积分,合并,可得,例29 求,解,所以,
