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1、1,重要结论,矩阵A的初等行(列)变换不改变矩阵的秩,且不改变其列(行)向量间的线性关系.,(证明略),2,思路之一:定义法.,(2)向量组 中含向量个数最多的线性无关部分组都是向量组的极大无关组;,(1)假定 是某向量组中的 r 个向量,如果 线性无关,且向量组中任一向量都可由 线性表示,则 是向量组的一个极大无关组;,此方法比较烦琐,较少用,求向量组的极大无关组的方法总结,3,思路之二:初等行变换法.,(1)将向量组中的各向量作为矩阵A的各列;,(2)对A施行初等行变换(注意仅限初等行变换);,(3)化A为阶梯形,在每一阶梯中取一列为代表,则所得向量组即为原向量组得一个极大无关组.,用初等
2、行变换求极大无关组是最基本的方法.,4,思路之三:利用等价性.,设 为某向量组的一个极大无关组,则任意 r 个线性无关的部分组均为极大无关组.,5,例1 求下列向量组的一个极大无关组,分析:按定义向量个数最多的线性无关部分组都是向量组的极大无关组.,6,思想:,(i)通过观察找出一个无关组;,(ii)往前面找出的无关组中增加一个向量,若得到新的向量组仍然线性无关,则得到了新的线性无关组,否则,继续考虑下一个向量,(iii)重复步骤(ii)直到考虑完所有的向量为止,这样最后得到的线性无关组便是原向量组的一个最大无关组.,7,解:,线性无关.,1),2),因为 的对应分量不成比例,所以 线性无关.
3、,3),下面考虑向量组,线性相关.,4),下面考虑向量组,设存在一组数 使得,即,8,从而,解得,即,也即,所以 是向量组 的一个极大无关组.,9,例2,考虑向量组,求此向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量分别用该极大无关组线性表示.,10,解:,用这些向量作为矩阵A的列向量，并对矩阵A作初等行变换,11,可见,为一个极大无关组.,事实上,均为极大无关组.,12,进一步有,所以有,注:这里用到初等行变换不改变列向量之间的线性关系.,13,分析:若能证明向量组,例3 试证:若 n 维单位向量 可以由 n 维向量 线性表示,则 线性无关.,I:,II:,等价,则 又 从而,因此,线性无关.,1
4、4,证明:,由于 n 维单位向量 可以由,故向量组,n 维向量 线性表示,又显然有 n 维,向量 可以由 n 维单位向量,线性表示,I:,II:,等价,则 又 从而,因此,线性无关.,15,例4 设 为齐次线性方程组 的基础解系,试判别下述向量组是否仍是的基础解系.,分析:本题实际上已知 为 的解空间的极大无关组,要求证明 是否仍是 的解空间的极大无关组.由于已知极大无关组为三个向量,所以任意三个线性无关向量均为极大无关组,这只要证明 与 是否等价即可.注意:作为基础解系,应说明 为解向量.,16,解:,只需证明 线性无关即可,显然 均为 的解,而这又转化为证明 与 等价.,(1),由,知,记为A,17,又,从而,因此秩,(注:),即 线性相关,故 不是 的基础解系.,18,(2),由,知,记为B,又,从而,所以矩阵B可逆,且,19,所以 线性无关,故向量组 与 可以相互线性表示,即向量组 与 等价.,从而秩 秩,故 为 的基础解系.,
