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1、第2节 牛莱公式与简单定 积分计算,一、问题的提出,二、积分上限函数及其导数,三、牛顿莱布尼茨公式,四、凑微法简单积分计算,五、小结,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,二、积分上限函数及其导数,称,为积分上限函数.,性质：,证明,由积分中值定理得,由极限性质知,由连续函数定义知,定理6.2.2(连续函数的原函数存在定理）,定理的重要意义：,(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.,(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,证明,证毕.,由函数 的连续性和积分中值定理得,由定理的证明知,对区间端点的情况用单侧导数说明即可.,求上限函数的导数应注意:,中的表
2、达式是一样的.,例1 求,根据上限函数求导数公式得,解,定理,证明,例 2 已知,解 由上限函数的求导公式的,例3 设,求,解,三、牛顿莱布尼茨公式,定理（微积分基本公式）,证明,令,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例 4 求,解,例 5 计算,解,例 6 下列计算是否正确?,解 不正确.,被积函数在积分区间上为正,但积分值是负的,与积分性质矛盾.,使用牛莱公式时,一定要注意被积函数在积分区间上的可积性.,例 7 计算,解,注意:恒等变形时,一定要使被积函数有意义.,例 8 计算,解 原式,注意:计算定积分开根号时,一定要带绝对值.,练习：,注意:当被积函数带有
3、绝对值时,先去绝对值.,例11 求,解,四、简单定积分的计算-凑微法,例12 计算,解,解,例13 计算,解,例14 计算,原式,例15,设函数 为连续的奇函数,且已知,求积分 的值.,解,解,因为当 时,故,这便排除了选项(C)和(D).,又令,则,即 在 单调增加,有,故,即选项(B)正确.,五、综合题,(1)求导数,解方程两边关于求导数得,解得,解,例 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,(2)求不定式的极限,(3)利用牛顿莱布尼兹公式及定积分定义求和式极限,例6求,解原式,证明,(4)证明单调性、方程的根,提示：,例(040403)设,(A)在 点不连续.,(B)在 内连续,在 点不可导,(D)在 内可导,但不一定满足,(C)在 内可导,且满足,(5)求函数关系并讨论其连续性,则(),当 时,当 时,显然,当 时,解,在 处连续,当 时,当 时,在 处不可导.故B正确,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,五、小结,思考题,思考题解答,(980205),确定常数,的值,使,解,故,思考,再用罗必达法则:,从而再用罗必达法则得,练 习 题,练习题答案,
