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1、衍射和傅里叶光学基础,2/38,现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。,傅里叶光学：,3/38,一门新的理论总是要完成下列几项任务：逻辑上自洽，也就是讲，自身要
2、完整能够解释原有理论的可以解释的那些内容，并且得出相同的结论能够解释原有理论难以解释甚至无法解释的内容能够增添新的内容，得到新的结论，开拓新的领域，提出新的观点,傅里叶光学与光学理论,4/38,傅里叶光学自身理论是完整的它可以解释几何光学的成像原理它可以合理完整的解释光的波动学说：干涉和衍射现象它可以得到传递函数、相衬理论、全息光学等新的现象和新的领域,傅里叶光学与光学理论,5,1.傅里叶变换的基本概念及运算,让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)。Fourier对热传递
3、很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange,1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace,1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，否定了傅立
4、叶的工作成果。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。,Joseph Fourier（1768-1830）,Fourier was obsessed with the physics of heat and developed the Fourier series and transform to model heat-flow problems.,谁是对的呢？看从什么角度：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。拉格朗日是对的。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。,7,8,为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？,如我们也还
5、可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷多的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正余弦曲线信号输入后，输出的仍是正余弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正余弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。,9,10,1傅立叶级数的定义,设f(x)是周期为T0的周期函数，满足狄里赫利条件，即：(1)、在区间(-T0/2,T0/2)分段连续；(2)、只存在有限个极值点；(3)、只存在有限个第一类间断点；(4)、绝对可积，即：,则f(x)可以
6、展开为傅立叶级数：,(1),称为傅立叶系数,(2),(3),(4),连续可积,11,令：,则有：,(5),(6),(7),可用cn来统一表示，称cn为复数形式的傅立叶系数。,(8),于是 f(x)的傅立叶级数可以用复数形式表示为：,亦可简称为傅立叶系数。,12,傅立叶系数cn：,(9),函数f(x)的周期T0的倒数，称作f(x)的基频，表示为：f0=1/T0；而fn=n/T0=nf0，称作f(x)的谐频，亦可简称为频率。,如果f(x)代表时间函数，则fn代表时间频率；如果f(x)代表空间函数，则fn代表空间频率。,表明：周期函数f(x)可以分解为一系列频率为fn，复振幅为cn的谐波；反之，若将
7、各个谐波线性叠加，则可以精确的综合出原函数f(x)。,(8),13,2频谱的概念,一个周期变化的 物理量在x域(时间域或空间域)内用f(x)来表示：,(9),(8),而在fn域(时间频率域或空间频率域)内用cn来表示：,由于cn表示频率为fn的谐波成分的复振幅，所以cn按fn的分布图形称为f(x)的频谱。因为一般cn是复数，所以cn的模值|cn|随fn的分布图叫做f(x)的振幅频谱，而cn的幅角随fn的分布图叫做f(x)的位相频谱。,可见这两种表示是等效的。,14,15,将一个系统的输入函数f(x)展开为傅立叶级数，在频率域中分析各个谐波的变化，然后综合出系统的输出函数，这种处理方法称为频谱分
8、析方法。,为了认识复杂的光学现象以及进行光信息处理，可采用频谱分析的方法。,2.一维傅立叶变换的定义及其运算举例,16,17,傅立叶变换和傅立叶逆变换常常用运算符号表示：F()=Ff(x)(12)f(x)=F-1F()(13),设f(x)是定义在实数域x上的一维函数，若f(x)满足狄里赫利条件，即f(x)分段连续，在任意有限区间内只存在有限个极值点和有限个第一类间断点，并且在区间(-，)上绝对可积，则下述积分变换成立：,(10),(11),称作傅立叶变换的核，它表示一个频率为的谐波成分。,表明：一个物理量既可以在域x中用函数f(x)来表示，也可以通过傅立叶变换，在频率域内用函数F()来描述。,
9、1一维傅立叶变换的定义：,称作函数f(x)的傅立叶变换,称作傅立叶逆变换,18,2一维傅立叶变换的举例,例1)、求矩形函数f(x)=rect(ax)的傅立叶变换。,在物理光学中，习惯将F()的主瓣宽度定义为矩形函数的频带宽度，由图2可见，rect(ax)的频带宽度为2a。,解：,19,首先：,于是根据定义，函数f(x)的傅立叶变换为：,解：,有：,因为cos(x)/x是奇函数，sin(x)/x是偶函数，所以有：,20,1/2,0,-1/2,1/2,21,例3)、负指数函数的傅立叶变换负指数函数的定义为：,则它的傅立叶变换为：,易见，F()是复函数。它的振幅为：,相位为：,22,例4)、高斯函数
10、的f(x)=exp(-x2)傅立叶变换,Possion积分：,可见，高斯函数具有自傅立叶变换的性质。,解：,23,3.傅立叶变换的性质 及有关定理,1线性2对称性3迭次傅立叶变换4缩放性5平移性6相移性7面积对应公式8复共轭函数的傅立叶变换,3.1 傅立叶变换的性质,24,1线性设F f(x)=F()，F g(x)=G()，a，b为任意常数，则：F af(x)+bg(x)=aF()+bG(),即函数线性组合的傅立叶变换等于各函数傅立叶变换的线性组合，这表明傅立叶变换是线性变换。,线性是什么意思？数学上是指一次方的函数关系。物理上指不变形。,2.4.1 傅立叶变换的性质,25,2对称性 若F f
11、(x)=F()，则F F(x)=f(-)3迭次傅立叶变换若F f(x)=F()，则F F()=f(-x),26,4缩放性（相似性定理和尺度变换定理）,F f(ax)=,若F f(x)=F()，a为不等于零的常数，则有：,即原函数在空域坐标（x,y）的“伸展”（a，b1时），将导致其频谱函数在频域坐标（fx,fy）中的“收缩”，以及整个频谱幅度的一个总体变化。且其收缩和展宽的因子相同。,27,5平移性若F f(x)=F()，x0为任意实常数，则有：F f(xx0)=exp(j2x0)F()即函数f(x)在空域或时域平移，只引起其频谱的相位线性平移，而不改变其振幅频谱。6相移性若F f(x)=F(
12、)，0为任意实常数，则有：F exp(j20 x)f(x)=F(0)即原函数在空域中的相移会引起其频谱函数在频域的平移。,28,7面积对应公式,8复共轭函数的傅立叶变换 若F f(x)=F()，则有：F f*(x)=F*(-)，F f*(-x)=F*(),若F f(x)=F()，则有：,F(0)等于f(x)曲线下的面积；f(0)则等于F()的曲线下的面积。两个面积相等。对于二维傅立叶变换，面积当换成体积。,29,4.光波的傅里叶分析,4.1 平面波基元函数分析方法,按照傅里叶分析的观点:平面(x,y)上一个任意的光场复振幅分布A(x,y)，可以表示为一系列空间频率为(fx,fy),振幅密度为a
13、(fx,fy)的简谐平面波的线性叠加，上述振幅密度函数a(fx,fy)可通过A(x,y)的二维傅里叶变换求出：,返回,处理线性系统常用方法：,线性系统的分析与综合：傅立叶分析,一个复杂输入,分解,多个简单“基元”输入,计算每个“基元”输入的响应,总响应,叠加,傅立叶分析提供了一个进行信号分解的手段！,基元函数,权重因子,基元函数的意义：代表了传播方向为：cosfx，cosfy的单位振幅的平面波。,逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同(|F(fx,fy)|dfxdfy)方向不同（cosfx，cosfy）的平面波线性叠加的结果(傅立叶分解)。,基元函数,权重因子,逆傅立叶
14、变换提供了分解函数的一种手段。,线性系统的基本特点：它对同时作用的几个激励函数的响应等于每个激励函数单独作用时产生的响应之和。,系统对任一输入函数的响应可用基元函数响应的线性组合来表示。,基元函数:指不能再分解的基本函数单元,且它们的响应是比较易于确定的。在光学系统中，常用的基元函数有三种：函数、复指数函数、余弦函数,线性系统对某种“基元”激励的响应。,34,光波的傅立叶分析,1、实际光源发出的光波是复杂的，其时间参量里包含各种时间频率，其空间分布上很复杂，其等相面具有复杂的形状。2、研究复杂光波的有效方法是将它分解为一系列简谐平面波的线性组合，分析各个简谐平面波成分传播规律，最后综合出复杂光
15、波的传播规律。3、凡是符合傅立叶变换存在条件的一切复杂波，都可以用傅立叶变换作为分解的手段。4、对复杂波分解的方法步骤是：首先，将空间各考察点处的振动分解为各种时间频的简谐振动的线性组合，即时间域分解；然后，将每个简谐波分解为一系列不同空间频率的平面波的线性组合，即空间域分解。最后，将复杂波表示为一系列简谐平面波的线性组合。,35,(一)、时间域分解,设A(x,y,z,t)表示一个复杂波在考察点(x,y,z)处的振动函数，通过时间域的傅立叶变换，可以求出该复杂振动的时间频谱。,(9),于是，按照傅立叶变换，复杂波可以表示为：,(10),表明，复杂波A(x,y,z,t)可以分解为一系列频率为，振
16、幅密度为 的简谐波的叠加。,即：,36,(10),但在空间考察，每个简谐波的等相面形状仍然很复杂。,对此可以对每个简谐波作空间域的傅立叶分解，将其分解为一系列不同空间频率的简谐平面波的线性叠加。,设简谐波复振幅 的空间频谱为,(11),(12),表明，复杂波 被分解为一系列空间频率为(fx、fy、fz)，振幅密度为 的简谐平面波的叠加。,(二)、空间域的分解,看作简谐波之一,37,三个空间频率分量(fx,fy,fz)并不独立，它们和时间频率之间满足约束关系。,这样计算 的空间频谱 时只需进行二维的傅立叶变换。,对复杂波进行空间分解时有两点必须注意：,首先,视作时间域简谐波,看作常数,时间因子，可暂时不考虑,其次,(13),如果已知复杂波在(x,y)平面上的振幅分布 时，只需求出，分解出各个空间频率为(fx,fy)的平面波分量即可。,38,A(x,y,z,t),综合上述两步时间和空间分解过程，可将复杂波表示为：,(14),在空间-时间域描述波动,在空间-时间频率域内描述波动行为,在空间频率域-时间频率域内描述波动行为,被称做波函数A(x,y,z,t)在确定空间考察点(x,y,z)的时间频谱函数,被称做波函数A(x,y,z,t)的空间-时间频谱函数,能够描述同一个波动行为；三个函数，知道其中任何一个，便可以通过傅立叶变换或逆变换求出其它两个。,39,天才模仿高效率持久性,
