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1、2023/8/20,1,第五章 状态反馈和状态观测器,状态反馈及极点配置系统的镇定问题状态观测器带有观测器的状态反馈系统,2023/8/20,2,第一节 状态反馈及极点配置,状态反馈与输出反馈状态反馈极点配置条件和算法状态反馈闭环系统的能控性和能观测性,2023/8/20,3,将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。,一、状态反馈,反馈的两种基本形式：状态反馈（1种）、输出反馈（2种）,原受控系统：,线性反馈规律：,2023/8/20,4,状态反馈闭环系统：,反馈增益矩阵：,状态反馈闭环传递函数矩阵为：,一般D=0，可化简为：,状态反馈闭环
2、系统表示：,状态反馈系统的特征方程为：,2023/8/20,5,原受控系统：,二、输出到参考输入的反馈（又称为输出反馈）,将系统输出量乘以相应的反馈系数馈送到参考输人，其和作为受控系统的控制输入。（同古典控制，不作过多说明）,输出反馈控制规律：,输出反馈系统状态空间描述为：,2023/8/20,6,输出反馈增益矩阵：,闭环传递函数矩阵为：,结论3：由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可观测性。,结论1：当HCK时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈，即KHC。故输出反馈不改变系统的能控性。,结论2：对于状态反馈，从KHC中，给定
3、K值，不一定能够解出H。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。,2023/8/20,7,原受控系统：,三、输出到状态微分的反馈,将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。这种反馈在状态观测器中应用广泛，结构和观测器很相似。,输出反馈系统状态空间描述为：,2023/8/20,8,极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。,四、状态反馈极点配置条件和算法,定理：(极点配置定理)对线性定常系统 进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是：状态完全能控。
4、,注意：矩阵 的特征值就是所期望的闭环极点。对不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。,2023/8/20,9,(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：,(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。,(4)由 确定反馈矩阵K：,解：（1）先判断该系统的能控性,例1 考虑线性定常系统,其中：,试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2j4和-10。,2023/8/20,10,该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。,（3）计算期望的特征多项式,2023/8/20,11,由 得,（4）确定K阵,求得：,所以状态反馈矩阵K为：,2023/8/20,12,从中可以看出，对
5、于1的极点，状态反馈不起作用，状态反馈只能通过k2去影响2这个极点。即状态反馈对不能控部分状态，不能任意配置其极点。,2023/8/20,13,证明：,原系统：,第二能控标准型：,其中：,式（1）和式（2）比较，得：,2023/8/20,14,第二能控标准型：此时的系统不变量和原系统相同。,能控标准型下，加入状态反馈后，系统矩阵为：,第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式及,2023/8/20,15,第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式为：,根据期望闭环极点，写出期望特征多项式：,由，可以确定第二能控标准型下的反馈矩阵为：,2023/8/20,16,(1)判断系统能控性。如果
6、状态完全能控，按下列步骤继续。,(2)确定将原系统化为第二能控标准型 的变换阵,若给定状态方程已是第二能控标准型，那么，无需转换,第二能控标准型法，求反馈增益矩阵K的步骤：,系统不变量：,2023/8/20,17,(3)根据给定或求得的期望闭环极点，写出期望的特征多项式：,(4)直接写出在第二能控标准型下的反馈增益矩阵：,(5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：,还可以由期望闭环传递函数得到：,第二能控标准型法，非常适合于计算机matlab求解,期望的闭环极点有时直接给定；有时给定某些性能指标：如超调量 和调整时间 等）,2023/8/20,18,例用第二能控标准型法，重新求解前面例1：,（
7、2）计算原系统的特征多项式：,解：（1）可知，系统已经是第二能控标准型了，故系统能控，此时变换阵,（3）计算期望的特征多项式,（4）确定K阵,所以状态反馈矩阵K为：,第二能控标准型下的状态反馈矩阵为：,2023/8/20,19,3）爱克曼公式(Ackermann公式法)（维数较大时，n3）,为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：,其中 是A满足其自身的特征方程，为：,推导过程：略此方法也非常适合于计算机matlab求解,2023/8/20,20,例用爱克曼公式，重新求解前面例1：,解：（1）确定系统期望的特征多项式系数：,所以：,（2）确定,2023/8/20,21,（3）所以状态反馈矩阵K
8、为：,2023/8/20,22,例已知线性定常连续系统的状态空间表达式为,设计状态反馈增益矩阵K，使闭环系统的极点为1和2，并画出闭环系统的结构图。,解：先判断系统的能控性。,系统状态完全能控，可以通过状态反馈任意配置其极点。,令,2023/8/20,23,则状态反馈闭环系统的特征多项式为,期望的特征多项式为,由,，求得,状态反馈闭环系统的结构图如下：,2023/8/20,24,期望极点选取的原则：1）n维控制系统有n个期望极点；2）期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对；3）期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。4）离虚轴距离较近的主
9、导极点收敛慢，对系统性能影响最大，远极点收敛快，对系统只有极小的影响。,2、闭环系统期望极点的选取,2023/8/20,25,五、状态反馈闭环系统的能控性和能观测性,定理：如果SI线性定常系统 是能控的，则状态反馈所构成的闭环系统 也是能控的。,证明:,2023/8/20,26,结论：对SISO系统，引入状态反馈后，不改变系统原有的闭环零点。所以经过极点的任意配置，可能会出现零极点相约，由于可控性不变，故可能破坏可观测性。,第二能控标准型，受控系统传递函数：,状态反馈后，闭环系统传递函数：,2023/8/20,27,本节小结：,1、状态反馈系统的结构:,状态反馈闭环系统：,状态反馈闭环传递函数
10、矩阵为：,状态反馈系统的特征方程为：,2、输出反馈:,闭环系统动态方程：,闭环传递函数矩阵为：,系统的特征方程为：,2023/8/20,28,3、输出到状态微分的反馈：,闭环系统动态方程：,闭环传递函数矩阵为：,系统的特征方程为：,4、状态反馈极点配置条件和算法：,极点任意配置条件：系统状态完全能控。,极点配置算法：反馈阵k的求法,2023/8/20,29,(4)由 确定反馈矩阵K：,(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：,(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写期望特征多项式。,1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n 3时）,(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。,20
11、23/8/20,30,(4)写出第二能控标准型下的反馈增益矩阵：,(5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：,2）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n3时）,(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。,(3)写出期望的特征多项式：,(2)确定将原系统化为第二能控标准型 的变换阵,2023/8/20,31,5、状态反馈闭环系统的能控性和能观测性,可以保持原系统的能控性，但可能破坏原系统的能观测性。,3）爱克曼公式(Ackermann公式法)（维数较大时，n3）,其中 是A满足其自身的特征方程，为：,为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：,2）和3）方法非常适合于计算机mat
12、lab求解,2023/8/20,32,第二节 系统的镇定问题,系统镇定的概念状态反馈与系统的镇定,2023/8/20,33,一、系统镇定的概念,镇定：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点具有负实部，则称该系统是能镇定的。可以采用状态反馈实现镇定，则称系统是状态反馈能镇定的。,定理：如果线性定常系统不是状态完全能控的，则它状态反馈能镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。,定理证明：,二、状态反馈与系统的镇定,原系统：,2023/8/20,34,将原系统按照能控性分解，得到系统,对系统 引入状态反馈后，系统矩阵变为,闭环系统特征多项式为：,2023/8/20,35,结
13、论1：如果线性定常系统是状态完全能控的，则不管其特征值是否都具有负实部，一定是状态反馈能镇定的。（一定存在状态反馈阵K，使闭环系统的极点得到任意配置）不稳定但状态完全能控的系统，可以通过状态反馈使它镇定,结论2：可控系统是一定可镇定的，可镇定系统不一定是可控的,2023/8/20,36,例系统的状态方程为,（2）由动态方程知系统是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可知此部分是渐近稳定的。因此该系统是状态反馈能镇定的。,解：（1）系统的特征值为1，2和5。有两个特征值在右半S平面，因此系统不是渐近稳定的。,（1）该系统是否是渐近稳定的？（2）该系统是否是状态反馈能镇定的？（3
14、）设计状态反馈，使期望的闭环极点为,2023/8/20,37,（3）不能控部分的极点为5，与其中一个期望极点相同。此时，只能对能控部分进行极点配置。设，对能控部分进行极点配置。,期望的特征多项式为：,2023/8/20,38,由 得：,解得：,所以反馈阵为：,2023/8/20,39,例系统的状态方程和输出方程如下,解：（1）系统特征方程为：,（1）讨论系统的稳定性。（2）加状态反馈可否使系统渐近稳定？,特征值为，系统不是渐近稳定的。,（2）系统能控，加入状态反馈可以任意配置极点。设反馈阵为，加状态反馈后的系统矩阵为,2023/8/20,40,系统的特征多项式为：,通过k1和k2的调整可使系统
15、的特征值都位于左半S平面，使系统渐近稳定。,2023/8/20,41,第三节 状态观测器,状态观测器的原理和构成状态观测器的存在条件状态观测器极点配置条件和算法构成状态观测器的原则,2023/8/20,42,状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态。,状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。,2023/8/20,43,原受控系统：,状态观测器：,原系统和状态观测器之间状态的误差：,有：，即：,原系统初始状态 状态观测器的初始状态,如果，必有，即两者完全等价，
16、实际很难满足。也就是说原状态和状态观测器的估计状态之间必存在误差，从而导致原系统和状态观测器的输出也必存在误差。渐近状态观测器。,2023/8/20,44,全维渐近状态观测器结构图：维数2n。,2023/8/20,45,状态观测器的特征方程为：,状态观测器 方程：,由此可以得到全维渐近状态观测器的等价结构图：维数2n。,2023/8/20,46,状态观测器能否起作用的关键：观测器在任何初始条件下，都能够无误差地重构原状态。,二、状态观测器的存在条件：,存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐近稳定的。,存在条件,2023/8/20,47,令：,则：,得：,2023/8/20,48,1、能观测
17、部分：,齐次状态方程的解：,2023/8/20,49,2023/8/20,50,前提：设计全维状态观测器，是状态观测器期望的特征值。则目的是确定观测器增益矩阵，使得A-KeC具有期望的特征值。等同于状态反馈系统的设计。,三、状态观测器设计和状态反馈设计的对偶问题：,原系统为：,则其对偶系统为：,1、针对对偶系统来设计状态反馈阵K：,线性反馈规律仍然为：,则希望 取得一组期望的特征值，将特征值选择为原系统的观测器的期望特征值。,2023/8/20,51,观察上式可以发现：,与原系统状态观测器的特征方程相比：,则有：,其中，K是其对偶系统的状态反馈阵。,结论：原系统的状态观测器增益矩阵Ke的设计，
18、等同于其对偶系统状态反馈中反馈阵K的设计，两者互为转置。其中原系统的观测器特征值等于其对偶系统状态反馈的特征值。,2023/8/20,52,2023/8/20,53,第二能观测标准型下，状态观测器的特征多项式：,第二能观测标准型：,能观测标准型下状态观测器的系统矩阵：,2023/8/20,54,状态观测器的设计步骤：,(3)写出状态观测器的期望特征多项式：,1、直接法（维数较小时，n 3）,(2)求观测器的特征多项式：,(4)由 确定状态观测器的反馈矩阵：,(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。,2023/8/20,55,2、第二能观标准型法（维数较大时，n3，适合计算机
19、求解）,(2)确定将原系统化为第二能观测标准型 的变换阵。,若给定的状态方程已是能观测标准型，那么，无需转换,(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。,2023/8/20,56,(4)直接写出在第二能观测标准型下观测器的反馈矩阵：,(5)求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵：,(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：,下面证明原系统和线性变换后系统间观测器的状态反馈增益矩阵的关系：,2023/8/20,57,证明：,原系统：,第二能观标准型：,其中：,式（1）和式（2）比较，得：,2023/8/20,58,为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：,其中 是A满足
20、其自身的特征方程，为：,推导过程：用前面讲述的对偶关系来推导。转化为对偶系统的状态反馈阵K的设计。此方法也非常适合于计算机matlab求解,3、爱克曼公式(Ackermann公式法)（维数较大时，n3）,2023/8/20,59,解：(1)传递函数 无零极点对消，系统能观测 可以写为第二能观测标准型：,例 系统的传递函数如下，试设计状态观测器，使观测器的极点为10，10。,(2)设观测器的反馈增益阵为：,1、直接法求解：,2023/8/20,60,(5)由系数相等，得到观测器的反馈矩阵为：,(4)状态观测器期望的特征多项式为：,(3)求观测器的特征多项式：,则观测器的系统矩阵为：,2023/8
21、/20,61,原系统的对偶系统，其A、B阵如下：,设对偶系统的状态反馈阵为,2、用状态反馈和状态观测器的对偶关系求解：,将系统的特征值选择为原系统观测器的期望特征值。则期望的特征多项式为：,则对偶系统的加入状态反馈后的特征多项式为：,由系数相等，得到对偶系统状态反馈矩阵K为：,所以，原系统观测器的反馈矩阵为：,2023/8/20,62,3、用爱克曼公式求解：,（1）确定系统期望的特征多项式系数：,所以：,（2）确定,2023/8/20,63,（3）所以观测器增益Ke为：,2023/8/20,64,例已知线性定常连续系统的状态空间表达式为,设计状态观测器，使观测器极点为10和10，并画出系统的结
22、构图。,解：先判断系统的能观测性。,系统状态完全能观测，观测器存在，且其极点可以任意配置。,令,2023/8/20,65,则观测器的特征多项式为,观测器期望的特征多项式为,由,，求得,观测器方程为：,或：,2023/8/20,66,观测器的系统结构图如下：,2023/8/20,67,五、构成状态观测器的原则：,1）观测器 以原系统 的输入和输出作为其输入。2）的输出状态 应有足够快的速度逼近x，这就要求 有足够宽的频带，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能容忍地将高频噪声分量放大。3）有较高的抗干扰性，这就要求 有较窄的频带，因而快速性和抗干扰性是互相矛盾的，应综合考虑。4
23、）在结构上应尽可能地简单，即具有尽可能低的维数。5）观测器的逼近速度选择：只需使观测器的期望极点比由此组成的闭环反馈系统的特征值稍大一些即可。一般地，选择的期望特征值，应使状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快25倍。,2023/8/20,68,本节小结：,一、全维状态观测器的原理、构成与极点配置,状态观测器 方程：,存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐近稳定的。,状态观测器极点配置条件：状态完全能观测,状态观测器极点配置算法：反馈阵Ke的设计（或用对偶原理，设计其对偶系统的状态反馈阵K）,2023/8/20,69,(3)写出状态观测器的期望特征多项式：,1、直接法（维数较小时，n
24、 3）,(2)求观测器的特征多项式：,(4)由 确定状态观测器的反馈矩阵：,(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。,2、第二能观测标准型法（维数较大时，n3）,(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。,(2)确定将原系统化为第二能观测标准型 的变换阵。,2023/8/20,70,(4)写出在第二能观测标准型下，观测器的反馈矩阵：,(5)求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵：,(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：,2023/8/20,71,为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：,其中 是A满足其自身的特征方程，为：,3、爱克曼公式(Ac
25、kermann公式法)（维数较大时，n3）,2023/8/20,72,第四节 带有观测器的状态反馈系统,带有观测器的状态反馈系统的构成带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性,2023/8/20,73,状态观测器的建立，为不能直接量测的状态反馈提供了条件,构成：带有状态观测器的状态反馈系统由观测器和状态反馈两个子系统构成。用观测器的估计状态实现反馈。,是x重构状态，阶数小于等于x阶数。系统阶数为 与x阶数和,一、带有观测器的状态反馈系统的构成,全维状态观测器,加入状态反馈,2023/8/20,74,带有全维状态观测器的状态反馈系统等价结构图：,2023/8/20,75,二、带有观测器的状态反馈系
26、统的输入输出特性,加入反馈控制规律：,状态反馈部分的状态方程：,观测器部分的状态方程：,原系统状态空间描述为：,2023/8/20,76,则经过非奇异变换后的状态空间描述为：,非奇异变换不改变系统的传递函数阵、特征值和特征多项式,上式是能控性分解的标准形式。B对应的状态x能控。,2023/8/20,77,得组合系统的传递函数为：,得组合系统的特征多项式为：,2023/8/20,78,例：,已知系统的状态空间描述为：,请采用状态观测器实现状态反馈控制，使闭环系统的特征值配置在,解：,所以该系统状态完全能控，通过状态反馈，极点可任意配置。,先判断系统的能控性和能观测性：,所以该系统状态完全能观，观
27、测器存在且其极点可任意配置。,2023/8/20,79,1）根据分离特性，先设计状态反馈阵K。,设状态反馈增益矩阵为：,写出直接反馈下，闭环系统的特征多项式：,由 可以求得：,计算期望的特征多项式：,2）设计观测器，求反馈增益矩阵Ke：,2023/8/20,80,全维状态观测器的特征多项式：,为了使观测器的响应速度稍快于系统响应速度，选择观测器特征值为：,设反馈增益矩阵Ke为：,所以状态观测器的反馈矩阵为：,则状态观测器期望的特征多项式为：,由 可以求得：,2023/8/20,81,本节小结：,1、带有观测器的状态反馈系统的构成（掌握）,2、带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性（掌握）,分离特性：状态反馈部分和状态观测器单独设计。,设计步骤：,
