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1、控制原理与接口技术,叶春生，材料学院Tel:027-87557041,在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态上，以通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判断（识别）系统的初始状态。这便是控制系统的能控性与能观性问题。控制系统的能控性及能观性是现代理论中很重要的两个概念。在多变量最优控制系统中，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，如果所研究的系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的。,系统的可控性和可观性,可控性定义：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到允
2、许的输入量，在有限的时间内使系统的所有状态达到任一终止状态，则称系统是完全可控的。有状态方程x(t)=Ax(t)+Bu(t)其解为：,如果有限的时间内0 t t1内通过输入量u(t)的作用把系统的所有状态引向状态x(t1)设x(t1)=0，则应有：,即在给定x(0-)和A、B的条件下求可以使x(t)=x(t1)的u(t)。,系统的可控性和可观性,换言之：上述方程有解则系统能控。,根据凯莱哈米尔顿定理，e-At、eAt可写成有限级数：,如果方程有解，等式右边左侧矩阵应满秩=n,系统的可控性和可观性,可观性定义：当系统用状态方程描述时，给定控制后，如果系统的每一个初始状态x(0-)都可以在有限的时
3、间内通过系统的输出y(t)唯一确定，则称系统完全可观。若只能确定部分初始状态，则称系统部分可观。有状态方程 x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)其解为：,由于在讨论能观性问题时，输入是给定的，上式右侧第二项是确知的，设u(t)=0。y(t)=CeAtx(0-),系统的可控性和可观性,根据凯莱哈米尔顿定理，e-At、eAt可写成有限级数：,如果方程有解，等式右侧中间侧矩阵应满秩。秩=n(系统的阶数),系统的可控性和可观性,对离散系统xn1(k+1)=Fnnxn1(k)+Gnmum1(k)yp1(k)=Cpnxn1(k)可以推出完全可控和可观的充分必要条件为：,系统的可控性和可观性
4、,状态变量反馈一个系统的性能取决于系统零极点的配置，其时间响应的模态是由其极点的位置所决定的，如果可以对闭环控制系统的极点进行预先进行配置，根据极点的配置设计调节器，则系统的输出会按照我们预先的想象实现。可以证明：如果系统的状态是完全能控的，则系统的极点可任意配置。有状态方程 x(t)=Ax(t)+Bu(t)若使调节器的输出为系统所有状态的负反馈，有 u(t)=-Kx(t)x(t)=(ABK)x(t),系统的可控性和可观性,在前面的推导中，有三个条件应满足：系统完全能控假设给定输入r(t)=0；所有的系统状态x(t)可以得到。,于是，方程 x(t)=(ABK)x(t)就成为状态的零输入响应方程
5、，其解为状态的零输入响应。其响应过程取决于系统的极点配置。对其进行拉普拉斯变换：sX(s)-x(0-)=(ABK)X(s),系统的可控性和可观性,sX(s)=(ABK)X(s)+x(0-)X(s)=(sI-A+BK)-1x(0-)|(sI-A+BK)|是系统状态运动方程的特征函数，极点可通过K的调整而任意配置。因为(sI-A+BK)-1sI-A+BK*/|(sI-A+BK)|,系统的可控性和可观性,例：若有系统 x(t)=Ax(t)+Bu(t)，其中,系统的可控性和可观性,解得：s1-100，s28.025，s3-8.025显然，系统不稳定。如果从系统的时间响应性能考虑将闭环极点配置在s1-2
6、0 s2-6+j4.9 s3-6-j4.9相应的特征方程为：(s1+20)(s2+6+j4.9)(s3+6-j4.9)=0s3+32s2+300s+1200=0采用状态系统反馈后的特征方程为|(sI-A+BK)|=s3+100(1+k3)s2-(64.4+1600k2)s-1600k1-6400(k3+1),系统的可控性和可观性,有100(k3+1)=32-(64.4+1600k2)=300-1600k1-6400(k3+1)=1200因此 K=-2.038-0.22775-0.68 可见，闭环系统的极点可以通过K矩阵来重新配置。但前提条件是所有的状态应该是可以得到的(可观测)。,系统的可控性
7、和可观性,同理，设给定r(k)=0，对于离散系统x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)y(k)=Cx(k)若使调节器的输出为系统所有状态的负反馈 u(k)=-Lx(t)x(k+1)=(FGL)x(k),对状态运动的差分方程进行z变换zX(z)zx(0)=(FGL)X(z)X(z)=(zIF+GL)-1zx(0),系统的可控性和可观性,显然，|(zI-F+GL)|是系统状态运动方程的特征函数，极点可通过L的调整而任意配置。(zIF+GL)-1=zIF+GL*/|(zI-F+GL)|前提条件是系统完全能控且所有的状态变量可测。,例：设被控对象传递函数G(s)=1/s2，采样周期0.1秒，采用零阶保持
8、器，现要求闭环控制系统的动态响应相当于阻尼系数=0.5，无阻尼自然震荡频率n=3.6的二阶连续系统设计状态反馈控制规律L，并求u(k)。解：被控对像的微分方程为 d2y(t)/dt2=u(t)令 x1(t)=y(t)，x2(t)=dx1(t)/dt=dy(t)/t有 dx2(t)/dtd2y(t)/dt2=u(t),系统的可控性和可观性,a=0 1；0 0；b=expm(a*0.1)matlab语句,系统的可控性和可观性,根据要求，希望极点位于s平面s1,2=-n j(1-2n)1/2=-1.8 j 3.12,满秩，能控,根据z=esT的关系，将s1,2和T0.1代入，可得：z1,2=0.83
9、5 e j 0.312 换言之，希望得到的闭环系统的特征方程为(z-0.8)2-(j 0.256)2=0 z2 1.6 z+0.7=0,系统的可控性和可观性,若状态反馈控制规律为 L=L1 L2 则闭环系统的特征方程为|(zI-F+GL)|=z2+(0.1L2+0.005L12)z+0.005L1-0.1L2+1=0求解得 L2=3.5 L1=10 于是 L=10 3.5 u(k)=-Lx(k),系统的可控性和可观性,状态观测器之所以可以做状态反馈，是因为假定所有的状态是可以测得(可观的)。在生产实际中，绝大多数的情况是：被控对象模型可知，状态方程可写出，但是对象内部的状态不一定可测得，往往得
10、到的只是输出。,状态观测器,在这种情况下，如果不能得到所有状态的情况，就不能采用极点配置的方法构成所希望的控制系统。可观性定义告诉我们，当系统用状态方程描述时，给定控制后，如果系统的每一个初始状态x(0-)都可以在有限的时间内通过系统的输出y(t)唯一确定，则称系统完全可观。换言之，如果被控系统完全可观，我们可以用通过系统的输入、输出计算出系统的所有状态。,状态观测器,状态观测器,具体地说，状态重构问题的实质，就是重新构造一个系统，利用原系统中可直接测量的变量如输入量和输出量作为它的输入信号，并使其输出信号,在一定的提法下等价于原系统的状态,而称这个用以实现状态重构的系统为状态观测器。一般，两
11、者间的等价性常采用渐近等价提法，即使得两者仅成立,通过输出计算得到的系统状态，显然是一个估计值，如果对状态估计的很准，通过极点配置法，就可以得到比较理想的控制系统。预报观测器,未来状态的估计值对“当前状态当前输入修正值”求加权和修正的越准，状态预测越准。,对(真实输出-预测输出)的修正,预报观测器是一个输入为u(k)和偏差修正值，输出为状态变量预测值的系统。,状态观测器,状态观测器,定义,为实际状态和估计状态间的状态误差矢量，可导出状态误差矢量,所应满足的动态方程为,如何选择修正矩阵(观测器的增益矩阵)K成为关键状态变量的预测误差(误差的动态模型)为：,合理选择K使预测误差收敛是最终目的。该模
12、型的特征方程的极点为：|(zI-F+KC)|0于是可以根据要求的预测误差动态变化规律，配置极点使预测误差收敛于0。具体作法：给定极点，构造特征方程：(z-z1)(z-z2)(z-zn)=0求出预测误差模型的特征方程：|(zI-F+KC)|0其中 K=k1,k2,kn用待定系数法，求取K。,状态观测器,未来状态的估计值对“未来状态的预估值对未来输出偏差的修正值”求加权和；修正的越准，状态预测越准。状态变量的预测误差(误差的动态模型)为：,该模型的特征方程的极点为：|(zI-F+KCF)|0可以通过极点配置求取K。,对(未来真实输出-未来预测输出)的修正,现实观测器,预报观测器和现实观测器都是根据
13、输出量重构全部状态，即观测器的阶数等于状态的个数全阶观测器在实际系统中，在测量到的输出y(k)=Cx(k)中，已直接给出了部分状态变量。显然，这部分变量不必通过估计就可直接得到。对状态的估计可限制在剩余的、不可测量的状态变量范围内。将状态变量分为两部分xa(k)为可测量的状态变量；xb(k)为不可测量的状态变量(需估计的状态变量)。,降阶观测器,x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)y(k)=Cx(k),将导出结果与状态方程格式进行比较,x(k)xb(k)FFbbGu(k)Fbaxa(k)+Gbu(k)y(k)xa(k+1)-Faaxa(k)+Gau(k)CFab,将矩阵展开,如果选择预报观测器
14、模型，状态的估计值为,将矩阵展开,上式为各状态预测误差的运动方程，对其求z变换可得各状态预测误差传递函数的特征函数(传递函数分母的z-1多项式)。特征函数的极点为|zI-Fbb+KFab|0根据希望误差运动规律配置极点，即可求出K。同理，可求出选择现实观测器模型时的K值。,预测误差方程,被控对象状态方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)y(k)=Cx(k)状态观测(预报观测器)和状态反馈,状态反馈控制系统设r(k)=0,按极点配置设计控制器,状态及状态预测的运动方程，对其求z变换可得各状态及状态预测传递函数的特征函数(传递函数分母的z-1多项式)。,按极点配置设计控制器,分离性原理：可分别设
15、计系统的控制规律和观测器。,第二列加到第一列,第二行减去第一行,按极点配置设计控制器,根据闭环系统性能要求给定几个控制极点；按极点配置设计状态反馈控制规律，计算L；合理选择给定观测器的极点，选择观测器类型，计算观测器增益矩阵K；根据所设计的控制规律和观测器，由计算机实现之。几点说明：控制极点，根据对闭环系统的性能要求来选择，为系统的主导极点，个数与系统状态数相同；观测器极点，使状态估计值能够较快地逼进真值；其对应的衰减速度应是主导极点衰减速度的45倍；个数与预测状态数相同。,状态反馈控制器的设计,观测器类型的选择，如果控制器的计算延时与采样周期处于同一数量级，则可使用预报观测器；反之，可使用现
16、时观测器。如果输出测量比较准确，且输出是系统的一个状态，则可使用降阶观测器；反之，用全阶观测器。例：有被控系统的离散状态方程,系统采样周期0.1s。要求控制极点配置在z1=0.6，z2=0.8；预报观测器极点配置在0.9j0.1处。解：求反馈增益矩阵L。,状态反馈控制器的设计,根据要求有特征多项式：(z-0.6)(z-0.8)=z2+1.4z+0.48|zI-F+GL|=z2+(0.005L1+0.1L2-2)z+1+0.005L1+0.1L2与要求的特征多项式比较，解待定系数方程，可得L=L1 L2=8 5.6求预测增益矩阵K根据要求有特征多项式：(z-0.9)2+0.12=z2-1.8z+
17、0.82|zI-F+KC|=z2-(2-K1)z+1-K1+0.1K2与要求的特征多项式比较，解待定系数方程，可得K=K1 K2=0.2 0.2,状态反馈控制器的设计,系统状态反馈控制器为,带PI状态反馈控制器的设计前面所言的状态反馈控制器是将系统状态按比例反馈。当有阶跃或常值干扰时，这种控制方式会产生静态误差。为了克服由常值干扰带来的系统静态误差，有效方法是加入积分控制。x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)+(k)y(k)=Cx(k)由于(k)是阶跃干扰，当k1时，(k)=0对离散状态方程做差分运算，有,阶跃干扰,状态反馈控制器的设计,x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)k1 y(k)=Cx
18、(k)y(k+1)=y(k)+CFx(k)+CGu(k)x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)k1,状态方程变为输出和状态变化率的运动方程。且输出取决于控制器输出u(k)的变化率和系统状态x(k)的变化率。根据对输出和系统状态变化率的要求，可用配置极点的方法满足要求。u(k)=-Lm(k)=-L1y(k)-L2x(k)L=L1 L2,状态反馈控制器的设计,最终的控制器输出应该为u(k)的累计。u(k)=-Lm(k)=-L1y(k)-L2x(k)对其两端求和,控制器输出对象输出的积分对状态的比例反馈通过极点的配置使系统y(k+1)=y(k)+CFx(k)+CGu(k)x(k+1)=Fx(k)+Gu
19、(k)k1处于稳定状态(输入为零时，最终稳态也为零)，与(k)无关。,状态反馈控制器的设计,如果对带PI调节得状态反馈控制器增加输入,跟踪系统设计,对于r(k)=常数，(k)0时有x(k+1)=Fx(k)+Gu(k)y(k)=Cx(k)可得x(k+1)=(F-GL2)x(k)+Guc(k)其解为x()=(I-F+GL2)-1Guc()y()=Cx()=C(I-F+GL2)-1Guc(),按极点配置法设计得闭环系统是渐进稳定的。,跟踪系统设计,LQ最优控制器设计设无干扰情况下，被控对象的连续状态方程为 x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)被控对象与离散调节器之间采用零阶保持器u(
20、t)=u(k)kTt(k+1)T与其对应的离散状态方程为,最优设计是指在给定某个最优指标后，使系统的运动状态满足给定指标。,状态空间的最优设计法,LQ最优设计是指：给定指标函数J(二次型性能指标),当系统运动到tt0时，以J最小为准则设计最优调节器 u(k)=-Lx(k)当r(k)=0时，系统框图如下。,当N为有限拍时，称为有限时间最优调节器问题；当N=时，为无限时间最优调节器。,状态空间的最优设计法,令tkT，有,令t(k+1)T，有,两式相减，并考虑到零阶保持器的作用,当tNT时，有,二次型性能指标的离散化,对J(k)离散化,最优控制规律的计算问：如何构造u(k)，使系统状态的运动满足给定
21、指标函数J。,二次型性能指标的离散化,答案：,控制过程：给定N；有S(N)=Q0；求S(k)=S(N-1)，L(k)=L(N-1)，u(k)=u(N-1)求S(k)=S(N-2)，L(k)=L(N-2)，u(k)=u(N-2)直至求出S(k)=S(0)，L(k)=L(0)，u(k)=u(0)得到控制序列u(0)，u(1)，u(N-1)。,二次型性能指标的离散化,前面的推导是建立在所有的系统状态都可测的基础之上。如果系统状态不完全可测，则必须对系统的状态进行估计，设计状态观测器(预报、现实、降阶)。如果，被控对象的运动被噪声c干扰，同时在对其输出进行测量的测量结果被噪声c(t)污染，则观测到的状
22、态是不准确的。为了达到使观测到的状态尽可能的准确，就必须设计可以滤除噪声的观测器卡尔曼滤波器。x(t)=Ax(t)+Bu(t)+c(t)y(t)=Cx(t)+c(t)假设噪声互不相关，且噪声的统计特性已知Ec(t)=0；Ec(t)cT(t)=Vc(t-)Ec(t)=0；Ec(t)cT(t)=Wc(t-),卡尔曼滤波,将混入噪声的被控对象离散化x(t)=Ax(t)+Bu(t)+c(t)y(t)=Cx(t)+c(t)根据一阶微分方程组的解,有：,设调节器的输出与被控对象之间有一零阶保持器u(t)=u(k)kTt(k+1)T令t0=kT，t=(k+1)T,x(k+1)=Fx(k)+Gu(k+1)+d
23、(k)y(k)=Cx(k)+d(k),卡尔曼滤波,根据给定条件，求取噪声序列的统计参数Ed(k)=0，Ed(k)dT(k)=VkjEd(k)=0，Ed(k)dT(k)=Wkjkj=1，k=j；kj=0，kj为了得到对系统状态(随机序列)较为准确的估计，应将随机噪声带来的干扰降到最低卡尔曼滤波。,由于状态误差也是一个随机量,求取其统计参数协方差矩阵,如果能使协方差矩阵变得最小，就可使状态的估计最准。换言之,最优估计应是在前k次输出y(k)的条件下，状态的期望值。,卡尔曼滤波,如果记根据k时刻即k时刻以前的量测值，估计j时刻的状态。如果kj：根据k时刻即k时刻以前的量测值，估计以前的状态平滑或内插
24、。如果kj：根据k时刻即k时刻以前的量测值，估计未来的状态预报或外推。如果k=j：根据k时刻即k时刻以前的量测值，估计当前(现时刻)的状态滤波。,卡尔曼滤波,引入说明符号,为k-1时刻的状态估计,为k-1时刻的状态估计误差,为k-1时刻的状态估计误差的协方差矩阵,为下一步的预报估计,为下一步的预报估计误差,卡尔曼滤波,为下一步的预报估计误差的协方差矩阵,为k时刻的状态估计,为k时刻的状态估计误差,为下一步的预报估计误差的协方差矩阵,卡尔曼滤波,状态预报根据状态方程x(k+1)=Fx(k)+Gu(k+1)+d(k)y(k)=Cx(k)+d(k),卡尔曼滤波,因为Ed(k)=0且因此预报方程为预报
25、误差为,卡尔曼滤波,预报误差的协方差,设x(k)的估计具有以下形式,卡尔曼滤波,当前状态的预测值上一步对状态的预测值+修正值修正值修正系数(当前的输出上一步的预测输出)于是问题变为如何选择K(k)，使预测更为准确。而准确的标准为P(k)最小：,卡尔曼滤波,估计误差,卡尔曼滤波,估计误差的协方差,如果P(k)为最小，则任意给定K(k)+K(k)所产生的P(k)+P(k)中P(k)0,卡尔曼滤波,给定K(k)+K(k)，生成P(k)+P(k)，用P(k)+P(k)-P(k)=P(k)有,如果要P(k)=0，进一步推导有,卡尔曼滤波,K(k)的计算给定参数F、C、V、W以及P(0)=0或P(0)=I和k1，2，计算,卡尔曼滤波,
