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1、第六章 动态非线性电路的定性、定量方法,用一阶非线性微分方程描述的电路称为一阶段非线性电路。,一阶非线性的方程可用状态方程的形式描述,6-2 一阶非线性电路,一阶非线性电路,非动态元件为非线性,动态元件为非线性,两者均为非线性,6-2 一阶非线性电路,解题思路：将一端口N的驱动点特性用分段线性化表示，则DP图中的每段折线都可用戴维宁（诺顿）模型表示，从而每一段折线可形成一个等效的线性一阶电路。,6-2 一阶非线性电路,动态元件特性的分段线性化,电容：,电感：,6-3 相空间、轨道、平衡点,1 自治系统和非自治系统,一般形式的状态方程为,若系统是时不变的，且激励也不随t变化，上述方程中的t不以显
2、含形式出现，即,（6-3）,（6-4）,描述的系统为自治系统,描述的系统为非自治系统,6-3 相空间、轨道、平衡点,2 相空间、轨道、相图,n维状态向量组成了n维空间称为相空间。,式6-3或6-4的解xi(t)在空间随t运动，当t为某一确定值时，它是相空间的一个点相点（对应n个坐标 x1,x2xn），当t变化时，它是相空间的一条有向曲线，称为轨道。,相空间与向量x在空间中的轨道总称为相图。,6-3 相空间、轨道、平衡点,3 自治系统具有时不变性,右端不显含t，具有时不变性。轨道取决于初始位置x0，而与初始时刻t0无关。,（6-3）,（6-4）,相空间中由不同初值决定的式6-4的轨道永不相交或就
3、是同一条轨道。,对6-3式可能无数条轨道通过相空间的同一点。,6-3 相空间、轨道、平衡点,二阶自治系统只含两个状态变量，因此相空间是二维的，可在一个平面上进行分析研究，称为状态平面或相平面。,二阶自治系统的状态方程为：,或,二阶自治系统使X(x,y)=0、Y(x,y)=0的坐标点称为平衡点。,6-3 相空间、轨道、平衡点,图6-8 L,C串联电路,设线性电感L与非线性电容串联的二阶非线性电路如图6-8所示，其中非线性电容的库伏特性为v=kq+q3。试确定k=1和k=-1时电路的相图和平衡点。,列写状态方程：,k=-1时的相图,k=1和k=-1时的相图如下图所示：,6-3 相空间、轨道、平衡点
4、,6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型,非线性方程的线性化方法就是把给定的非线性方程在其平衡点或奇点附近予以线性化，而用所得线性方程确定非线性方程的轨道的形状。,6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型,6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型,表6-1 平衡点类型与系数矩阵特征值关系表,6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型,6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型,6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型,6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型,6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型,6-4 非线性电路方程的线性化及其平衡点类型,表6-2 非线性方
5、程平衡点类型与线性化后平衡点类型关系表,6-5 李雅普诺夫直接法,如果对于任何给定的0,存在()0,使得对任何起始点x0=x(t0),只要距离|x(t0)-xs|,且对所有的t都有|x(t)-xs|成立,就称平衡点是按李雅普诺夫意义稳定的。,如果不存在()，称平衡点是不稳定的。,若还有 成立，则称平衡点是按李雅普诺夫意义渐进稳定的。,6-5 李雅普诺夫直接法,二维系统稳定的几何意义如图6-16所示。,6-5 李雅普诺夫直接法,充分非必要条件,1 平衡点稳定性定理,6-5 李雅普诺夫直接法,2 平衡点不稳定定理,6-6 周期解与极限环,1 周期解,线性二阶自治系统当系数矩阵特征值为纯虚数时，电路
6、中可能建立并维持特定周期的周期震荡。当电路的初始值连续变化时，在相平面上将形成一系列不同的闭合轨道，它们对应电路的周期解。,6-6 周期解与极限环,2 极限环,对于某些非线性电路，其中会建立起一种稳定状态，它在相平面上的轨道是闭合曲线，但该闭合轨道不随电路的初始值变化，与它相邻的各轨道，或者卷向它，或者卷出。这种孤立的闭合轨道对应电路的周期振荡解，称为极限环。,6-6 周期解与极限环,1 单一极限环的稳定性,对应电路中的持续周期振荡,6-6 周期解与极限环,1 单一极限环的稳定性,6-6 周期解与极限环,对应电路中不能持续存在的周期振荡,1 单一极限环的稳定性,6-6 周期解与极限环,2 多个
7、极限环的稳定性,当有多个极限环，一般是稳定与不稳定交替出现：若环内是一不稳定平衡点，最内部环是稳定的，否则是不稳定的。,6-6 周期解与极限环,2 多个极限环的稳定性,C2:稳定,C1:不稳定,C2:不稳定,C3:不稳定,C1:稳定,C3:稳定,6-6 周期解与极限环,3 软激励,无论初始值怎样选取，在电路中都会建立起稳定的周期振荡，振荡现象自发地从静止起始而达到其稳定状态，把这种振荡现象称为软（自）激励。,6-6 周期解与极限环,4 硬激励,如果电路是一个晶体管振荡器，在一定条件下当开关闭和后，必须施加一定大小的脉冲振荡器才能起振。这种现象称为硬（自）激励。,6-6 周期解与极限环,1 庞加
8、莱指数的概念,假设向量场中有一简单闭曲线C，且C上无平衡点。如果点P沿C正转（顺时针）一圈，向量场V与某固定方向的夹角的改变量为2I(I为正负整数)，则称I为闭曲线C的庞加莱指数。若C内只包含一个平衡点，则闭曲线C的指数I称为该平衡点的指数。,1 庞加莱指数的概念,6-6 周期解与极限环,1 庞加莱指数的概念,6-6 周期解与极限环,6-6 周期解与极限环,2 庞加莱定理,如果极限环存在，则内部至少有一个平衡点；如果没有平衡点，则一定不存在极限环；如果只有一个平衡点，且指数不为+1，则不存在极限环；如果只有一个指数为+1的平衡点，且平面上每条轨线多趋向于它，则极限环也不存在。,6-6 周期解与
9、极限环,3 Bendixson定理,6-7 摄动法,高阶非线性动态电路的稳态解,6-7 摄动法,1 弱非线性电路,式中F1，F2为非线性函数，r1，r2为非线性函数。当式中1时，此电路就称为若非线性电路，否则称为强非线性电路。,6-7 摄动法,2 保守电路和非保守电路,6-7 摄动法,正规摄动法是将电路的解x展开为小参数的幂级数。即 x=x0+x1+2x2+(6-24)其中x0,x1,x2,分别称为x的零次、一次、二次、近似。当充分小时，级数就很快收敛，所以只需取前面的二次、三次近似就可获得一定程度的准确解决。,6-7 摄动法,6-8 平均法,平均法是以求解弱非线性电路的微分方程而建立的一种方法。,6-9 谐波平衡法,谐波平衡法是一种常用于求解周期激励下非线性电路中稳态周期解的方法。,对于二阶弱非线性非自治电路，其方程可表示为,一般情况下，方程的解可以展开成傅里叶级数,（6-75）,用谐波平衡原理来求x(t),就是将式（6-75）代入式（6-74），在方程的两边按同次谐波进行整理，求得系数a0,an,bn即完成了求解。,
