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1、1.柱系中的变量分离,二、球柱系中亥姆霍兹方程分离变量,其中,1）若稳定问题=0，则结果不变,变型贝塞尔方程,讨论：,2)若稳定问题，且u=u(r,)=0，,欧拉型方程,2.球系中的变量分离,欧拉型方程,2)稳定问题且,讨论：,1）稳定问题：=0,解题思路：步骤与直角坐标系中大同小异,分几大步：,步一：写出定解问题步二：分离变量（如果定解问题确为可直接分离变量 的形式）步三：解本征值问题 解不构成本征值问题的变量的常微分方程步四：迭加特解得通解 定解,解题过程由曲线坐标系自身的特点带来的与直角坐标系中解题的不同点：,步一：方程：空间变量的拉氏算子的表达式较复杂；边条件：物理边界比数学自变量端点
2、少，在定 解问题中只提真实物理边界的条件；,步二：非稳问题：先将时间变量分离出去，剩下的 空间变量全部都能构成本征值问题。稳定问题：选择合适的空间变量构成本征值 问题（空间变量不再平权）,步三：本征值问题中的边界条件不再只是一、二类 边条件，可能会由周期条件、有界构成；欧拉型微分方程的求解。,步四：基本同直角坐标系,2圆内狄氏问题,【例1】半径为a的无限长圆柱形均匀导体，体内无热 源，柱面温度u(a,)=f()求稳定时导体内稳 定的温度分布。,解：,对于，需要补充自然边界条件,由物理场的单值性可得：,为简单：,将u=R代入周期条件：,显然：,不是本征值,解：i)0时,ii)=0,=0是本征值，
3、对应的本征函数为,代入,比较A、B的系数：,iii)0,综合ii、iii得本征值问题的解为：,解方程：,设r=et，d r=e td t，代入中得：,R的通解：,原点处的 温度为一有限值，即|u(0,)|,()有限,为保证所得的解满足有界条件：,的解为：,的通解为：,代入r=a处边条件定解：,讨论：,1.自然边条件,什么条件下提自然边条件：,自变数端点个数几何边界个数,ii)圆内狄氏问题u=u(r,),i)直角系中讨论稳定问题：u=u(x,y),iii)若遇球系 u=u(r,),自变量端点值4个几何边界（4条边）这时不用提边条件,ii)圆内狄氏问题u=u(r,),需要在另外三个端点处补自然边条
4、件：,i)直角系中讨论稳定问题：u=u(x,y)0 xa,0yb,2.简并,解得：,当m0时,A m,B m是两个独立的待定系数,m0,Sinm和cosm 是对应同一个本征值m2下的两个线性无关的本征函数,一个本征值两个本征函数，称 是二度简并的,但 m=0时，只对应0A0一个本征函数，m=0是非简并的,二阶常微分方程的本征值问题最多只能是二度简并,3.常微分方程的本征值问题,i)非稳问题,空间变量构成本征值问题，T(t)不能构成本征值问题,ii)稳定问题,一个空间变量不构成本征值问题 其它均要构成本征值问题.,u(x,y,z)X，Y，Z平权,u(r,)构成本征值问题,u(r,)、构成本征值问题,【例2】无限长空心圆柱导体半径为a分成两半，互相 绝缘，一半电位为u0，另一半电位为-u0，求 柱内电位分布。,解：,定解问题：,解得：,通解：,解得,定解：,问题：若所讨论区域为半圆，即：0ra,0 若所讨论区域为环形，即：arb,02,一、拉氏算符(2)在球柱坐标系中的表达式,柱：,球:,亥姆霍兹方程,作业,
