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1、8/21/2023,1,第五节 控制系统的根轨迹分析法,8/21/2023,2,利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正 由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；分析参数变化对系统稳定性的影响；分析系统的瞬态和稳态性能；根据性能要求确定系统的参数；对系统进行校正。,8/21/2023,3,一、条件稳定系统的分析,开环极点：0，-4，-6，零点：,实轴上根轨迹区间：,解根据绘制根轨迹的步骤，可得：,8/21/2023,4,分离角（点）：,近似求法：分离点在-4，0之间。,8/21/2023,5,入射角：,与虚轴的交点（略）。这时的增益值：,由图可知：当 和 时，系统是稳定的（为什么？）；当
2、时，系统是不稳定的。,左图是用Matlab工具绘制的。,8/21/2023,6,条件稳定系统：参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，这样的系统叫做条件稳定系统。,具有正反馈的环节。,下面的系统就是条件稳定系统的例子：,开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s的右半平面；,8/21/2023,7,例非最小相位系统：，试确定使系统稳定时的增益值。,解：根轨迹如右：,有闭环极点在右半平面，系统是不稳定的。显然稳定临界点在原点。该点的增益临界值为。,闭环特征方程为：，当s=0时，所以，系统稳定的条件是：,8/21/2023,8,二、瞬态性能分析和开环系统参数的确定,利用根轨迹可以清楚的看
3、到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。,以二阶系统为例：开环传递函数为,闭环传递函数为,共轭极点为：,在s平面上的分布如右图：,闭环极点的张角 为：,所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。,8/21/2023,9,我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：,8/21/2023,10,上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例：,例4-12单位反馈系统的开环传递函数为：若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量，试确定开环放大系数。,解：首先画出根轨迹如右。由图可以看出：根轨迹与虚轴的交点为+j5,-j5，
4、这时的临界增益 当 时，闭环系统不稳定。,8/21/2023,11,这是一个三阶系统，从根轨迹上看出，随着 的增加，主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。,在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 的直线，与根轨迹交与A、B两点。则A、B两点就是闭环共轭主导极点，这时系统的超调量为18%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益，进而求得开环放大系数k。,8/21/2023,12,由于闭环极点之和等于开环极点之和，所以另一个闭环极点为：,8/21/2023,13,特别提示：开环零、极点对根轨迹形状的影响是值得注意的。,一般说，开环传递函数在s左半平面增加一个极点将使原根轨迹右移。
5、从而降低系统的相对稳定性，增加系统的调整时间。,8/21/2023,14,8/21/2023,15,若在开环传递函数中增加一个零点，则原根轨迹向左移动。从而增加系统的稳定性，减小系统响应的调整时间。,8/21/2023,16,Matlab参考书推荐：现代控制工程，美Katsuhiko Ogats,卢伯英译，电子工业出版社 MATLAB控制系统设计，欧阳黎明著，国防工业出版社,三、用Matlab绘制根轨迹,8/21/2023,17,num=0 0 0 1;%开环传递函数分子系数，降幂排列den=1 3 2 0;%开环传递函数分母系数，降幂排列r=rlocus(num,den);,例子系统的开环传
6、递函数为：，试利用Matlab画出系统的根轨迹。,解打开Matlab,创建一个m文件，输入下列程序片段：,8/21/2023,18,例4-13已知系统开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算使系统稳定的k值范围；（3）计算系统对于斜坡输入的稳态误差。,解：（1）画根轨迹：,8/21/2023,19,求出射角：，得。该系统有三条根轨迹，一条从原点起始，终止于开环零点-1处；另两条从原点以 的出射角起始，分别终止于-3和无穷零点处。,会合分离点：由方程 得 解得 在根轨迹上，因此是会合点。不在根轨迹上，舍去。,8/21/2023,20,求与虚轴交点 系统特征方程为 劳斯表为当 时，由辅助方
7、程，可求出根轨迹与虚轴的交点为。（2）由劳斯表可知当 时，系统稳定。（3）系统含有三个积分环节，属型系统，型系统对于斜坡输入的稳态误差为零。,8/21/2023,21,例4-14已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的阻尼比 是，并求此时系统的闭环特征根；（3）分析k对系统性能的影响，并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点。,8/21/2023,22,当 时，阻尼角，表示 角的直线为OB,其方程为，代入特征方程整理后得：令实部和虚部分别为零，有解得由图可知当 时直线OB与圆相切，系统的阻尼比，特征根为。,8/21/2023,23,对于分离点，由幅值
8、条件可知 对于会合点，有 由根轨迹图可知，当 时，闭环系统有一对不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。,8/21/2023,24,由坐标原点作根轨迹圆的切线，此切线就是直线OB，直线OB与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比，由上可知，此时系统的闭环极点为。,8/21/2023,25,例4-15：设系统A和B有相同的被控对象，且有相同的根轨迹，如下图所示。已知系统A有一个闭环零点，系统B没有闭环零点。试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图。,8/21/
9、2023,26,系统A和B的闭环传递函数分别为：,解：由于两系统的根轨迹完全相同，因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式也完全相同。由上页图可知系统A和B的开环传递函数为：特征方程为：,8/21/2023,27,由此可知，系统A是一单位反馈系统，前向通路的传递函数为：。系统B的前向通路传递函数为：，反馈通路传递函数为：。由于系统A和B有相同的被控对象，因此，系统的A的前向通路传递函数可写为：，闭环方块图如下图（a）所示，系统B的闭环方块图如下图（b）所示。,根轨迹相同的系统，开环传递函数和闭环极点都相同，但闭环零点却不一定相同。,8/21/2023,28,例4-16:已知单位反馈系统的根轨
10、迹如下图所示。（1）写出该系统的闭环传递函数；（2）试用适当的方法使系统在任意K值时均处于稳定的状态。,8/21/2023,29,解：由根轨迹图知系统的开环传递函数为：,单位反馈系统的闭环传递函数为：,提示：加入比例微分控制后，系统增加了开环零点。在系统中加入零点后，将使根轨迹左移，有利于系统的稳定性。,8/21/2023,30,从下图可以看出：a越小，根轨迹越左，稳定性越好。a6时，根轨迹有一部分在s右半平面。,clear all;num1=0 0 1 3;den1=1 6 0 0;num2=0 0 1 5;den2=1 6 0 0;num3=0 0 1 7;den3=1 6 0 0;h1=tf(num1,den1);h2=tf(num2,den2);h3=tf(num3,den3);rlocus(h1,h2,h3),作业：4-7，4-10，4-11,8/21/2023,31,小结,条件稳定系统的分析 临界稳定增益的确定；瞬态性能分析和开环系统参数的确定 阻尼角和等阻尼线；超调量、调整时间与闭环极点的关系；根据性能指标确定二阶及高阶系统的开环放大系数；开环零、极点对根轨迹形状的影响。用Matlab绘制根轨迹的方法,
