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1、,1.平面的方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,5-3 空间中平面与直线的方程,平面的点法式方程（1）可以化成,例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：,即,补例 求过三点,即,解 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,例2 已知一平面的方程为,解,于是,平面的一般方程,由于平面的点法式方程是x,y,z的一次方程,而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来,可以证明任一三元一次方程Ax
2、+By+Cz+D=0的图形总是一个平面.方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程,其法线向量为n=(A,B,C).,例如,方程3x-4y+z-9=0表示一个平面,n=(3,-4,1)是这平面的一个法线向量.,例3 将平面的一般式方程 3x+4y+6z=1化成点法式方程.,解,先在平面上任意选定一点，,比如（-3，1，1）.,则有,平面的三点式方程,已知不在同一直线上的三点,与 不共线,即,以 作为所求平面的法向量.,设 是平面上任一点,显然 垂直于,此混合积的坐标形式为:,解,所求的平面方程是,特殊情形,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,
3、B y+C z+D=0 的法向量,平面平行于 x 轴;,A x+C z+D=0 表示,A x+B y+D=0 表示,C z+D=0 表示,A x+D=0 表示,B y+D=0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,平面的截距式方程,同理求得,平面的截距式方程为,两平面的夹角,设平面1和2的法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),那么平面1和2的夹角 应满足,两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B
4、2y+C2z+D2=0互相垂直的充要条件是 A1A2+B1B2+C1C2=0.,两平面垂直的条件,两平面平行的条件,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要条件是 A1:A2=B1:B2=C1:C2.,平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:,例8 试决定常数 与 使得平面,解,两平面垂直要求其向量垂直，即有,分析：,点M在直线L上点M同时在这两个平面上,点M的坐标同时满足这两个平面的方程.,2.直线方程,空间直线可以看作是两个平面的交线.,设直线L是平面1和2的交线,平面的方程分别为 A1x+B1y+C1z
5、+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,这就是空间直线的一般方程.,来表示.,那么直线L可以用方程组,空间直线的一般方程.,例9 联立方程,的解是(3,4,z),其图形是平面x-3=0与y-4=0的交线，它平,行于z轴.,代表平面y=5x+1与平面y=x-3的交线.,例10 联立方程,如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条直线的方向向量.,方向向量,直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.,当直线L上一点M0(x0,y0,x0)和它的一方向向量s=(m,n,p)为已知时,直线L的位置就完全确定了.,确定直线的条件,求通过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,
6、p)的直线的方程.,(x-x0,y-y0,z-z0)/s,从而有,这就是直线的方程,叫做直线的对称式方程或标准方程.,直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数.向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦.,则从M0到M的向量平行于方向向量:,设M(x,y,z)为直线上的任一点,直线的标准方程.,通过点M0(x0,y0,x0),方向向量为s=(m,n,p)的直线方程:,此方程组就是直线的参数方程.,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,直线方程为,例如,当,例11 将一般方程,解 先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=1,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直
7、线上一点.,化成标准方程及参数方程.,故所给直线的标准方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,两直线的夹角,两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.,设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2),那么L1和L2的夹角j满足,两直线垂直与平行的条件,设有两直线,L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0;,则,方向向量分别为(m1,n1,p1)和(m2,n2,p2)的直线的夹角余弦:,提示：,直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时
8、,规定直线与平面的夹角为90.,设直线的方向向量为s=(m,n,p),平面的法线向量为n=(A,B,C),则直线与平面的夹角j 满足,方向向量为(m,n,p)的直线与法线向量为(A,B,C)的平面的夹角j 满足,直线与平面垂直和平行的条件,设直线L的方向向量为s=(m,n,p),平面P 的法线向量为n=(A,B,C),则,L/P Am+Bn+Cp=0.,分析：,因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例,所以对于任何一个l值,上述方程的系数不全为零,从而它表示一个平面.,分析：,对于不同的l值,所对应的平面也不同,而且这些平面都通过直线L,即这个方程表示通过直线L的一族平面.,分析：,另一
9、方面,任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中.,平面束,考虑三元一次方程:,A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,即(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任意常数.,补例.求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示：过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体,称为平面束.,平面束,考虑三元一次方程:,A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,即(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任意常数.,例.求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示：过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,
