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1、空间向量的正交分解及其坐标表示,学习目标,1.知识与技能：了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及坐标表示2.过程与方法：类比平面向量的有关知识，得出空间向量基本定理及坐标表示。3.情感态度与价值观：用发展的联系的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展变化的。,学习重点,空间向量基本定理,学习难点,探究空间向量基本定理的过程及定理的应用,1、平面向量基本定理：,一、预备知识,一、预备知识2、下图中，如何用两个不共线向量 来表示？,O,P,y,x,1,2,3,1,2,3、在平面直角坐标系中，取与X轴Y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，在图中作出=，并写出 的坐标。,=（3，2）
2、,O,x,y,z,o,二、探究与发现 探究一设、为由公共起点O的三个两两互相垂直的向量，那么对于空间任意一个向量，如何用、来表示？,Q,P,探究二如果用任意三个不共面向量来代替上述两两互相垂直的向量，还有类似结论吗？,O,P,Q,空间向量基本定理：,注意,x,y,z,O,e1,e2,e3,（2）空间向量的坐标表示,给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z),（2）空间向量的坐标表示,x,y,z,O,三、空间
3、向量的正交分解及其坐标表示,x,y,z,O,i,j,k,记作=(x,y,z),P,P,练习.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以A为坐标原点，以 AB,AD,AA1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，设向量，为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，用向量，表示向量AC1和BD1。,三、定理应用例1如图，M、N分别是四面体OABC的边OA、BC的中点，P,Q是MN的三等分点。用向量、表示 和。,解：,=,解：,练习,B,四、学后反思,1、知识点：,2、问题探究过程的思路剖析：,课下探究 空间向量基本定理与课本95页“思考“栏目中的第二问题有什么联系？你有何体会？,五、作业：P106
4、 A组1.2.,练习2,空间向量运算的坐标表示,空间向量基本定理：,则 叫做点A 在此空间坐标系o-xyz的坐标；,x,y,z,O,A,3.坐标,向量的坐标,给定一个空间直角坐标系和向量,且设 为坐标向量，则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)使,有序数组(a1,a2,a3)叫做 在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作.,(a1,a2,a3),点的坐标,在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点A,对应一个向量 于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使,记作A,x,y,z分别称作点A的横坐标,纵坐标,竖坐标.,则,二、空间向量的坐标运算.,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
5、则,空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,二、距离与夹角的坐标表示,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,在空间直角坐标系中，已知、，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意：（1）当 时，同向；（2）当 时，反向；（3）当 时，。,练习一：,1.求下列两个向量的夹角的余弦：,2.求下列两点间的距离及中点坐标：,答案：(1,1，1)(1,0,1),解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则,例1如图,在正方体中，求与所成的角的余弦值.,例题,解：（1）如图建立空间直角坐标系，则C(0,1,0),N(1,0,1),证明:,设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,D,O,x,y,z,练习3.如图,空间四边形PABC的每条边及对角线的长都是，试建立空间直角坐标系，并求出四个顶点的坐标.,z,x,y,y,x,z,x,y,z,练习:,3,小结：1、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。,
