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1、1,10.4 第一类(对面积)的曲面积分,surface integral,概念的引入,对面积的曲面积分的定义,对面积的曲面积分的计算法,小结 思考题 作业,第10章 曲线积分与曲面积分,2,实例,解,第一步:,将分为许多极其微小的子域,以dS为代表,dS的质量为:,第二步:,求和取极限,则,取,它的面密度为连续函数,求它的质量.,一、概念的引入,曲面构件质量,若曲面是光滑的,3,1.定义,函数 f(x,y,z)在上,意取定的点,并作和,如果当各小块曲面的直径,这和式的极限存在,则,的最大值,(1),(2),(3),(4),二、对面积的曲面积分的定义,第i 小块曲面的面积),作乘积,设曲面是,
2、(Si同时也表示,有界.,把 任意分成n小块Si,光滑的,定义10.3,4,或,记为,即,如曲面是,曲面面积元素,被积函数,则积分号写成,积分曲面,极限为函数f(x,y,z)在,对面积的曲面积分,第一类曲面积分.,闭曲面,曲面上,5,2.存在条件,若是分片光滑曲面,今后,假定f(x,y,z)在上连续.,则函数,3.对面积的曲面积分的性质,函数f(x,y,z),定理10.7,在光滑曲面上连续(或除有限条分段光滑曲线,外,f(x,y,z)在上连续,且在上有界),f(x,y,z)在上的第一类(对面积)曲面积分存在.,若可分为分片光滑的曲面1及2,则,6,4.对面积的曲面积分的几何意义,空间曲面的面积
3、:,5.对面积的曲面积分的物理意义,面密度为连续函数,的质量M为:,其质心坐标为:,7,设分片光滑的,x的奇函数,x的偶函数,其中,则,曲面关于yOz面对称,当f(x,y,z)为,当f(x,y,z)为,8,练习,研究生考题(选择题3分),限中的部分,则有,1为在第一卦,分析,关于平面 yOz与xOz对称,而(A)(B)(D),左端的被积函数或关于x是奇函数或关于y是奇函,数.,故(A)(B)(D)左端的积分均为0,而右端的积分均,大于0.,因此(A)(B)(D)均不成立.,反观(C),其左端的被积函数,(x与y,不出现),可看作x或y的偶函数,故有,有轮换对称性,故,从而选(C).,9,则,按
4、照曲面的不同情况分为以下四种:,化为二重积分计算.,(1),三、对面积的曲面积分的计算法,曲面的面积元素,若曲面:,10,则,则,(2),(3),若曲面:,若曲面:,11,(4),则,若曲面:,12,确定投影域并写出,然后算出曲面面积元素;,最后将曲面方程代入被积函数,对面积的曲面积分时,首先应根据,化为二,曲面选好投影面,曲面的方程,重积分进行计算.,13,例,解,投影域:,所截得的部分.,故,二重积分的对称性,对称性,14,计算曲面积分,其中是球面,解,的方程,方程是:,方程是:,记上半球面为1,下半球面为2,不是单值的.,的值.,练习,15,对上半球面,得,对下半球面,是球面,16,所以
5、,17,解,依对称性知,例,抛物面,有,?,被积函数,1为第一卦限部分曲面.,关于xOz面、yOz面均对称;,关于y、x为偶函数.,18,19,例,解,积分曲面方程中的变量x、y、z具有,轮换对称,提示,即三个变量轮换位置方程不变.,轮换对称性,20,例,所围成的空间立体的表面.,21,解,投影域,例,所围成的空间立体的表面.,对称性,22,(左右两片投影相同),将投影域选在,分成左、右两片,对称性,所以,xOz面上,23,计算,其中为球面,之位于平面,曲面的方程,在xOy面上的投影域,解,练习,上方的部分.,24,于是,x3是x的奇函数,x2y是y的奇函数.,因曲面关于yOz面及xOz面对称
6、;,25,研究生考题,计算,6分,解,积分曲面,在xOy面上的投影域:,练习,26,积分曲面,27,对面积的曲面积分的计算,对面积的曲面积分的概念,四、小结,四步:分割、取近似、求和、取极限,思想:化为二重积分计算;,对面积的曲面积分的几何意义与物理意义,曲面方程四种形式的计算公式,28,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的,是非题,是,因为若为直线上的区间a,b,则,故,曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,29,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的,是非题,是,若是平面区域G,则,故,曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,30,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的,是非题,是,若是空间区域,则,故,曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,31,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的,是非题,是,若为平面(空间)曲线L,则,部分和式的极限为曲线积分,曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,32,思考题,定积分、二重积分、三重积分、对弧长的,是非题,是,若为曲面,则上述部分和式的极限就是,曲面积分,曲线积分、对面积的曲面积分可统一表示为,33,作 业,习题10.4(444页),
