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1、6.2 定积分的几何应用 1,用曲线积分求旋转曲面的面积,蜀南竹海,6.2 定积分的几何应用 2,作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。,6.2 定积分的几何应用 3,先看特殊的情形,旋转轴为坐标轴,6.2 定积分的几何应用 4,设L是上半平面内的一条平面曲线。将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。,我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。,L,6.2 定积分的几何应用 5,L,在曲线L的(x,y)处取一弧微分,它到x轴的距离是 y（如图）
2、。,该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：,（面积元素）,于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：,6.2 定积分的几何应用 6,命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：,L,6.2 定积分的几何应用 7,命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：,同理,L,6.2 定积分的几何应用 8,下面针对不同的曲线方程将曲线积分化为定积分得到熟悉的旋转曲面的面积公式,6.2 定积分的几何应用 9,直角坐标方程,6.2 定积分的几何应用 10,y=f(x),如果,L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为：,6.2 定积分的几何应用 11,y=f(x),如果,
3、L绕 y轴旋转的旋转曲面的面积为：,6.2 定积分的几何应用 12,参数方程,6.2 定积分的几何应用 13,如果,L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为：,6.2 定积分的几何应用 14,如果,则L绕 y轴旋转的旋转曲面的面积为：,6.2 定积分的几何应用 15,极坐标方程,6.2 定积分的几何应用 16,如果,L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为：,6.2 定积分的几何应用 17,我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理,Paul Guldin（古尔丁）1577 1643Swiss mathematician who wrote on volumes and
4、centres of gravity.,6.2 定积分的几何应用 18,L,上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。,古尔丁定理,形心,6.2 定积分的几何应用 19,如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。,L,形心,6.2 定积分的几何应用 20,下面来看一般的情形,一般的曲线&一般的旋转轴,6.2 定积分的几何应用 21,设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线 l 的一侧（如图）。将L绕直线 l 旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积A。,我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。,L,
5、l,6.2 定积分的几何应用 22,L,在曲线L的(x,y)处取一弧微分,它到直线 l 的距离是：,该弧微分绕 l 旋转而成的旋转曲面的面积约为：,于是整个曲线L绕直线 l 旋转而成的旋转曲面的面积为：,设直线 l 的方程为 ax+by+c=0。,l,6.2 定积分的几何应用 23,命题3 曲线L绕直线 ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面的面积为：,L,l,6.2 定积分的几何应用 24,下面举几个例子来说明命题中的公式的应用,由于其中积分较难计算用数学软件Maple完成,6.2 定积分的几何应用 25,例1 求曲线y=x2(0 x2)绕直线 y=2x旋转的 旋转曲面的面积A。,y:=x-x
6、2;f:=(x,y)-2*x-y;a:=0:b:=2:(2*Pi/sqrt(5)*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=(2*Pi/sqrt(5)*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);,with(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,6.2 定积分的几何应用 26,例2 求y=x2(0 x1)绕直线 y=x-1旋转的 旋转曲面的面积A
7、。,y:=x-x2;f:=(x,y)-y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);,6.2 定积分的几何应用 27,例3 求y=lnx(1xe)绕直线 y=-x旋转的 旋转曲面的面积A。,y:=x-ln(x);f:=(x,y)-x+y;a:=1:b:=exp(1):sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);,
