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1、3.1 随机变量的分布函数一、分布函数的概念,定义:设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即 F(x)P Xx.易知，对任意实数a,b(ab),P a X bPX bPX a F(b)F(a).,二、分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、左连续性：对任意实数x，,一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为,例1：设随机变量X具分布律如右表,解：,试求出X的分布函数。,四、离散型随机变量的分布函数,例1：向a,b区间随机抛一质点，以X表示质点
2、坐标.假定质点落在a,b区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：,3.2 连续型随机变量,1.定义:对于随机变量X，若存在非负函数p(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有,则称X为连续型随机变量，p(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为 X p(x),(-x+),一、概率密度,2.密度函数的性质(1)非负性:p(x)0，(-x)；(2)归一性:,性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；,例1：设随机变量X的概率密度为,求常数a.,答:,（3）,(4)若x是p(x)的连续点，则,例2：设随机变量X的分布函数为求p(x),（5）对任意实数b，若Xp(x)，(-
3、x)，则PX=b0。于是,例3.已知随机变量X的概率密度为1)求X的分布函数F(x),2)求PX(0.5,1.5),二、几个常用的连续型分布,1.均匀分布 若Xp(x),则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作 XU(a,b),对任意实数c,d(acdb)，都有,例4.长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率,例5：设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程 有实根的概率。,2.指数分布 若 X,则称X服从参数为0的指数分布。其分布函数为,例6.电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布.(1)求该电子
4、元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？,解:,例7:某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设0，t时段内过桥的汽车数Xt服从参数为t的普哇松分布，求T的概率密度。,其中 为实数，0，则称X服从参数为,的正态分布,记为N(,2)，可表为 XN(,2).,（1）若随机变量,3.正态分布,1)单峰对称 密度曲线关于直线x=对称；p()maxp(x).,（1）正态分布有两个特性：,2)的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布,4.标准正态分布(1)参数0，1的正态分布称为标准正态分布，记作X
5、N(0,1)。,分布函数表示为,其密度函数表示为,(2)一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。(P504附表3)如，若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066,(3)(x)1(x)；,（4）若X，则 N（0，1）。,推论：若X，则,例1.设随机变量XN(-1,22),求P-2.45X2.45=?,例2.设 XN(,2),求P-3X+3,本题结果称为3 原则.在工程应用中，通常认为P|X-|3 1，忽略|X-|3的值.,例3.一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布(100,152),某仪器上
6、装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.,1、定义：设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称 F(x,y)=PXx,Yy为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。,一、联合分布函数,几何意义：分布函数F()表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分：,3.3二维随机变量及其分布,对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),则 Px1 X x2，y1 y y2 F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1).,(x1,y1),(x2,y2),(x2,y1),(x1,y2),2、分布
7、函数F(x,y)具有如下性质：,且,(1)归一性 对任意(x,y)R2,0 F(x,y)1,(2)单调不减 对任意y R,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意x R,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2)。,(3)左连续 对任意xR,y0 R,(4)矩形不等式 对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0.,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。,例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,1)求常数A，B，C。2)求P0 X
8、2,0 Y3,FY(y)F(+,y)PYy 称为二维随机变量(X,Y)关于Y的边际分布函数.,FX(x)F(x,+)PXx,称为二维随机变量(X,Y)关于X的边际分布函数；,3、边际分布函数,求FX(x)与FY(y)。,例2.已知(X,Y)的分布函数为,1、定义 对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可积函数P(x,y)，使对(x,y)R2，其分布函数,则称(X,Y)为二维连续型随机变量，P(x,y)为(X,Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X,Y)P(x,y)，(x,y)R2,二、二维连续型随机变量及其密度函数,(1)非负性：P(x,y)0,(x,y)R2;(2
9、)归一性：,反之，具有以上两个性质的二元函数P(x,y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。此外,P(x,y)还有下述性质,(3)若P(x,y)在(x,y)R2处连续，则有,2、联合密度f(x,y)的性质(p120),(4)对于任意平面区域G R2,例3：设,求:PXY,求：(1)常数A；(2)F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域D：x0,y0,2X+3y6 内的概率。,例4.设,为(X,Y)关于Y的边际密度函数。,设(X,Y)P(x,y),(x,y)R2,则称(p121),为(X,Y)关于X的边际密度函数；同理，称,3、边际密度函数,说明：,（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概
10、率密度,例3.设(X,Y)的概率密度为,(1)二维均匀分布 若二维随机变量(X,Y)的密度函数为则称(X,Y)在区域D上(内)服从均匀分布。,易见，若（X，Y）在区域D上(内)服从均匀分布，对D内任意区域G，有,4.两个常用的二维连续型分布,其中，1、2为实数，10、20、|1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,的二维正态分布，可记为,(2)二维正态分布 若二维随机变量(X,Y)的密度函数为,结论：N(1,2,12,22,)的边际密度函数PX(x)是N(1,12)的密度函数，而PY(Y)是N(2,22)的密度函数。,故二维正态分布的边际分布也是正态分布。,定义1：称随机变量X与Y独立，如
11、果对任意实数ab,cd，有 paXb,cYd=paXbpcYd 即事件aXb与事件cYd独立，则称随机变量X与Y独立。,定义2：称随机变量X与Y独立的，如果 F(x,y)=FX(x)FY(y)其中 F(x,y)是（X，Y）的联合分布函数，FX(x)、FY(y)分别是 X、Y的分布函数。,三、随机变量的相互独立性,定理(p127):设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是，P(x,y)=PX(x)PY(y)定理（复习）:设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pij=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pij=PiPj。,独
12、立性的例子,例：书中（P122）例3.7的两个随机变量是否独立？例：设(X,Y)N(1,2,12,22,)，则X与Y独立充要条件为=0。,3.4 随机变量函数的分布,1、一般方法(p56)若Xp(x),-x+,Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数 FY(y)PYyP g(X)y,然后再求Y的密度函数,此法也叫“分布函数法”,一、一维连续型随机变量函数的密度函数,例1.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。,当y 0时,当0y 1时,；当y1时,例2:设X的概率密度为pX(x),y=g(x)关于x处处可导且是x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。,2、公式法
13、：若XpX(x),y=g(x)是单调可导函数，则,其中h(y)为yg(x)的反函数.,例3.已知XN(,2),求,解：,的概率密度,关于x严单,反函数为,故,例4：设XU(0,1),求Y=ax+b的概率密度(a0)。,1、一般的方法：分布函数法 若(X,Y)p(x,y),(x,y)R2,Z=g(X,Y),则可先求Z的分布函数:,然后再求出Z的密度函数:,二、二维随机变量函数的密度函数,(1)和的分布 已知(X,Y)p(x,y),(x,y)R2,求ZXY的密度。,2、几个常用形式函数的密度函数,对z求导，即得z密度函数,若(X,Y)p(x,y),(x,y)R2,则ZXY的密度为：,若X与Y相互独
14、立，则ZXY的密度函数为,例3.13(P133):设随机变量X与Y独立且均服从标准正态分布，求证：Z=X+Y服从N(0,2)分布。,解：,一般地，设随机变量X1,X2，.,Xn独立且Xi服从正态分布N(i,i2),i=1,.,n,则,例2：卡车装运水泥,设每袋水泥的重量X(kg)服从N(50,2.52)分布,该卡车的额定载重量为2000kg,问最多装多少袋水泥,可使卡车超载的概率不超过0.05.,已知(X,Y)p(x,y),(x,y)R2,求Z 的密度。,(2)商的分布,特别，当X，Y相互独立时，上式可化为,其中pX(x),pY(y)分别为X和Y的密度函数。,三、统计学上的几个常用分布,1、-
15、分布,若X的密度函数为,则称X服从自由度为n的-分布.,(2)可加性:若X(n),Y(m),X,Y独立，则X+Y(n+m)。,2、t分布,若 N(0,1),(n),与 独立，则的密度函数为,(常称其为自由度为n的t分布，记为t(n),证明：,3、F分布,若(m)，(n)，与 独立，则,的密度函数为,称其为第一自由度为m，第二自由度为n的F分布 记为F(m,n),一.数学期望的定义,数学期望描述随机变量取值的平均特征,1.定义 若Xp(x),-x,当,为X的数学期望。,则称,3.5 随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式,例1.若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为,试求E(X).,解,2.几个
16、重要r.v.的期望,（1）均匀分布U(a,b),（2）指数分布,（3）正态分布N(,2),例2：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量Y=aX+b的数学期望(其中a0),3.随机变量函数的期望,定理3.2 若Xp(x),-x,则Y=g(X)的期望,定理3.3 若(X,Y)p(x,y),-x,-y,则Z=g(X,Y)的期望,例3 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间,例4：设X服从N(0,1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4),解：,(1)E(c)=c,c为常数;(2)E(cX+dY)=cE(X)+
17、dE(Y),c,d为常数;(3)若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).,4.数学期望的性质,例5：设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望。,例6：设随机变量,相互独立，且均服从,分布，求随机变量,的数学期望,答:,答:,1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称EX-E(X)2 为r.v.X的方差，记为D(X),或Var(X).,称 为r.v.X的标准差,易见，若Xp(x)分布，则,二.方差,2.推论 D(X)=E(X2)-E(X)2.,例1：设随机变量X的概率密度为,1)求D(X),2)求,若
18、r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有,这就是著名的契贝晓夫(Chebyshev)不等式。它有以下等价的形式：,3.契贝晓夫不等式,证明：,(1)D(c)=0。反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 PX=C=1,且C=E(X);,(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；,(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);,证明:,4.方差的性质,(1)均匀分布U(a,b)：,(2)指数分布：,(3)正态分布N(,2),5.几个重要的r.v.的方差,解：,解:,例3：已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，利用契贝晓夫不等式求a,使股价超过1+a元或低于1-a
19、元的概率小于10%。,1.协方差定义与性质,(1)协方差定义:若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称COV(X,Y)=EXE(X)YE(Y).为X与Y的协方差。易见 COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,三.协方差与相关系数,1)COV(X,Y)=COV(Y,X);2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0 3)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b为 常数；4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);5)D(X Y)=D(X)+D(Y)2COV(X,Y).,(2)协方差性质,例2:设随机变量XB(12,0.5),YN(0
20、,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差。,解：,(1)定义 若r.v.X，Y的方差和协方差均存在,且DX0,DY0，则,称为X与Y的相关系数.注：1)若记,称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且,2.相关系数,2)当XY=0时，称X与Y不相关。,1)|XY|1；2)|XY|=1存在常数a,b 使PY=aX+b=1；3)X与Y不相关 XY=0 COV(X,Y)=0,证明：设,(2)相关系数的性质,引理：若(X,Y)是一个二维随机变量,又 则有,因为对一切t,有,所以,从而二次方程 或者没有实根,或者只有一个重根,由此知它的判别式非正,即有,注
21、：（1）只是随机变量间线性关系强弱的一个 度量；,（2）当，X与Y之间存在线性关系（以概率1）；当 较大时，说明X与Y线性关系程度较好；当 较小时，说明X与Y线性关系程度较差；当 时，X与Y不相关。,以上例5的结果说明了什么？,解:1),2),例5：,问题:“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？,可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。,例6(p1853.36):设(X,Y)在D=(X,Y)：x2+y21上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的.,1.K阶原点矩 Ak=E(Xk),k=1,2,而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；2.K阶
22、中心矩 Bk=EX-E(X)k,k=1,2,而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；3.K+l阶混合原点矩 E(Xk Yl),k,l=0,1,2,；4.K+l阶混合中心矩 EXE(X)kYE(Y)l,k,l=0,1,2,；,四.矩,例1 设(X,Y)服从N(1,0,32,42,-0.5)分布，Z=X/3+Y/21)求Z的概率密度2)求X与Z的相关系数3)问X与Z是否相互独立？为什么？,解：,定义.给定y，设对任意固定的正数 0，极限,存在，则称此极限为在Y=y条件下X的条件分布函数.记作,可证当 时,3.6 条件分布与条件期望,一、条件分布,若p(u,v)及pX(v)是连续函数，又pX(
23、v)0，则有,若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，当 时，,类似定义，当 时,例1.已知(X,Y)的概率密度为,(1)求条件概率密度,(2)求条件概率,x,y,1,解:,例2：若（X，Y）在圆域 上服从均匀分布，求条件概率密度,解：,例3：设X在区间（0，1）上随机地取值，当观察到X=x（0 x1)时，数Y在区间（x，1）上随机地取值，求Y的密度函数。,二、条件期望,1、定义：如果X在Y=y发生的条件下的条件密度函数为，若,则称,为X在Y=y发生的条件下的条件数学期望，简称条件期望,三、条件数学期望的性质（p165）,2、若a,b是两个常数，又,存在，则,存在，且,以上两条性质是在固定“Y=yi”的条件下考察条件期望的性质。,1、,
