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1、概率论与数理统计,-考研春季基础班,主讲：朱祥和,联系方式：,QQ：2631328E-mail：,概率与数理统计学科的特点：,1、研究对象是随机现象。2、题型比较固定，解法比较单一，计算技巧要求低一些。3、高数和概率相结合。,考研数学课程中，概率论与数理统计是理工科（数学一）、经济类（数学三）必考的，分值为34分，占总分的22.7%。,概率统计题型构成：选择题：第7、8题，每小题4分，共8分填空题：第14题，4分计算题：第22、23题，每小题11分，共22分,知识结构,第一章随机事件与概率第二章一维随机变量及其分布第三章二维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律与中

2、心极限定理第六章数理统计的基本概念第七章参数估计与假设检验,随机现象：某人射击一次,考察命中情况;某人射击一次,考察命中环数;掷一枚硬币,观察向上的面;从一批产品中抽取一件,考察其质量;,确定性现象：抛一石块,观察结局;导体通电,考察温度;异性电菏放置一起,观察其关系;,第1.1节引言,第一章概率论的基本概念,随机现象在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。随机现象的统计规律性在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。概率统计的研

3、究对象概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。,第1.2节概率的统计定义(频率),1.随机试验（E）对随机现象进行的实验与观察.它具有三个特点：重复性,明确性,随机性.,2.随机试验的样本点随机试验的每一个可能结果.,3.随机试验的样本空间（或S）随机试验的所有样本点构成的集合.,4.基本事件的单元素子集，即每个样本点构成的集合.,5.随机事件的子集，常用A、B、C表示.,6.必然事件（）,7.不可能事件（）,定义(概率的统计定义)在一定条件下,重复做次实验,为次实验中事件A发生的次数,如果随着n逐渐增大,频率逐渐稳定在某一数值p附近,则

4、数值p称为事件A在该条件下发生的概率,记作.,注:(1)频率具有稳定性(2)当试验次数n较大时,经常用频率代替概率,第1.3节概率的古典定义(比率),1.古典概型（古典试验）设为试验E的样本空间，若（有限性）只含有限个样本点，（等概性）每个基本事件出现的可能性相等，则称E为古典概型（或等可能概型）。,2.古典概率的定义设E为古典概型，为E的样本空间，A为任意一个事件，定义事件A的概率 P(A)=有利于A的基本事件数/试验的基本事件总数(或=事件A包含的基本结果数/试验的基本结果数）,第1.4节排列组合与古典概率的计算,一.排列与组合,1.非重复的排列:从 n个不同元素中,每次取出k个不同

5、的元素,按一定的顺序排成一列称为排列,排列的种数记作,2.组合:从n个不同的元素中,每次取出k个不同的元素,与元素的顺序无关组成一组叫作组合,其组合数用表示,其中,3.可重复的排列:从 n个不同元素中可重复取出m个元素的排列总数为种.,注:在(1)中若k=n,此排列称为全排列,若kn,此排列称为选排列,二.加法原理:,完成某件事情有n类办法,在第一类方法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法,依次类推,在第n类办法中有mn种方法,则完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法,其中各类办法彼此独立.,三.乘法原理:,完成某件事情需先后分成n个步骤,做第一步有m1种方法,第二步有 m

6、2 种方法,依次类推,第n步有mn种方法,则完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法,特点是各个步骤连续完成.,例题:,1.4.1 两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件,(1)两件都不是次品的选法有多少种?(2)只有一件次品的选法有多少种?,解:(1)用乘法原理，结果为,(2)结合加法原理和乘法原理，得选法为:,例题,例1.4.2（产品的随机抽样问题）例1 箱中有 6 个灯泡，其中 2 个次品4 个正品，有放回地从中任取两次，每次取一个，试求下列事件的概率：（1）取到的两个都是次品，（2）取到的两个中正、

7、次品各一个,（3）取到的两个中至少有一个正品.,解：设A=取到的两个都是次品，B=取到的两个中正、次品各一个,C=取到的两个中至少有一个正品.,（1）基本事件总数为62，有利于事件A的基本事件数为22，,所以P（A）=4/36=1/9,（2）有利于事件B的基本事件数为42+24=16，,所以P（B）=16/36=4/9,（3）有利于事件C的基本事件数为62-22=32，,P（C）=32/36=8/9,注意若改为无放回地抽取两次呢?若改为一次抽取两个呢？,1 古典概型的基本模型-摸球模型,A 无放回地摸球问题1 设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地依次摸出2只球，求这2

8、只球都是白球的概率。问题2 设袋中有10个相同的球，依次编号为1，2.，10，每次从袋中任取一球，取后不放回，求第5次取到1号球的概率。,摸球模型的应用,1 检查废品问题设100只晶体管中有5只废品，现从中抽取15只，求其中恰有2只废品的概率。2 抽签问题在编号为1，2，,n的n个球中，采取无放回方式抽签，试求在第K次抽到1号球的概率。3 分组问题把20个球队分成两组（每组10队）进行比赛，求最强的两队分在不同组的概率。4 扑克牌花色问题求某选手拿到一副牌（13张）中恰有黑桃6张，方块3张，红花4张的概率。,B 有放回地摸球,问题3 袋中有4个红球，6个黑球，从中有放回地摸球3次，求前

9、两次摸到黑球、第3次摸到红球的概率。问题4 袋中有4个红球，6个黑球，求从中有放回地摸球200次中红球出现30次的概率。,摸球模型的应用,5 电话号码问题在7位数的电话号码中，求数字0恰好出现了3次的概率。6 骰子问题掷3颗均匀骰子，求点数之和为4的概率。,古典概率的基本模型球放入杯子模型,A 杯子容量无限把4个球放到3个杯子中去，求第1、2个杯子中各有2个球的概率，其中假设每个杯子可放任意多个球。B 每个杯子只能放1个球把4个球放到10个杯子中去，每个杯子只能放1个球，求第1至第4个杯子中各有1个球的概率。,模型的应用,1 生日问题某班20个学生都是同一年出生的，求有10个学生生

10、日是1月1日，另外10个学生生日都是12月31日的概率。2 分房问题将张三、李四、王五3人等可能地分配到3间房中去，试求每个房间恰有1人的概率。,第1.5节事件的关系与运算、加法公理,事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。比如：概率论中的必然事件（样本空间）在集合论中是全集，概率论中的不可能事件在集合论中是空集，概率论中的事件在集合论中是子集，概率论中的逆事件、和事件、积事件、差事件在集合论中分别是余集、并集、交集、差集，等。,记号概率论集合论 S()样本空间,必然事件空间,全集不可能事件空集样本点元素 A 事件集合,A是B的子事件

11、 A是B的子集,A与B是相等事件 A与B是相等集合,A与B互斥(互不相容)A与B无相同元素,A与B的和(并)事件 A与B的并集,A与B的积(交)事件 A与B的交集,A与B的差事件 A与B的差集,A的对立事件(逆事件)A的余(补)集,概率的主要性质,(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立.(2)加法公式若AB=,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广到有限个互斥事件的情形.即:若A1,A2,An两两互斥,则P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)(3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A).若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；

12、P(A)P(B);(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)可推广到有限个事件的情形(多退少补原则)。,得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例题,1.5.1 AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求 B的逆事件的概率。,所以，P()=1-0.2=0.8,解：由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),思考：在以上条件下，P(A-B)=？,1.5.2.设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A 与B 都不发生

13、的概率为 0.15,求 A发生B不发生的概率；B 发生A不发生的概率及P(A+B).,解：由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1，P（）=0.15，,则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.5,P（B-A）=P（B）-P（AB）,P（A+B）=1-P（）=1-P（）=0.85,又因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以，,P（B）=P（A+B）-P（A）+P（AB）=0.85-0.6+0.1=0.35,从而，P（B-A）=0.35-0.1=0.25,课堂练习,1.P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6，求P(A-B).2.P(A)=0

14、.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB)3.P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/6，求A、B、C都不出现的概率。4.A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解：(1)P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.1,所以P(A-B)=P(A)-(AB)=0.3,(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7+0.3=0.6,(3)P()=P()=1-P(A+B+C)=7/12,(4)P(AB)=P()=P()=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以,P(B)

15、=1-P(A)=1-p,一、条件概率,1、定义对于两个事件A、B，若P（A）0，则称P（B|A）=P（AB）/P（A）为事件A出现的条件下，事件B出现的条件概率。,注意:区别P（B|A）与P（AB）.例有10个人,其中色盲者3人,从这10人中每次任取一人,共取两次。设A第一次取出色盲第二次取出色盲则 P(B|A)/(A)=1/15 P()=3/10,第1.6节条件概率、全概率公式及贝叶斯公式,例1.1 在10个产品中有7个正品，3个次品，按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求两次都取到次品的概率；第二次才取到次品的概率；已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。,若改为有放回抽样呢？

16、,（2）P（）=(73)/(10 9)=7/30,（3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)=(1/15)/(3/10),解：设A=第一次取到次品，B=第二次取到次品，,（1）P（AB）=(32)/(109)=1/15,例1.2已知 0P（B）1，且 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)记C=-B,则下列选项成立的是（）P(A1+A2)|C=P(A1|C)+P(A2|C)P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),例1.3 设事件A是B的子事件1 P(B)0，

18、B，C，若P（AB）0，则有 P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）,注意：乘法法则一般用于计算几个事件同时发生的概率,B=B1+B2，P（B1）=0.2，P（A|）=0.3，P（B2|）=0.4，所以，P（A）=P（A）=P（）P（A|）=0.80.3=0.24，,例1.6.5 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。,解：设A=甲机被击落，B=乙机被击落，B1=乙第一次被击落，B2=乙机第二次被击落，由题意得：B1.B2互斥

19、，,P（B2）=P（B2）=P（）P（|）P（B2|）,=0.80.70.4=0.224,P（B）=P（B1）+P（B2）=0.2+0.224=0.424,二、全概率公式和Bayes公式,1、全概率公式 A1,A2,An是两两互斥的正概率事件，且事件 A1+A2+An=,则对于任何一个事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(B|An),注意：,（1）全概率公式中的事件组是完备事件组；（2）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发，而这些原因又构成完备事件组；（3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。,例1.6.6 设10件产品中有4件不合格品，从

20、中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概率为多少？,解：设A=第一次取得不合格品，B=第二次取得不合格品，,事件A和A的对立事件构成完备事件组，由全概率公式得：,=（4/10）（3/9）+（6/10）（4/9）,=6/15,例1.6.7 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率.,(2)若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品,求它是甲厂生产的概率?,解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品,由题意得:P(A1)=0.5,P(A

21、2)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由全概率公式得:,=0.025,分析:所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).这也就是下面的Bayes公式.,设正概率事件A1，A2,.,An构成完备事件组,对于任何一个正概率事件B，有,注意:,1.A1,A2,.,An可以看作是导致事件B发生的原因;2.P(Aj|B)是在事件B发生的条件下,某个原因Aj发生的概率,称为“后验概率”;Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;3.P(Aj)对应可以称为“先验概率”.,2、贝叶斯（Bayes）公式,P(Aj|B)=,P

22、(Aj B)/P(B)=P(Aj)P(B|Aj)/P（B）,例1.6.8 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率.,(2)若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品,求它是甲厂生产的概率?,解：(2)设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品,由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25 P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由Bayes公式得:,=0.4,思考某一地区患有癌症的人占0.005

23、，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则表示“抽查的人不患癌症”.,已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04,解:,设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，,求P(C|A).,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得:P(CA)=0.1066,第1.7节、事件的独立性,定义若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，简称A与B独立。,推论1 A、B为两个事件，若P(A)0,则 A与B独立等价于P(B|A

24、)=P(B).,证明：A.B独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),P(B|A)=P(B),证明:不妨设A.B独立,则,其他类似可证,推论2 在 A 与 B，与 B，A 与，与这四对事件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立。,说明：推论3提供了一种判断两事件独立性的直观方法，即对于两事件，若其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响，则可判断这两事件是独立的。,推论3 设0P(A)1,0P(B)1 则下面四个等式等价，P(B|A)=P(B)，P(B|)=P(B)P(A|B)=P(A)，P(A|)=P(A),推广1（n个事件的相互独立性）:设有n个事件A1,A

25、2,An,若它们中任何一个事件的发生都不受其它事件的影响,则称这n个事件相互独立.,性质:若n个事件相互独立，则它们积事件的概率等于每个事件概率的积；反之不一定成立。它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件后，所得的n个事件也是相互独立的。,推广2 设A1，A2，An为随机事件序列，若它们中的任何有限个事件都是相互独立的，则称该随机事件序列是相互独立的。,注意：,1.对于有放回抽样，各次抽取是相互独立的。,2.区别互斥事件（互不相容事件）、对立事件、独立事件。,3.当 A、B 独立时,计算 P(AB)，P(A+B)，P(A-B).,P(AB)=P(A

26、)P(B);P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B);P(A-B)=P(A)-P(A)P(B),例1.7.1 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少?,解:设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电,A表示电路断电,则A1,A2,A3相互独立,A=A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=,=1-0.168=0.832,例1.7.2甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲击中的概率为(),解:(1)设A=甲中,B=乙中,C=目标被击中,所求 P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6/0.8=3/4,例1.7.3 设 0 P(A)1,0 P(B)1,P(A|B)+P(|)=1,则（）A和B互不相容 A和B互相对立 A和B互不独立 A和B相互独立,(2)P(A|B)=1-P(|)=P(A|),所以A,B相互独立.,

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