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1、第三章 一阶微分方程解的 存在唯一性定理,Existence&Uniqueness Theorem of First-Order ODE,2023/8/25,1,常微分方程-重庆科技学院-李可人,3.3 解对初值的连续性和可微性,/Continuous and differentiable dependence of the solutions/,解对初值的连续性,解对初值的可微性,本节要求：1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；2 了解解对初值及参数的可微性定理。,内容提要,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,3,常微分方程-重庆科技学院-
2、李可人,3.3.1 解对初值的对称性定理,设 f(x,y)于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，,是初值问题,的唯一解，则在此表达式中，与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,4,常微分方程-重庆科技学院-李可人,解对初值的连续依赖性定理,假设 f(x,y)于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，,是初值问题,的解，它于区间 有定义，那么，对任意给定的，必存在正数，使得当,时，方程满足条件 的解,在区间,也有定义，并且,3.3 Continuity&differentiabi
3、lity,2023/8/25,5,常微分方程-重庆科技学院-李可人,引理,如果 f(x,y)在某域 D 内连续，且关于 y 满足,利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式,其中 为所考虑区间内的某一值。,证明,设 在区间 均有定义，令,不妨设,因此，有,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,6,常微分方程-重庆科技学院-李可人,则,于是,因此，在区间 a,b 上 为减函数，有,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,7,常微分方程-重庆科技学院-李
4、可人,对于区间,则,并且已知它有解,类似以上推导过程，令,注意到,因此,两边取平方根，得,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,8,常微分方程-重庆科技学院-李可人,解对初值的连续依赖性定理的证明,（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域,因为，积分曲线段,是 x y 平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆 使在其内函数 f(x,y)关于 y 满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆 并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设 为圆 的半径，表示 f(x,y)于 内的相应的利普希茨常数。
5、,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,9,常微分方程-重庆科技学院-李可人,令,则有,且 的边界与S的距离。对预先给定的,若取,则以S上每一点为中心，以 为半径的圆的全体，连同它们的圆周一起构成S的有界闭域，且 f(x，y),在D上关于 y 满足利普希茨条件，利普希茨常数为L。,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,10,常微分方程-重庆科技学院-李可人,（二）解对初值的连续依赖性,断言，必存在这样的正数,使得只要 满足不等式,则解 必然在区间,也有定义。,由于D是有界闭区域，且 f(x，y)在其
6、内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为,这时必然有,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,11,常微分方程-重庆科技学院-李可人,因为否则设 则由引理,由 的连续性，对,必存在,使得当 时有,取,则当,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,12,常微分方程-重庆科技学院-李可人,于是,对一切 成立，特别地有,即点,均落在D的内部，而不可能,位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间a,b上有定义。,3.3 Continuity&diffe
7、rentiability,2023/8/25,13,常微分方程-重庆科技学院-李可人,在不等式,中，,将区间c，d换为a，b，可知，当,时，有,定理得证。,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,14,常微分方程-重庆科技学院-李可人,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值的连续性定理,假设 f(x,y)于域 G 内连续且关于 y 满足局部利普希茨条件，则方程,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,15,常微分方程-重庆科技学院-李可人,1.含参数的一阶方程表示,2.一致利普希兹条件,
8、设函数,一致地关于 y 满足局部利普希兹(Lipschitz)条件，,为中心的球，使得对任何,其中L 是与 无关的正数。,在 内连续，且在 内,即对 内的每一点 都存在以,成立不等式,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,16,常微分方程-重庆科技学院-李可人,由解的存在唯一性定理，对每一,方程 的解唯一确定。记为,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,17,常微分方程-重庆科技学院-李可人,解对初值和参数的连续依赖性定理,假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件，,是方程
9、通过点 的解，在区间,那么，对任意给定的，必存在正数,时，方程满足条件 的解,在区间,也有定义，并且,有定义,其中,使得当,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,18,常微分方程-重庆科技学院-李可人,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值和参数的连续性定理,假设 于域 内连续，且在 内关于 y 一致地满足局部利普希茨条件，则方程,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,19,常微分方程-重庆科技学院-李可人,解对初值的可微性定理,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续可微的。,若函
10、数 f(x,y)以及 都在区域 G 内连续，则方程,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,20,常微分方程-重庆科技学院-李可人,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,21,常微分方程-重庆科技学院-李可人,证明,由,在区域 G 内连续，推知 f(x,y)在,G 内关于 y 满足局部利普希茨条件。因此，解对初值的连续性定理成立，即,下面进一步证明对于函数 的存在范围内任一点的偏导数,在它的存在范围内关于 是连续的。,存在且连续。,3.3 Continuity&differentiability,20
11、23/8/25,22,常微分方程-重庆科技学院-李可人,设由初值,为足够小的正数）所确定的方程的解分别为,即,于是,其中,先证,存在且连续。,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,23,常微分方程-重庆科技学院-李可人,注意到 及,的连续性，有,其中 具有性质,类似地,其中 与 具有相同的性质，因此对,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,24,常微分方程-重庆科技学院-李可人,即,是初值问题,的解，在这里 被视为参数。,显然，当 时上述初值问题仍然有解。,3.3 Continuity&differ
12、entiability,2023/8/25,25,常微分方程-重庆科技学院-李可人,根据解对初值和参数的连续性定理，知,是,的连续函数。从而存在,而,是初值问题,的解。,且,，显然,的连续函数。,它是,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,26,常微分方程-重庆科技学院-李可人,再证,存在且连续。,为初值,设,所确定的方程的解。,类似地可推证,是初值问题,的解。因而,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,27,常微分方程-重庆科技学院-李可人,其中 具有性质,故有,至于 的存在及连续性，只需注意到,
13、显然它是,的连续函数。,是方程的解，因而,由 及 的连续性即直接推的结论。,证毕。,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,28,常微分方程-重庆科技学院-李可人,课堂练习,1 设 是初值问题,的解，试证明,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,29,常微分方程-重庆科技学院-李可人,2 已知方程,试求,3.3 Continuity&differentiability,2023/8/25,30,常微分方程-重庆科技学院-李可人,按照公式，一般有,由于,，因此，我们有,时有,2023/8/25,31,常微分方程-重庆科技学院-李可人,
