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1、,3.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP3.2 纯整数规划的求解 Solving Pure Integer Programming 3.3 01规划的求解 Solving Binary Integer Programming,Chapter 3 整数规划Integer Programming,运筹学Operations Research,3.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP,2023/8/27,一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数，则这个规划称为整数规划。当要求全部变量取整数值的，称为纯整数规划；只要求一部分变量取
2、整数值的，称为混合整数规划。如果模型是线性的，称为整数线性规划。本章只讨论整数线性规划。,很多实际规划问题都属于整数规划问题,1.变量是人数、机器设备台数或产品件数等都要求是整数2.对某一个项目要不要投资的决策问题，可选用一个逻辑变量 x，当x=1表示投资，x=0表示不投资；3.人员的合理安排问题，当变量xij=1表示安排第i人去做j工作，xij=0表示不安排第i人去做j工作。逻辑变量也是只允许取整数值的一类变量。,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP,2023/8/27,【例3.1】某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物品。他准备用来装甲、乙
3、两种物品，每件物品的重量、体积和价值如表3-1所示。问两种物品各装多少件，所装物品的总价值最大？,表3-1,【解】设甲、乙两种物品各装x1、x2件，则数学模型为：,(3.1),3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP,2023/8/27,如果不考虑x1、x2取整数的约束（称为（3.1）的松弛问题），线性规划的可行域如图3-1中的阴影部分所示。,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP,图3-1,2023/8/27,用图解法求得点B为最优解：X(3.57，7.14)，Z35.7。由于x1，x2必须取整数值，实际上整数规划问题
4、的可行解集只是图中可行域内的那些整数点。用凑整法来解时需要比较四种组合，但（4，7）、（4，8）（3，8）都不是可行解，（3，7）虽属可行解，但代入目标函数得Z=33,并非最优。实际上问题的最优解是（5，5），Z=35。即两种物品各装5件，总价值35元。,由图31知，点（5，5）不是可行域的顶点，直接用图解法或单纯形法都无法求出整数规划问题的最优解，因此求解整数规划问题的最优解需要采用其它特殊方法。,还有些问题用线性规划数学模型无法描述，但可以通过设置逻辑变量建立起整数规划的数学模型。,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP,2023/8/27,【例3.2
5、】在例3.1中，假设此人还有一只旅行箱，最大载重量为12公斤，其体积是0.02m3。背包和旅行箱只能选择其一，建立下列几种情形的数学模型，使所装物品价值最大。（1）所装物品不变；（2）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，价值分别是4和3，载重量和体积的约束为,【解】此问题可以建立两个整数规划模型，但用一个模型描述更简单。引入01变量（或称逻辑变量）yi，令,i=1,2分别是采用背包及旅行箱装载。,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP,2023/8/27,（1）由于所装物品不变，式(3.1)约束左边不变，整数规划数学模型为,（2）由于不同载体所装物品
6、不一样，数学模型为,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP,2023/8/27,式中M为充分大的正数。从上式可知，当使用背包时(y1=1，y2=0)，式(b)和(d)是多余的；当使用旅行箱时(y1=0，y2=1)，式(a)和(c)是多余的。上式也可以令：,同样可以讨论对于有m个条件互相排斥、有m（m、m）个条件起作用的情形。,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP,2023/8/27,（1)右端常数是k个值中的一个时，类似式(3.2)的约束条件为,（2)对于m组条件中有k（m）组起作用时，类似式(3.3)的约束条件写成
7、,这里yi=1表示第i组约束不起作用（如y1=1式(3.3b)、(3.3d)不起作用），yi=0表示第i个约束起作用。当约束条件是“”符号时右端常数项应为,（3)对于m个条件中有k（m）个起作用时，约束条件写成,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP,2023/8/27,【例3.3】试引入01变量将下列各题分别表达为一般线性约束条件（1）x1+x26或4x1+6x210或2x1+4x220（2）若x15，则x20，否则x28（3）x2取值0，1，3，5，7,【解】（1）3个约束只有1个起作用,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model
8、 of IP,或,2023/8/27,（3）右端常数是5个值中的1个,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP,（2）两组约束只有一组起作用,2023/8/27,【例3.4】企业计划生产4000件某种产品，该产品可自己加工、外协加工任意一种形式生产已知每种生产的固定费用、生产该产品的单件成本以及每种生产形式的最大加工数量（件）限制如表32所示，怎样安排产品的加工使总成本最小,表32,【解】设xj为采用第j（j=1,2,3）种方式生产的产品数量，生产费用为,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP,2023/8/27,式中k
9、j是固定成本，cj是单位产品成本设01变量yj，令,数学模型为,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Model of IP,（3.4）,式（3.4）中 是处理xj与yj一对变量之间逻辑关系的特殊约束，当xj0时yj=1,当xj0时，为使Z最小化，有yj=0。例3.4是混合整数规划问题用WinQSB软件求解得到：X(0，2000，2000)T，Y(0，1，1)T，Z=25400.,2023/8/27,作业：教材P75 1,2，3，4，5，6,1.线性整数规划模型的特征2.什么是纯（混合）整数规划3.01规划模型的应用,3.1 整数规划的数学模型 Mathematical Mod
10、el of IP,下一节：纯整数规划的求解,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer Programming,2023/8/27,分枝定界法的步骤：,1.求整数规划的松弛问题最优解；2.若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解，否则转下一步；3.任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束xixi及xixi+1组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界；4.检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于（max）等于其它分枝的目标值
11、，则将其它分枝剪去不再计算,若还存在非整数解并且目标值大于（max）整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优解。,求解纯整数规划的分枝定界法,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer Programming,2023/8/27,【例3.5】用分枝定界法求解例5.1,【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：,用图解法得到最优解X（3.57,7.14）,Z0=35.7,如下图所示。,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer Programming,2023/8/27,8.33,10,松弛问题LP0的最优解X=(3.57,7.14),Z0=3
12、5.7,x1,x2,o,A,B,C,10,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer Programming,10,10,x1,x2,o,A,B,C,LP1,LP2,3,4,LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8,LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5,10,10,x1,x2,o,A,B,C,LP1,LP3,3,4,LP3:X=(4.33,6),Z3=35.33,6,LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8,10,10,x1,x2,o,A,C,LP1,3,4,6,LP4:X=(4,6),Z4=34,LP5:X=(5,5),Z5=35,5,LP1:X=(3,7.6
13、),Z1=34.8,LP3,LP5,尽管LP1的解中x1不为整数，但Z5Z因此LP5的最优解就是原整数规划的最优解。,上述分枝过程可用下图表示,LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7,LP1:X=(3,7.6)Z1=34.8,LP2:X=(4,6.5)Z2=35.5,x13,x14,LP3:X=(4.33,6)Z3=35.33,x26,LP4:X=(4,6)Z4=34,LP5:X=(5,5)Z5=35,x14,x15,无可行解,x27,2023/8/27,设纯整数规划,松弛问题,的最优解,设xi不为整数，,3.2.2 求解IP的割平面法,3.2 纯整数规划的求解Solving Pu
14、re Integer Programming,2023/8/27,将 分离成一个整数与一个非负真分数之和：,则有,等式两边都为整数并且有,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer Programming,2023/8/27,加入松弛变量si得,此式称为以xi行为源行（来源行）的割平面，或分数切割式，或R.E.Gomory(高莫雷)约束方程。,将Gomory约束加入到松弛问题的最优表中，用对偶单纯形法计算，若最优解中还有非整数解，再继续切割，直到全部为整数解。,则,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer Programming,2023/8/27
15、,例如，,x1行：,移项：,令,加入松弛变量s1得,同理，对于x2行有：,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer Programming,2023/8/27,【例3.6】用割平面法求解下列IP问题,【解】放宽变量约束，对应的松弛问题是,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer Programming,2023/8/27,加入松弛变量x3及x4后，用单纯形法求解，得到最优表3-3。,最优解X(0)(5/2，15/4),不是IP的最优解。选择表3-3的第一行(也可以选第二行)为源行,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer
16、Programming,表3-3,2023/8/27,分离系数后改写成,加入松弛变量x5得到高莫雷约束方程,将式(3.8)作为约束条件添加到表33中，用对偶单纯形法计算，如表34所示,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer Programming,2023/8/27,最优解X(1)(3，3)，最优值Z21。所有变量为整数，X(1)就是IP的最优解。如果不是整数解，需要继续切割，重复上述计算过程。,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer Programming,表34,如果在对偶单纯形法中原切割方程的松弛变量仍为基变量，则此松弛变量所在列化为单
17、位向量后就可以去掉该行该列，再切割。,2023/8/27,作业：教材P76 T 7，8,1.理解分枝与定界的含义2.选择合适的“枝”生“枝”3.掌握何时停止生“枝”4.领会割平面法的基本原理5.分离源行，求出Gomory约束6.在最优表中增加Gomory约束，用 对偶单纯形法迭代,3.2 纯整数规划的求解Solving Pure Integer Programming,下一节：01规划的求解,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,3.3.1 求解01整数规划的隐枚举法,隐枚举法的步骤：,1.找出任意一可行解，目标函数值为Z0,2.原问题求最大值时，则增加一个约束,当
18、求最小值时，上式改为小于等于约束,3.列出所有可能解，对每个可能解先检验式（*），若满足再检验其它约束，若不满足式（*），则认为不可行，若所有约束都满足，则认为此解是可行解，求出目标值,4.目标函数值最大（最小）的解就是最优解,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,【例3.7】用隐枚举法求解下列BIP问题,【解】（1）不难看出，当所有变量等于0或1的任意组合时，第一个约束满足，说明第一个约束没有约束力，是多余的，从约束条件中去掉。还能通过观察得到X0(1，0，0，1)是一个可行解，目标值Z011是BIP问题的下界，构造一个约束：，原BIP问题变为,3.3 01规划的
19、求解Solving BIP,2023/8/27,(2)列出变量取值0和1的组合，共2416个，分别代入约束条件判断是否可行。首先判断式（3.9a）是否满足，如果满足，接下来判断其它约束，否则认为不可行，计算过程见表37所示。,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,表35,(3)由表3-5知，BIP问题的最优解：X（1，0，1，1），最优值Z14,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,选择不同的初始可行解，计算量会不一样。一般地，当目标函数求最大值时，首先考虑目标函数系数最大的变量等于1，如例3.8。当目标函数求最小值时，先考虑目标函数系数
20、最大的变量等于0。在表37的计算过程中，当目标值等于14时，将其下界11改为14，可以减少计算量。,3.3.2 分枝隐枚举法求解BIP问题,将分枝定界法与隐枚举法结合起来用，得到分枝隐枚举法。计算步骤如下：（1）将BIP问题的目标函数的系数化为非负，如,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,当变量作了代换后，约束条件中的变量也相应作代换。,（3）求主枝：目标函数是max形式时令所有变量等于1，得到目标值的上界；目标函数是min形式时令所有变量等于0，得到目标值的下界；如果主枝的解满足所有约束条件则得到最优解，否则转下一步；（4）分枝与定界：从第一个变量开始依次取“1
21、”或“0”，求极大值时其后面的变量等于“1”，求极小值时其后面的变量等于“0”，用分枝定界法搜索可行解和最优解。分枝隐枚举法是从非可行解中进行分枝搜索可行解，第（1）步到第（3）步用了隐枚举法的思路，第（4）步用了分枝定界法的思路。,3.3 01规划的求解Solving BIP,(2)变量重新排序：变量依据目标函数系数值按升排序；,2023/8/27,停止分枝和需要继续分枝的原则：（1）当某一子问题是可行解时则停止分枝并保留；（2）不是可行解但目标值劣于现有保留分枝的目标值时停止分枝并剪枝；（3）后续分枝变量无论取“1”或“0”都不能得到可行解时停止分枝并剪枝；（4）当某一子问题不可行但目标值
22、优于现有保留分枝的所有目标值，则要继续分枝。,【例3.8】用分枝隐枚举法求解下列BIP问题,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,解（1）目标函数系数全部非负，直接对变量重新排序,（2）求主枝：令X(1，1，1，1)得到主枝1，检查约束条件知(3.10c)不满足，则进行分枝。（3）令x2=0同时令x3=0及x3=1得到分枝2和分枝3，X2和X3是可行解，分枝停止并保留，如表3-8及图3-8所示。,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,表3.8,令x2=1同时令x3=0得到分枝4，X4是可行解，分枝停止并保留。令x2=1、x3=1，x4取“
23、0”和“1”得到分枝5和6，分枝5不可行并且Z511小于Z3和 Z4，分枝停止并剪枝。注意到分枝6，x41时只有x10（x11就是主枝），X6不可行并且Z610小于Z3和 Z4，分枝停止并剪枝，分枝过程结束。整个计算过程可用图32和表3.8表示。,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,搜索到3个可行解，3个目标值中Z3最大，因此X3是最优解，转换到原问题的最优解为X（1，0，1，1），最优值Z14，计算结束。,图32,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,【例3.9】用分枝隐枚举法求解下列BIP问题,解（1）令x2=1x2及x5=1x5，
24、代入模型后整理得,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,（2）目标函数系数按升序将对应的变量重新排列得到模型,（3）求主枝。由于目标函数求最小值，令所有变量等于零，得到主枝的解X1（0，0，0，0，0），Z17，检验约束条件知X1不可行，进行分枝。（4）取x1=1和x1=0，分别其它变量等于“1”和“0”分枝，判断可行性，计算过程参见表36及图33。,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,表36,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,由表36知，分枝5和分枝10两个问题可行，分枝5优于分枝10，其它不可行子问题
25、尽管目标值优于分枝5，由约束(3.11b)知，继续分枝不可能得到其它可行解，因此停止分枝，计算结束。分枝5的解X5(x1,x4,x2,x5,x3)（0，0，0，0，1），原BIP的最优解为X(x1,x2,x3,x4,x5)(0，1，1，0，1),最优值Z1。,图33,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,在分枝隐枚举法的计算过程中，由于变量已经按目标函数系数从小到大重新排序，因此在选择子问题分枝的原则是按排序后的变量顺序分枝，但变量较多时搜索可行解的过程可能非常漫长。针对转换后的目标函数特征，极大值问题的解中“1”越多越优，极小值问题的解中“0”越多越优，因此在选择变量分枝时尽可能采用避“0”或“1”的方法，请观察表38及36.,3.3 01规划的求解Solving BIP,2023/8/27,作业：P76 T 9，10,1.用隐枚举法求0-1规划的最优解2.用分枝隐枚举法求解0-1规划的最优解,3.3 01规划的求解Solving BIP,The End of Chapter 3,3.9(1),3.9(2),
