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1、1,第四节 重积分的应用,一、重积分的元素法,二、重积分在几何上的应用,四、小结,三、重积分在物理上的应用,2,一、重积分的元素法,把定积分的元素法推广到二重积分.,1.若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性,元素法也可推广到三重积分.,2.在D内任取一个直径很小的闭区域,部分量可近似地表示为,称为所求量U的元素,相应的,其中,这个,记为,的形式,3,(一)平面区域的面积,设有平面区域D,(二)体积,设曲面方程为,则D上的曲顶柱体体积为:,则其面积为:,占有空间有界域的立体的体积为:,二、重积分在几何上的应用,4,1.设曲面S的方程为：,如图,设小区域,则有,母线平行于z轴的小柱面,在xOy
2、面上的投影区域为Dxy,(三)曲面的面积,求曲面S的面积.,5,曲面S的面积元素,曲面S的面积公式,6,说明：,7,求球面,内部的那部分面积.,例,含在圆柱体,解,由对称性知,(A1为第一卦限图形的面积,如图),曲面方程,于是,8,面积,极坐标,9,解,例,10,解,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 平面上的投影域为,求由曲面,所围立体的表面积.,例,11,12,小结：,2.确定投影域Dxy.,1.确定曲面单值函数 z=f(x,y),3.曲面面积公式,求曲面面积的步骤,13,作出图形在第一卦限的,A1:,则,解,部分,练习,所截的部分的面积.,被圆柱面,计算圆柱面,(如图).,14,在第一卦
3、限部分面积为,整个面积,15,(一)质(重)心,则该质点系的质心的坐标为,它们分别位于,质量分别为,设xOy平面上有n个质点,三、重积分在物理上的应用,16,由元素法,(1)平面薄片的质心,17,注,所以,薄片的质心坐标为,当薄片是均匀的,质心称为,形心.,D的面积.,18,例 求位于两圆,和,的质心.,利用对称性可知,而,之间均匀薄片,解,19,(2).空间物体的重心,说明：,20,一个炼钢炉为旋转体形,剖面,壁线的方程为,若炉内储有高为h的均质钢液,不计,由对称性知质心在 z 轴上，,故,炉体的自重,求它的质心.,例,解,21,质心为,22,处，质量分别为,则该质点系绕x轴,y轴和原点O,
4、的转动惯量依次为,(二)转动惯量,由力学知，一个位于点(x,y)质量为m的质点P,绕x轴,y轴和原点O的转动惯量分别为,对于质点系,23,(1)平面薄片的转动惯量,24,解,例 设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为,a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.,25,例,解,由元素法,26,(2).空间物体的转动惯量,27,28,由万有引力定律可知,一个位于点(x,y,z),质量,(三)引力,为m的质点P,对另一个位于点(x0,y0,z0),单位,质量的质点P0的引力,大小为(其中k为引力常数),方向同向量,29,元素法,设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为,假定,在D上连续,计算该平面薄片对位于z轴上的点,处的单位质点的引力.,将两质点的引力推广到平面薄片和空间立体上去,以平面薄片为例：,30,31,(k为引力常数),薄片对z轴上单位质点的引力为,32,设有面密度为常量,半径为R的均匀圆的薄片,求它对位于点,易见,处的单位质量质点的引力.,例,解,所求引力为,33,(2).空间物体对质点的引力,34,解,35,四、小结,质心,物理应用,转动惯量,引力,作 业,习题8-4(111页),1(1)(3).2(1).3(1).4(1).5.6(2).7.8.,
