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1、二重积分的概念与性质,一.二重积分的概念,1引例曲顶柱体的体积 曲顶柱体：柱体的底是xoy面上的一有界闭区域D；侧面是以D的边界曲线为准线而母线平 行于z轴的柱面；顶是曲面z=f(x,y)(f(x,y)0),f在D 上连续。区域的直径：闭区域上任意两点间距离的 最大值，称为闭区域的直径。,平顶(z=f(x,y)=常数)柱体的体积：体积=高（z=常数）底面积（区域D的面积）,（请回忆在61解决计算曲边梯形面积的思想分析方法：）,o,x,y,z,D,z=f(x,y),y,x,z,z=f(x,y),o,D,(i,i),i,曲顶柱体的体积V:,分割：D=12 n V=V1V2 Vn(i为Vi窄条曲顶柱
2、体的底；di为i的直径。)近似：近似地将小曲顶视为平顶（满足条件：z=f(x,y)连续，小区域i的直径di很小），以点(i,i)i的竖坐标f(i,i)为高，则得每个小 窄条曲顶柱体的体积近似值 Vif(i,i)i(i=1,2,n)求和：取极限：其中d=maxd1,d2,dn,用i也示小区域的面积。,2引例平面薄片的质量,有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.,度为,设D 的面积为,则,若,非常数,仍可用,其面密,“分割,近似和,求 极限”,解决.,1)“分割”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域.,2)“近似”,中任取一点,3)“近似和”
3、,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“分割,近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,2.定义（二重积分）：,设z=f(x,y)在区域D上有界，则分割：用平面曲线网将D分成n个小区域 1,2,n 各个小区域的面积是 1,2,n 各个小区域的直径是 d1,d2,dn近似：在各个小区域上任取一点(i,i)i，作乘积 f(i,i)i(i=1,2,n)求和：,取极限：当n且l=maxd1,d2,dn0时，极限,存在，则称此极限值为z=f(x,y)在D上的 二重积分，记为 即 f(x,y)被积函数 f(x,y)d 被积表
4、达式 d 面积元素 x,y 积分变量 D 积分区域 积分和式,注记：,在直角坐标系中，i(xi)(yi)面积元素 d=dxdy,故二重积分又有形式 由于二重积分的定义，曲顶柱体的体积是 二重积分的几何意义：当f(x,y)0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积；当f(x,y)0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积的负值；当f(x,y)在D上既有在若干分区域上取正值，也有在其余区域上取负值时，二重积分的几何意义是：xoy面上方的柱体体积为正、下方的为负时的柱体体积的代数和。,函数f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必定存在。,n(l0)时，积分和式极限存在，与对D
5、区域的分法无关，与(i,i)i的取法无 关，仅与D和f(x,y)有关。“i的直径很小”与“i的面积很小”对 于“近似”有根本的区别，因此极限过程用 l0，而不能仅用n来描述。,二二重积分的性质,（为D的面积）,（D=D1+D2）,在D上,若恒有f(x,y)g(x,y)，则,特别地，在D上若f(x,y)0(0)恒成立，则 在D上若mf(x,y)M，为D的面积，则,(0),二重积分中值定理：,设f(x,y)C(D)，D为有界闭区域，为D的面积，则至少(,)D，使,例题解析,例1,设,利用二重积分的几何意义说明I1和I2之间的关系,解：,由二重积分的几何意义知，I1表示底为D1，顶为曲面z=（x2+
6、y2）3的曲顶柱体M1的体积；I2表示底为D2，顶为曲面z=（x2+y2）3的曲顶柱体M2的体积；由于位于D1上方的曲面z=（x2+y2）3关于yox面和zox面均对称，故yoz面和zox面将M1分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为M2。由此可知,x,y,1,-1,-2,2,例2,利用二重积分的几何意义确定二重积分,的值，其中,解：,曲顶柱体的底部为圆盘,其顶 是下半圆锥面,故曲顶柱体为一圆锥体，它的底面半径及高均为3，所以,例3,利用二重积分的几何意义说明：,（1）当积分区域D关于y轴对称，f（x，y）为x的奇函数，即f（-x，y）=-f（x，y）时有,（2）当积分区域D关于y轴对称，f（x，y）为x的偶函数，即f（-x，y）=f（x，y）时有,（D1为D在x0的部分）,注记：,结论的推广,（1）当积分区域D关于x轴对称，f（x，y）为y的奇函数，即f（x，-y）=-f（x，y）时有,（2）当积分区域D关于x轴对称，f（x，y）为y的偶函数，即f（x，-y）=f（x，y）时有,（D1为D在y0的部分）,例4,比较,分析：主要考虑,【附注】,比较 和 的大小,先令 得曲线,在 的两侧,一般的有,判断D在曲线的哪一侧，即可判断,的大小,例5,利用二重积分的性质估计积分值的范围,分析：,【作业】,习题91,1、2、3,
