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1、第八章 Fourier 变换,Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换,它既能够,简化运算(如求解微分方程、化卷积为乘积等等),又具有,非常特殊的物理意义。,的地位,而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。,展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关,内容,因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。,8.1 Fourier 变换的概念,因此,Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要,Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发,8.1 Fourier 变换的概念,一、周期函数的 Fourier 级数,二、非周期函数的 Fouri
2、er 变换,一、周期函数的 Fourier 级数,1.简谐波的基本概念,简谐波,为基本周期;,为频率。,一、周期函数的 Fourier 级数,2.正交函数系,函数系,一、周期函数的 Fourier 级数,2.正交函数系,特点,由 组合叠加可以生成周期为 T 的复杂波。,(1)周期性,其中,,(2)正交性,一、周期函数的 Fourier 级数,2.正交函数系,?,能否:,区间 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件):,则在 的连续点处有,在 的间断处,上式左端为,3.Fourier 级数的三角形式,(A),一、周期函数的 Fourier 级数,称之为基频。,(Dirichlet 定理)
3、,定理,3.Fourier 级数的三角形式,其中,(A),一、周期函数的 Fourier 级数,4.Fourier 级数的物理含义,令,则(A)式变为,一、周期函数的 Fourier 级数,这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 的倍数。,这是周期信号的一个非常重要的特点。,4.Fourier 级数的物理含义,一、周期函数的 Fourier 级数,这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。,4.Fourier 级数的物理含义,所占有的份额;,沿时间轴移动的大小。,一、周期函数的 Fourier 级数,5.Fourier 级数的指数形式,代入(A)式并整理得,根据 Euler 公式,可得,一、周期
4、函数的 Fourier 级数,5.Fourier 级数的指数形式,推导,则有,令,其中,一、周期函数的 Fourier 级数,(2)计算系数 时,其中的积分可以在任意,一个长度为 T 的区间上进行。,(3)采用周期延拓技术,可以将结论应用到,仅仅定义在某个有限区间上的函数。,5.Fourier 级数的指数形式,一、周期函数的 Fourier 级数,6.离散频谱与频谱图,得,即 的模与辐角正好是振幅和相位。,称 为频谱,记为,一、周期函数的 Fourier 级数,6.离散频谱与频谱图,一、周期函数的 Fourier 级数,(1)当 n=0 时,,解,(3)的 Fourier 级数为,解,(4)振
5、幅谱为,相位谱为,(5)频谱图如下图所示。,解,借助 Fourier 级数展开,使得人们能够完全了解一个,信号的频率特性,从而认清了一个信号的本质,这种对,信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。,但是,Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函,数,而在工程实际问题中,大量遇到的是非周期函数,,那么,对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?,二、非周期函数的傅立叶变换,二、非周期函数的傅立叶变换,(1)非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。,1.简单分析,当 T 越来越大时,取值间隔越来越小;,当 T 趋于无穷时,取值间隔趋向于零,,因此,一个非周期函数将包含所有的
6、频率成份。,其频谱是以 为间隔离散取值的。,即频谱将连续取值。,(2)当 时,频率特性发生了什么变化?,二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,(3)当 时,级数求和发生了什么变化?,二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,分析,分析,则,按照积分定义,在一定条件下,(C)式可写为,记,(3)当 时,级数求和发生了什么变化?,二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,二、非周期函数的傅立叶变换,2.Fourier 积分公式,(2)Fourier 逆变换(简称傅氏逆变换),注:上述变换中的广义积分为柯西主值。,二、非周期函数的傅立叶变换,-1,3.Fourier 变换的定义,二、非周期函数的
7、傅立叶变换,4.Fourier 变换的物理意义,与 Fourier 级数的物理意义一样,Fourier 变换同样,刻画了一个非周期函数的频谱特性,不同的是,非周期,函数的频谱是连续取值的。,一般为复值函数,故可表示为,反映的是 中各频率分量的分布密度,它,(2)振幅谱为,相位谱为,解,(3)求 Fourier 逆变换,即可得到的 Fourier 积分表达式。,解,-1,一般地,有,特别地,有,注,解,相位谱为,历史回顾 Fourier级数,附:,历史回顾 Fourier级数,附:,1829 年,德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较“宽”的,函数给出了严格的证明。时年 24 岁。,1830年 5 月 16 日,Fourier 在巴黎去世。,历史回顾 Fourier级数,附:,人物介绍 狄利克雷,附:,附:,人物介绍 傅立叶,附:抽样信号,抽样信号在连续(时间)信号的离散化、离散(时间)信号的,精确恢复以及信号的滤波中发挥着重要的作用。,附:低通滤波,它所对应的频谱函数 称为理想低通滤波器。,当用理想低通滤波器 与其它信号的频谱函数相乘时,,能使信号的低频成份完全通过(保留),高频成份完全压制。,