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1、解析几何解答题的解法,考题剖析,试题特点,03,16,解析几何解答题的解法,应试策略,07,1.近三年高考各试卷解析几何考查情况统计 2005年高考各地的16套试卷中，每套试卷均有1道解析几何解答题试题，涉及椭圆的有9道，涉及双曲线的有2道，涉及抛物线的有3道，涉及直线与圆的有3道，涉及线性规划的有1道.其中，求最值的有4道，求参数的取值范围的有4道，求轨迹方程的有5道，和向量综合的有7道，探索性的问题有5道.2006年高考各地的18套试卷里，每套都有1道解答试题，涉及椭圆的有9道，抛物线的有4道，双曲线的有5道.其中求动点的轨迹，求参数的取值范围是热门话题.重庆的解析几何、数列、不等式证明相
2、结合的试题比较独特.,试题特点,返回目录,解析几何解答题的解法,2007年高考各地的19套试卷中，每套都有1道解答题，椭圆的有10道，双曲线的有2道，抛物线的5道，直线与圆的有2道,涉及到圆锥曲线中的最值问题、轨迹问题、中点弦问题、存在性问题的探讨，以及定点定值问题的探讨等.在2008年高考的解析几何试题中，像有关面积的问题是高考的热点问题，但在2007年及以前主要是讨论三角形的面积，而近两年有多处出现了讨论四边形面积的问题，如2007年全国卷一理科第21题；2008年北京卷理科第19题等等以后还会讨论多边形的问题.解析几何解答试题热点的题型是求参数范围或求最值的综合性问题，探求动点的轨迹问题
3、，有关定值、定点等的证明问题，与向量综合的探索性问题等.,试题特点,返回目录,解析几何解答题的解法,2.主要特点 解析几何虽然内容庞杂，但基本问题却只有几个.如求直线与圆锥曲线的方程；求动点的轨迹或轨迹方程；求特定对象的值；求变量的取值范围或最值；不等关系的判定与证明；圆锥曲线有关性质的探求与证明等.对各类问题，学生应从理论上掌握几种基本方法，使之在实际应用中有法可依，克服解题的盲目性.如“求变量的取值范围”，可指导学生掌握三种方法：几 何法（数形结合），函数法和不等式法.,返回目录,试题特点,解析几何解答题的解法,从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点，能帮助学生易于找到解题切入点，优
4、化解题过程，常用的解题策略有：建立适当的平面直角坐标系；设而不求，变式消元；利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；发掘平面几何性质，简化代数运算；用函数与方程思想沟通等与不等的关系；注意对特殊情形的检验和补充；充分利用向量的工具作用；注意运算的可行性分析，等等 运算是解析几何的瓶颈，它严重制约考生得分的高低，甚至形成心理障碍.教学中要指导学生注重算理、算法，细化运算过程，转化相关条件，回避非必求量，注意整体代换等运算技能，从能力的角度提高对运算的认识，反思运算失误的经验教训，不断提高运算水平.,返回目录,试题特点,解析几何解答题的解法,应 试 策 略,返回目录,1.突出解析几何的基本思想 解析几何
5、的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一.求曲线的方程的常用方法有两类：一类是曲线形状明确，方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等)，常用待定系数法求方程.另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法：,返回目录,应试策略,解析几何解答题的解法,（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式.（2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（x,y）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程.（3）参数法：通过一个（或多个）中
6、间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程.（4）交轨法：动点是两条动曲线的交点构成的，由x,y满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程.故交轨法也属参数法.,返回目录,应试策略,解析几何解答题的解法,2.熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识(1)直线和圆 直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的是：()倾斜角的范围是：0；()所有的直线必有倾斜角，但未必有斜率.直线方程的四种特殊形式，每一种形式都有各自成立的条件，应在不同的题设条件下灵活使用.如截距式不能表示平行于x轴,y轴以及过原点的直线，在求直线方程时尤其是要注意斜率不存在的情况.
7、讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离与两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何特征较为简捷、实用.,返回目录,应试策略,解析几何解答题的解法,(2)椭圆 完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用.椭圆是平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2aF1F2)的动点的轨迹.还有另一种定义（圆锥曲线的统一定义）：平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数e(0e1)的动点轨迹为椭圆，（顺便指出：e1，e=1时的轨迹分别为双曲线和抛物线）.,返回目录,应试策略,解析几何解答题的解法,椭圆的标准方程有两种形式，决定于
8、焦点所在的坐标轴.焦点是F（c,0）时，标准方程为=1(ab0)；焦点是F（0，c）时，标准方程为=1(ab0).这里隐含a2=b2c2，此关系体现在OFB(B为短轴端点)中.深刻理解a，b，c，e，的本质含义及相互关系，实际上就掌握了几何性质.,返回目录,应试策略,解析几何解答题的解法,(3)双曲线 类比椭圆，双曲线也有两种定义，两种标准方程形式.同样要重视定义在解题中的运用，要深刻理解几何量a，b，c，e，的本质含义及其相互间的关系.双曲线的渐近线是区别于椭圆的一道“风景线”，其实它是矩形的两条对角线所在的直线（参照课本）.双曲线=1(a0,b0)隐含了一个附加公式c2=a2b2.此关系体
9、现在OAB(A,B分别为实轴，虚轴的一个端点)中；特别地，当a=b时的双曲线称为等轴（边）双曲线，其离心率为.,返回目录,应试策略,解析几何解答题的解法,(4)抛物线 抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹（F l）.定义指明了抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，并在解题中有突出的运用.抛物线方程（标准）有四种形式：y2=2px和x2=2py(p0)，选择时必须判定开口与对称轴.掌握几何性质，注意分清2p,p,的几何意义.,返回目录,应试策略,解析几何解答题的解法,3.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法(1)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系，可将直线l的方程代入
10、曲线C的方程，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x的一元方程ax2bxc=0，然后利用“”法.(2)有关弦长问题，应用弦长公式及韦达定理，设而不求;有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线的定义的运用，以简化运算.(3)有关弦的中点问题，除了利用韦达定理外，要注意灵活运用“点差法”，设而不求，简化运算.(4)有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系(或向量方法)及韦达定理，设而不求，整体处理.(5)有关圆锥曲线关于直线l的对称问题中，若A，A是对称点，则应抓住AA的中点在l上及kAAkl=1这两个关键条件解决问题.(6)有关直线与圆锥曲线的位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”
11、来解决.,返回目录,应试策略,解析几何解答题的解法,考 题 剖 析,返回目录,考题剖析,返回目录,解析几何解答题的解法,考题剖析,返回目录,解析几何解答题的解法,考题剖析,返回目录,解析几何解答题的解法,考题剖析,返回目录,解析几何解答题的解法,考题剖析,返回目录,解析几何解答题的解法,考题剖析,返回目录,解析几何解答题的解法,点评 本题在求最值的过程中用了柯西不等式，由于同学们学了向量的有关知识，柯西不等式完全可以掌握,考题剖析,返回目录,3.（2007北京清华大学附中模拟题）无论m为任何实数，直线l:y=xm与双曲线C:=1(b0)恒有公共点.（）求双曲线C的离心率e的取值范围；（）若直线
12、l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足，求双曲线C的方程.,解析（）联立，得b2x22(xm)22b2=0(b22)x24mx2(m2b2)=0 当b2=2，m=0时，直线与双曲线无交点，矛盾b22,e 直线与双曲线恒有交点，=16m28(b22)(m2b2)0恒成立b22m2，mR,解析几何解答题的解法,考题剖析,（）F(c,0)，则直线l的方程y=xc.设P（x1,y1）,Q(x2,y2)联立得(b22)y22cb2yb2c22b2=0 y1=y2 整理得：,返回目录,解析几何解答题的解法,b20且c22=b2 b2=7所求的双曲线方程为,考题剖析,返回目录,点评 由于直
13、线与双曲线恒有公共点，可以列出关于字母b的一个不等式（判别式），从而可以求出双曲线离心率的取值范围，解决第二问的关键是用好 这个条件.,解析几何解答题的解法,考题剖析,返回目录,4.（2007湖北省十一校）在直角坐标平面中，ABC的两个顶点为 A（0，1），B（0,1）平面内两点G、M同时满足=0,（1）求顶点C的轨迹E的方程；（2）设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为（,0），已知=0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.,解析几何解答题的解法,考题剖析,返回目录,解析（1）设C(x,y)，由知,G为ABC的重心，由知M是ABC的外心，M在x轴上由知M（，0），由 得 化简整理得
14、：y2=1（x0）,解析几何解答题的解法,考题剖析,返回目录,（2）F（，0）恰为 y2=1的右焦点设PQ的斜率为k且k0，则直线PQ的方程为y=k(x)由 设P(x1,y1)，Q(x2,y2)则x1x2=则|PQ|=,解析几何解答题的解法,RNPQ,把k换成 S=|PQ|RN|S 2，(当k=1时取等号).又当k不存在或k=0时S=2综上可得 S2,Smax=2，Smin=,考题剖析,返回目录,点评求轨迹方程的实质就是求动点P(x,y)的坐标x,y间的一个直接关系，所以求轨迹方程问题的关键就是设点，列出动点P所满足的条件，对于含有向量的，首先要将向量坐标化，最值问题的处理要有函数的思想，即怎
15、么表示出要求最值的变量，也就是要将函数关系式列出来，再利用函数方面的知识进行求最值.,解析几何解答题的解法,5.(2007韶关摸底考试）已知椭圆方程为，射线y=2x(x0)与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）.（）求证:直线AB的斜率kAB=2;（）求AMB面积的最大值.,考题剖析,返回目录,解析（）斜率 k存在，不妨设k 0，求出M（1，2）.直线MA方程为y2=k(x1)，直线 MB方程 y2=k(x1)分别与椭圆方程联立，可解出 kAB=2,解析几何解答题的解法,考题剖析,返回目录,（）设直线AB方程为y=2xm，与x2=2联立，消去y得8x2
16、4mx(m28)=0.由0得4m4，且m0，点M到 AB的距离为d=设MAB的面积为S.当m=2 时，得Smax=2.,点评 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、直线与方程的位置关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考察推理及运算能力.,解析几何解答题的解法,6.（2007江苏省南通市四星级高中）飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6 km,C在B的北偏东30，相距4 km,P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4 s后，B、C两个救援中心才
17、同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1 km/s.（1）求A、C两个救援中心的距离；（2）求在A处发现P的方向角；（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论.,考题剖析,返回目录,解析几何解答题的解法,考题剖析,返回目录,解析（1）以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(3，0)，C(5，2),km即A、C两个救援中心的距离为 km,（2）|PC|=|PB|，P在BC线段的垂直平分线上 又|PB|PA|=4，P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且|AB|=6双曲线方程为=1(x0),BC的垂直平分线的
18、方程为x y7=0联立两方程解得：x=8P(8，5)，kPA=tanPAB=PAB120,所以P点在A点的北偏西30处,解析几何解答题的解法,（3）如图，设|PQ|=h，|PB|=x，|PA|=y|QB|QA|=又|QB|QA|PB|PA|即A、B收到信号的时间差变小.,考题剖析,返回目录,点评本题是一个以实际意义为背景的解析几何的问题，涉及到求轨迹、不等式问题的处理，特别是在求轨迹时，要灵活地建立坐标系.,解析几何解答题的解法,考题剖析,返回目录,7.（2007上海市宝山区）已知抛物线C：y2=2px(p0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1.（1）求抛物线C的方程；（2）若过焦点F
19、的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积 后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”.,解析几何解答题的解法,现有正确命题：过点A(,0)的直线交抛物线C：y2=2px(p0)于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F.试给出上述命题的“
20、逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.,考题剖析,返回目录,解析（1）y2=4x,（2）设N(,t)（t0），则M(t2,2t)，F(1,0).因为M、F、N共线，则有kFM=kNF，所以，解得t=，所以k=因而，直线MN的方程是y=2(x1).,解析几何解答题的解法,（3）“逆向问题”一：已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(,0).,考题剖析,返回目录,证明：设过F的直线为y=k(x)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则R(x1,y1)由 得k2x2(pk22p)x p2k2=0，所以x1
21、x2=，所以直线RQ必过焦点A.,解析几何解答题的解法,过点A(,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴.已知抛物线C：y2=2px(p0)，过点B(m,0)（m0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(m,0).“逆向问题”二：已知椭圆C：=1的焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(,0).,考题剖析,返回目录,解析几何解答题的解法,“逆向问题”三：已知双曲线C：=1的焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交双曲线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(,0).,考题剖析,返回目录,点评现在学习越来越主张自主学习，创新学习，本题是一个开放性十足的题，首先题目给出了“逆向”问题这个概念，要求在自学的基础上进行解答.要求在平时就注意这方面的问题.,解析几何解答题的解法,
