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1、曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹.,曲面方程的定义：,8.3 空间曲面和曲线,8.3.1 空间曲面方程,(2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程；,(1)曲面上任一点的坐标都满足方程；,如果曲面 与三元方程 有下述关系：,而曲面 S 称为方程的图形.,那么,方程 就称为曲面S 的方程,解,由题意，有,所求方程为,特别地,球心在原点的球面方程为,即,设 是球面上任一点，,例1 建立球心在点 半径为 R,的球面方程.,球面的一般方程为,经配方,可化为球面的标准方程.,例如,配方后得,例如,与,分别表示上、下半球面.,定义,绕其平面上的一条直线,这条定直线叫旋转曲面的轴.,此曲线称母线.,称为旋转曲
2、面.,旋转一周所成的曲面,为方便,常把曲线所在,一条平面曲线,母线,轴,作坐标轴.,平面取作坐标面,旋转轴取,将 代入,得所求方程为,现求 yOz 坐标面上的已知曲线,绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.,(2)点 M到 z轴的距离,xOz 坐标面上的已知曲线,绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程为,绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为,同理：yOz 坐标面上的已知曲线,解,圆锥面方程,所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为,圆锥面的顶点,两直线的夹角,圆锥面的半顶角.,称为,试建立顶点在坐标原点O,旋,半顶角为 的,圆锥面的方程.,转轴为z轴,面上直线方程为,例2 直线 L绕另一条与 L相交的直线
3、旋转一周,圆锥面的方程也可写成,圆锥面的几种常用形式,与,分别表示开口朝上与朝下的半锥面.,旋转椭球面,旋转抛物面,例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程,(1)yoz面上的椭圆 绕y 轴和z 轴;,(2)yoz 面上的抛物线 绕z 轴;,绕y 轴旋转,绕z 轴旋转,定义,平行于定直线并沿定曲线C,这条定曲线C 称为柱面的准线,动直线L 称为柱面的母线.,所形成的曲面称为柱面.,移动的直线L,准线,母线,柱面举例,抛物柱面,平面,从柱面方程看柱面的特征：,(其他类推),在空间直角坐标系中表示平行于z 轴的柱面,其准线为xOy面上的曲线C.,椭球面,三元二次方程所表示的曲面
4、称为二次曲面,(与 同号),椭圆抛物面,特殊地:当 时,方程变为,旋转抛物面,分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面.,例如,与,(与 同号),双曲抛物面(马鞍面),设,图形如下：,单叶双曲面,双叶双曲面,空间曲线的一般方程,空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.,特点:曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能,同时满足两个方程.,8.3.2 空间曲线方程,例4 方程组 表示怎样的曲线?,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆,C,例5 方程组 表示怎样的曲线?,解,上半球面(如图),圆柱面(如图),交线为蓝色部分(如图),称为空间曲线的参数方程,随着参数的变化可得到曲线上
5、的,就得到曲线上的一个点,全部点.,动点从A点出发,螺旋线的参数方程,取时间t为参数,解,经过t时间,运动到M点.,那末点M 构,成的图形称为螺旋线.,试建立其参数方程.,M在xOy面的投影,轴的正方向上升,例6 如果空间一点M 在圆柱面,上以,角速度绕z 轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z,消去变量z 后得：,曲线关于xOy的投影柱面.,设空间曲线C的一般方程：,投影柱面的特征：,此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、,C,母线垂直于所投影的坐标面.,类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上的投影.,yOz面上的投影曲线,xOz面上的投影曲线,空间曲线在xOy 面上的投影曲线(或称投影),(即为曲线关于xOy面的投影柱面),(即为xOy 面),C,(即为投影柱面与xOy 面的交线),解 交线方程为,消去z 得投影柱面,的交线关于xOy面的投影柱面和,在xOy面上的投影曲线方程.,例7 求椭圆抛物面 与抛物柱面,例8 设一立体,由上半球面,解 半球面和锥面的交线为,的投影.,和锥面 所围成,求它在 xOy 面上,
