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1、1,线性代数与解析几何,第二十七讲,哈工大数学系代数与几何教研室,王 宝 玲,第八章 二次型与二次曲面,8.4 空间中的曲面 与曲线,2,可适当选择坐标系，使旋转曲面的母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴.,旋转曲面,旋转曲面:,平面曲线C绕同平面定直线L旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面.,母线:平面曲线C.,旋转轴:定直线L,曲线C:,C,绕 z轴,C,绕 z轴旋转一周得旋转曲面 S.,C,S,M(x,y,z),N,P,y,z,o,f(y1,z1)=0,.,旋转曲面的特点:,母线 C:,S:C中轴坐标(z)不变,用另2个变量的平方和的正负算术平方根代替方程中的另1个变量.,反过来,方程中若有两个变量
2、以平方和形式出现,这个方程的图形一般是旋转曲面.,几种常用的旋转曲面:,旋转曲面名称与母线名称对应.,7,(1)旋转椭球面:,椭圆,a,(2)旋转双叶双曲面:,x,0,绕 x 轴旋转一周.,双曲线,a,x,0,得旋转双叶双曲面,a,(3)旋转单叶双曲面:,a,绕 y 轴旋转一周.,双曲线,0,a,得旋转单叶双曲面,12,(4)旋转抛物面:,抛物线,绕 z 轴旋转一周.,o,o,.,y,.,o,x,z,生活中见过这个曲面吗？,.,得旋转抛物面,卫星接收装置,.,(5)圆锥面:,直线,绕 x 轴旋转一周.,得旋转锥面,球面、旋转曲面、柱面,A(x2+y2+z2)+B x+Cy+Dz+F=0,x2+
3、y2=2pz,x2+y2=k2 z2,y2=2px,空间曲线,1.空间曲线的一般式方程(交面式),不唯一,例1 方程组,表示怎样的曲线.,例2 方程组,表示怎样的曲线.,20,例3 螺旋线:圆柱面,点P在圆柱面上以角速度绕z轴旋转；同时,又在平行于z轴的方向以匀速v沿母线上升.其轨迹就是螺旋线,求螺旋线的方程.,2.空间曲线的参数式方程,P,a,x=y=z=,acost,vt,M(x,y,z),asint,t,M,螺线从点PQ,当 t 从 02/，,称为螺距.,N,.,Q,解,3.空间曲线C在平面上的投影,以空间曲线C为准线,母线垂直于的柱面与的交线称为C在上的投影.,在xOy面上的投影.,(
4、1)求,f(x,y)=0(柱面),(2),若取为坐标面,可求C在坐标面上的投影.,的交线,由,解,得交线L：,例4,1,.,1,L,.,.,.,交线 L：,.,投影柱面,1,1,二次曲面:由三元二次方程,8.5 二次曲面,前面讲过的球面,柱面,旋转曲面等,都是特殊的二次曲面.本节讨论其它几种常见的二次曲面.,表示的曲面称为二次曲面.,27,要想了解曲面的形状一般采用平面截割 法.即用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面,根据截线的形状和变化规律,来推断想象曲面的形状.,本节主要内容,1.标准方程表示的二次曲面;2.二次曲面的一般方程标准化.,当a=b=c时,是半径为a的球面.,8.5.1 椭球面
5、:,(a 0,b 0,c0),当a,b,c中有两个相等时,是一个旋转椭球面.,关于坐标面对称;,|x|a,|y|b,|z|c;,特点:,分别用z=h,y=h,x=h去截曲面得截线为椭圆:,由方程,确定的曲面称为椭球面.,a,b,c,用平面截割法可以得到该曲面形状.,8.5.2 单叶双曲面:,(a 0,b 0,c0),(1)用z=h 截曲面得截线为椭圆:,由方程,确定的曲面称为单叶双曲面.,特点:,平方项的系数一个取负号,两个取正号.,(2)用y=h 截曲面得截线为,|h|b:,双曲线-实轴x轴,|h|=b:,两相交直线,|h|b:,双曲线-实轴z轴,(3)用x=h 截曲面,得类似的截线.,x,
6、y,z,确定的曲面称为双叶双曲面.,双叶双曲面:,(a 0,b 0,c0),由方程,用平面截割法可以得到该曲面形状.,特点:,平方项的系数一个取正号,两个取负号.,双叶双曲面,x,y,z,c,用平面截割法可以得到该曲面形状.,椭圆抛物面:,由方程,同号,确定的曲面称为椭圆抛物面.,椭圆抛物面,用平面截割法可以得到该曲面形状.,双曲抛物面(马鞍面),由方程,确定的曲面称为双曲抛物面.,同号,特点:,异号的平方项,另一个变量是一次项,无常数项.,用 z=h 截曲面,hp 0:,双曲线-实轴x轴,h=0:,-两相交直线,hp 0:,双曲线-实轴y轴,用y=h截曲面,用x=h截曲面,抛物线开口向上zOx面,抛物线开口向下yOz面,用z=a 截曲面,用y=0 截曲面,用x=b 截曲面,.,用z=a 截曲面,用y=0 截曲面,用x=b 截曲面,用z=a 截曲面,用y=0 截曲面,用x=b 截曲面,用平面截割法可以得到该曲面形状.,8.5.6 二次锥面,由方程,确定的曲面称为二次锥面.,(a 0,b 0,c0),特点:,方程为二次齐次方程,平方项的系数两个取正号,一个取负号.,二次锥面,43,预习完 8.5.6 及 习题八,祝大家圣诞快乐！,
