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1、第3章 晶格振动与晶体的热学性质,3-1 一维单原子链模型3-2 一维双原子链模型3-3 确定晶格振动谱的实验方法3-4 晶体热容的量子理论3-5 非谐作用产生的晶体热学性质,掌握了解,3-1 一维单原子链模型,一维单原子链模型格波及其色散关系简约布里渊区长波极限下的格波声子,3-1 一维单原子链模型,一维单原子链：最简单的晶格模型晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 格波格波的研究方法：计算原子之间的相互作用力根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程 一维单原子链模型：平衡时相邻原子间距为a（即原胞体积为a）原子质量为m原子限制在沿链方向运动原子n离开平衡位置位移n原子n和原子n+1间相对
2、位移,3-1 原子作用力的处理：简谐近似,忽略高阶项，简谐近似考虑原子振动，相邻原子间相互作用势能相邻原子间作用力只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力第n个原子的运动方程,3-1 格波的物理意义,上式的解（原子振动位移）具有平面波的形式naq是第n个原子的振动位相因子A是原子振动振幅，为常数是格波的角频率，为常数；q是格波的波数和q满足以下的色散关系连续介质中的波（如声波）可表示为，则可看出格波和连续介质波具有完全类似的形式一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动aq取值任意加减2的整数倍对所有原子的振动没有影响，所以可将波数q取值限制为,3-1 简约布里渊区,aq取值任意加减2的整
3、数倍对所有原子的振动没有影响红线：q=/2a绿线：q=5/2a将波数q取值限制为即波数q取值在简约布里渊区（第一布里渊区）中第一章内容：简约布里渊区内的全部波矢代表了晶体中所有的状态，区外的波矢都可通过平移倒格矢在该区内找到等价状态点；讨论固体性质时，可以只考虑第一布里渊区。,3-1 边界条件,一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述但如果用与其它原子不同的运动方程描述两端的少数原子，则会导致相互联立的方程求解更加复杂采用玻恩卡曼周期性边界条件避免这种情况含义：原子链首尾的振动情况必须复
4、原玻恩卡曼周期性边界条件限制波数在简约布里渊区内取均匀分布的N个分立值,3-1 格波的色散关系,取正值，则有频率是波数的偶函数色散关系曲线具有周期性，仅取简约布里渊区的结果即可由正弦函数的性质可知，只有满足的格波才能在一维单原子链晶体中传播，其它频率的格波将被强烈衰减,3-1 格波取值的长波极限,长波极限情况一维单原子格波相当于波速为的连续介质波相邻两个原子之间的位相差趋于0，晶体内所有原子振动情况相同,3-1 声子,晶格振动 可通过引入简正坐标进行量子化处理，其结论可用“声子”描述振动能量的本征值为，其中为nq声子数声子含义：晶格振动（格波）的能量量子声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用
5、声子具有能量、动量，看作是“准粒子”晶格振动的问题转化为声子系统问题的研究,20赫兹-20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波,声子,能量(eV),1,100,10000,0.01,0.1,3-2 一维双原子链模型,一维双原子链模型声学波与光学波声学波与光学波的长波极限长光学波的特性,3-2 一维双原子链模型,两种原子m和M(M m)构成一维复式格子M原子位于2n-1,2n+1,2n+3 m原子位于2n,2n+2,2n+4晶格常数、同种原子间的距离：2a第2n+1个M原子的方程第2n个m原子的方程解也具有平面波的形式两种原子振动的振幅（m取A，M取B）一般来说是不同的,3-2 声学波与光学
6、波,色散关系有不同的两种即一维复式晶格中存在两种独立的格波：声学波（频率较低）光学波（频率较高）命名主要根据两种格波在长波极限(q0)的性质,3-2 声学波的长波极限,频率两种原子振幅比值两种原子的振幅和位相趋于一致，运动方式没有差别长声学波代表原胞质心（原胞整体）振动,3-2 光学波的长波极限,频率两种原子振幅比值同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反长光学波代表原胞质心保持不变的振动，原胞中不同原子做相对运动,3-2 长光学波的特性,长声学波的频率正比于波数，相当于把一维原子链看做连续介质时的弹性波，类似于声波长光学波代表晶格的高频振动，实际晶体中在10131014Hz，对应于远红外光波电
7、磁波只与波数相同的格波发生相互作用长声学波的频率太低，无法与电磁波作用长光学波可与远红外光作用离子晶体中光学波的共振能引起对远红外光的强烈吸收，可应用于红外光谱学,3-3 确定晶格振动谱的实验方法,中子的非弹性散射可见光的非弹性散射拉曼光谱X射线的非弹性散射,3-3 确定晶格振动谱的实验方法,晶格振动谱可以利用中子、可见光光子或X光光子受晶格的非弹性散射来测定。中子（或光子）与晶格的相互作用即中子（或光子）与晶体中声子的相互作用。中子（或光子）受声子的非弹性散射表现为中子吸收或发射声子的过程。以下只讨论单声子过程。,3-3 中子的非弹性散射,中子的非弹性散射是确定晶格振动谱最有效的实验方法中子
8、经晶格散射后，能量（德布罗意波频率）和动量（德布罗意波数）发生变化，分别满足能量守恒和准动量守恒“+”：吸收声子的散射过程；“-”：发射声子散射过程准动量守恒：晶格周期性的平移对称性不如空间均匀性高，所以发生在晶格中的中子散射的变换规则不如动量守恒严格，允许相差，其中Gn为某一倒格子矢量。慢中子的能量：0.020.04 eV，与声子的能量同数量级；中子的德布罗意波长：2310-10 m（23），与晶格常数同数量级；可直接准确地给出晶格振动谱的信息局限性：不适用于原子核对中子有强俘获能力的情况,3-3 典型晶格振动谱,Pb,Cu,3-3 典型晶格振动谱,Si,GaAs,3-3 典型晶格振动谱,金
9、刚石,NaI,3-3 可见光的非弹性散射,发射或吸收光学声子的散射称为拉曼散射发射或吸收声学声子的散射称为布里渊散射入射光和散射光遵循能量守恒和准动量守恒拉曼散射：入射光感应产生的偶极矩将向空间辐射电磁波，形成散射光；而偶极矩会被晶格振动所调制，从而导致频率改变的非弹性散射C.V.Rman(1888-1970),印度物理学家，因研究光的散射并发现拉曼效应获得1930年诺贝尔物理学奖,3-3 各种光散射现象的比较,Rayleigh散射：弹性散射光的频率不发生变化Raman散射：入射光与晶格振动的光学波相互作用，导致非弹性散射光的频率改变Stokes散射：原子内部的无辐射跃迁导致散射光频率减小An
10、ti-Stokes散射：原子内部的热激发导致散射光频率增加Brillouin散射：晶格振动的声学波使晶体的折射率n发生周期性变化，从而使入射光发生非弹性散射,3-3 X射线的非弹性散射,X光光子的波长约为10-8 cm的数量级，其波矢与整个布里渊区的范围相当，原则上说，用X光的非弹性散射可以研究整个晶格振动谱。缺点：一个典型X光光子的能量约为104 eV，一个典型声子的能量约为10-2 eV。一个X光光子吸收（或发射）一个声子而发生非弹性散射时，X光光子能量的相对变化为10-6，在实验上要分辨这么小的能量改变是非常困难的。相比较而言，可见光的能量约为1eV，采用拉曼散射能量的相对变化为10-2
11、，有利于降低误差。,3-4 晶体热容的量子理论,晶体热容的经典理论晶体热容的量子理论爱因斯坦模型德拜模型,3-4 晶体热容的经典理论,固体定容热容的定义，其中为固体的平均内能固体内能包括晶格振动的能量和电子热运动的能量温度不是太低的情况，电子对比热的贡献很小，可忽略根据实验结果，只考虑晶格振动对比热的贡献，有经典理论（杜隆珀替定律）：一个简谐振动平均能量为 kBTN个原子总的平均能量为热容高温时与实验很好符合实验表明在低温时，热容量随温度迅速趋于零，无法解释！,3-4 晶体热容的量子理论,单个振动模的振动能量量子化子系处于量子态 nj 的概率单个振动模的平均能量单个振动模的热容,3-4 晶体热
12、容的量子理论,对于高温极限状况，与经典理论符合对于低温极限状况，与实验结果相符合量子理论表明，晶体热容与晶格振动频率和温度有关系,3-4 爱因斯坦模型,爱因斯坦模型的晶格振动假设方案：N个原子构成的晶体，各原子的振动视作相互独立所有的原子以相同的频率0振动（忽略了各格波频率差别）每个原子可沿三个方向振动，共有3N个频率0的振动直接得到能够反映出温度下降时热容变化的趋势（右图：金刚石）局限：低温时随温度呈指数下降与三次方关系不符,3-4 德拜模型,德拜模型的晶格振动假设方案：以连续介质的弹性波来代表格波，即 q格波包含有1个纵波和2个独立的横波三种格波的波矢 q 在倒易空间均匀（准连续）分布假设
13、晶体中只存在小于某一m的长波以保证结果收敛得到定义德拜温度，并令有,3-4 德拜模型,高温极限下晶体总的热容低温极限下晶体总的热容均与实验结果符合温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好，因为温度很低时，主要的只有长波格波的激发，而对于长波，晶格可被看作是连续介质，这正是德拜模型的假设之一局限：实验表明德拜温度随温度变化而改变，对同一种材料并不是一个常数,3-5 非谐作用产生的晶体热学性质,晶体的热膨胀晶体的热传导,3-5 晶体的热膨胀,讨论晶格振动时，用到了简谐近似，忽略了势能表达式中三次及以上的高次项（又称非谐作用）如果考虑非谐作用：温度从T1升高到T2，原子能量上升，晶格振动增强0，V斜率较
14、小，吸引力较弱振动平衡位置改变，向右移动原子间距增加，晶体体积增大非谐作用使得原子在振动时会产生一定的相互排斥力，从而引起热膨胀现象,3-5 晶体的热传导,绝缘体和半导体中的热传导主要依靠声子来完成借助气体导热相关理论，将晶格热运动系统看成“声子”气体导热过程固体中存在温度梯度时，“声子气体”的密度分布是不均匀的，温度较高的区域将有产生较多的振动模式和具有较大的振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子”密度高这些声子通过和晶体中其它声子发生碰撞，总体上呈现出声子由高密度区域向低密度区域定向移动的结果，即热流在晶体中传导按照简谐近似，不同格波之间是独立的，不存在声子碰撞，也就没有热流的产生声子碰撞即格波能量交换是也是非谐作用的结果,
