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1、第六章 样本及抽样分布,第一节 总体和样本 第二节 抽样分布第三节 正态总体的样本均值与样本方差的分布本章知识点小结习题,第一节总体和样本,数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性作出合理的估计和判断。,概率论所研究的随机变量，其分布都是假设已知的，在这个前提下研究其性质、特点和规律性。数理统计所研究的随机变量，其分布是未知或不完全知道的。需要通过独立重复的观察并对观察数据进行分析，来推断其分布。,概率论与数理统计的区别：,在数理统计中，不是对所研究的对象全体(称为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)
2、进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.,数理统计方法具有“部分推断整体”的特征.,数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研究的问题,尽可能地作出精确可靠的结论.,对随机试验的某一数量指标进行试验或观察：,1.总体,试验的全部可能的观察值称为总体,总体中所包含的个体的个数称为总体的容量,每一个可能观察值称为个体,总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量X 的值一个总体对应一个随机变量X不再区分总体和相应的随机变量，统称为总体XX 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征,例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿
3、命。那么，此总体就可以用随机变量X表示。,总体分布一般是未知，或只知道是包含未知参数的分布。为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”。所抽取的部分个体称为样本。样本中所包含的个体数目称为样本容量。,2.样本,一旦取定一组样本X1,Xn,得到n个具体的数(x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.,n称为这个样本的容量.,最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”，其特点：,1.代表性：X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.,2.独立性：X1,X2,Xn是相互独立的随机变量.,例如：考察某大学一年级
4、2000名男生的身高总体：2000名男生身高的所有可能值。等价于某个随机变量X。样本：例如抽取10名男生，则这10名男生的身高可能值为一个样本。可表示为随机变量X1,X10。样本值：这10名男生的身高测量值,记为x1,x10。注意：事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值。我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量。,3.总体、样本、样本值的关系,统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.,样本是联系二者的桥梁,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1
5、,X2,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.,=F(x1)F(x2)F(xn),若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为,其简单随机样本的联合概率密度函数为,=f(x1)f(x2)f(xn),例：,解:,课堂练习：,解:,第二节抽样分布,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.,1.统计量,这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.,一、统计量与经验分布函数,定义,请注意:,几个常见统计量,样本平均值,它反映了总体均值的信
6、息,样本方差,它反映了总体方差的信息,样本标准差,它反映了总体k 阶矩的信息,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,k=1,2,它反映了总体k 阶中心矩的信息,统计量的观察值,仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本 k 阶（原点）矩以及样本 k 阶中心矩。,统计量的一些性质：,矩估计法的理论根据,例：,解：,课堂练习：,解：,2.经验分布函数,二、正态总体的三个常用抽样分布,统计量的分布称为抽样分布总体分布已知时，抽样分布虽然是确定的，但一般来说难以求得正态总体的三个常用抽样分布：2 分布t 分布F 分布,记为,分布,1、,定义:设 相互独立,都服从正态分布N(0,1),则称随机变量：所服从
7、的分布为自由度为 n 的 分布.,分布是由正态分布派生出来的一种分布.,分布的密度函数为,来定义.,其中伽玛函数 通过积分,注：,2设 且X1,X2相互独立，,1.设 相互独立,都服从正态分布,则,这个性质叫 分布的可加性.,例:,解:,定义:设XN(0,1),Y,且X与Y相互独立，则称变量,所服从的分布为自由度为 n的 t 分布，记为Tt(n)。t 分布又称为学生氏分布，它的概率密度函数为：,2、t 分布,定义:设 U 与V 相互独立，则称随机变量,服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作FF(n1,n2)。,3、F分布,其概率密度为,F分布的分位点,
8、F分布的性质,第三节正态总体的样本均值与样本方差的分布,定理 1(样本均值的分布),n取不同值时样本均值 的分布,定理 2(样本方差的分布),n取不同值时 的分布见右图,定理 3(样本均值方差比的分布),定理 4(两总体样本均值差、样本方差比的分布),分别是,例1：,解,例2,解,本章知识点小结,常用的统计量,样本平均值,样本方差,样本标准差,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,经验分布函数,样本的联合概率密度函数（连续型）或联合分布律（离散型）,抽样分布,t 分布,F分布,1.设 相互独立,都服从正态分布,则,这个性质叫 分布的可加性.,2设 且X1,X2相互独立，,样本均值和方差的性质,抽样分布定理,习题,解1:,解2:,
