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1、概率论与数理统计复习,随机事件及其概率,一、主要内容：1、随机事件的定义、关系及其运算2、随机事件概率的定义（统计定义、古典概型定义）3、随机事件概率的计算 注意利用：(1)、概率的加法公式(2)、概率的性质(3)、条件概率公式(4)、乘法公式(5)、全概率公式(6)、贝叶斯公式(7)、相互独立事件的概率计算公式,二.应记忆的公式德莫根律 加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式 相互独立事件的概率计算公式,三.例题分析,解,例1,将3个球随机地放入4个盒子中，求任意一个盒子有3个球的概率.,例2,解,例3,有3只盒子，甲盒中装有2支红钢笔，4支蓝钢笔，乙盒中装有4支红钢笔，2支蓝钢笔
2、，丙盒中装有3支红钢笔，3支蓝钢笔，今从中任取一支，设到3只盒中取物的机会相同，求取出的钢笔是红钢笔的概率。,解,设 A 表示取到的一支钢笔为红色笔，Bi 分别表示在甲、乙、丙盒中取钢笔，i=1，2，3,则 P(Bi）=1/3，,则由全概率公式,社会调查把居民按收入分为高、中、低三类调查结果是这三类居民分别占总户数的10%，60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数在这三类居民中分别为100%，60%，5%1.求存款在一万元以上的户数在全体居民中的比率。2.若已知某户的存款在一万元以上，求该户属中等收入家庭的概率.,例4,1.由全概率公式知,2.由贝叶斯公式知,设 Ai 分别表示“高、中、低
3、收入家庭”的事件(i=1，2，3);B 表示“存款在一万元以上的户数”,解,随机变量及其分布,一、主要内容(一)一维随机变量及其分布 1.随机变量的分布函数及其性质 2.离散型随机变量及其分布函数 3.常见离散型随机变量及其分布律(1)两点分布(2)二项分布(3)泊松分布 4.连续型随机变量及其分布函数,5.常见连续型随机变量及其分布密度(1)均匀分布(2)正态分布(3)指数分布(二)二维随机变量及其分布 1.二维随机变量的定义 2.二维随机变量的分布函数 3.二维离散型随机变量及其分布律 4.二维连续型随机变量的分布密度 5.边缘分布,6.随机变量的独立性,7.随机变量简单函数的分布1)一维
4、随机变量函数的分布2)二维随机变量函数的分布二、应记忆的公式(1)(2)计算公式:离散型 连续型,(5)正态分布概率的计算公式,(4)常见随机变量的分布律或分布密度,三、例题分析,例1,从一批产品包括10件正品,3件次品中重复抽取,每次取1件直到取得正品为止，若每件产品被抽到的机会相同,求抽取次数 X 的分布律.,P(X=1)=10/13,P(X=2)=(3/13)*(10/12)=5/26P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143P(X=4)=(3/13)*(2/12)*(1/11)*(10/10)=1/286故 X 的分布律为,解,例2,解,设随机变量 X 的分布
5、函数为求:（1）A 的值；（2）X 落在（0.2,0.6）内的概率；（3）X 的密度函数 f（x）.,例3,解,设随机变量 X 的分布律为,求 Y=X 2 的分布律.,由 X 的分布律有 Y 取值为 4,1,0,9PY=0=PX=0=1/5PY=1=PX=-1+PX=1=1/6+1/15=7/30PY=4=PX=2+PX=-2=0+1/5=1/5PY=9=PX=3+PX=-3=11/30+0=11/30,故 Y 的分布律为,例4 设随机变量 X 的分布密度为,试求X 的分布函数 F(x).,解,当 x 0 时，,例4,解,查表得 c/2=1.96，即 c=3.92.,例5,解,（X，Y）的联合
6、分布律为,求（1）X 的边缘密度；（2）Y 的边缘密度.,解,例6,随机变量的数字特征,一、主要内容 1.随机变量的数学期望 2.随机变量函数的数学期望 3.数学期望的性质 4.随机变量的方差 5.随机变量函数的方差 6.随机变量方差的性质,二、应记忆的公式 1.随机变量的数学期望和方差的计算公式；2.随机变量函数的数学期望和方差的计算公式；3.常见7种随机变量的数学期望及方差（1）两点分布（2）二项分布（3）泊松分布（4）均匀分布（5）正态分布（6）指数分布,三、例题分析,例1,设随机变量 X 的分布律为,求 E(X)，E(3X 2+5).,解,或,例2,设随机变量 X 的概率密度为,解,求
7、 Y=2X 的数学期望.,数理统计的基本概念与抽样分布,一、主要内容 1.总体和样本 2.样本的分布 3.统计量和样本矩（样本均值，样本方 差，样本的原点矩和中心矩）4.经验分布函数 5.三大分布的定义及其性质,二、典型例题,例1,设总体 X 的数学期望为E(X)8，方差为D(X)2，X1,Xn 为来自 X 的样本,则,8,2/n,2,例2,解,由已知，,所以,从而,参数估计,一、主要内容 1参数点估计的概念，求点估计的两种 方法：矩估计和极大似然估计方法；2估计量的评选标准：无偏性、有效 性、一致性；3.正态总体的均值与方差的置信区间.,二、典型例题,例1,设总体的概率密度为,解,(2)似然函数为,某厂从当天生产的产品中随机抽取10 个进行寿命测试，得数据如下：1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200设产品寿命服从正态分布，求当天生产的全部产品的平均寿命 的置信水平为0.95 的置信区间.,例2,解,故置信区间为,
