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1、第五章 信号处理初步 测试的基本任务是获取有用的信息。测试信号中既含有有用信息，也含有大量干扰噪声。信号处理的任务对信号施加适当的加工变换，滤除干扰噪声，提取有用信息。信号分析研究信号的构成和特征值；信号处理信号经过必要的加工变换，以期获得有用信息的过程。信号分析对信号本身的结构没有影响，而信号处理则有可能改变信号本身的结构。模拟信号处理系统、数字信号处理系统来实现模拟信号处理，系统由实现模拟运算功能的电路组成。数字信号处理系统由微型计算机和相关软件组成。信号处理内容很丰富，但本章只能介绍其中的二、三个问题。,第一节 数字信号处理的基本步骤第二节 信号数字化出现的问题第三节 相关分析及其应用第
2、四节 功率谱分析及其应用第五节 现代信号分析方法简介,第一节 数字信号处理的基本步骤,数字信号处理器或计算机对离散的时间序列进行运算处理。计算机只能处理有限长度的数据，所以首先要把长时间的序列截断，对截取的数字序列有时还要人为地进行加权(乘以窗函数)以成为新的有限长的序列。对数据中的奇异点(由于强干扰或信号丢失引起的数据突变)应予以剔除。对温漂、时漂等系统性干扰所引起的趋势项(周期大于记录长度的频率成分)也应予以分离。如有必要，还可以设计专门的程序来进行数字滤波，然后把数据按给定的程序进行运算，完成各种分析。运算结果可以直接显示或打印，若后接D/A，还可得到模拟信号。如有需要可将数字信号处理结
3、果送人后接计算机或通过专门程序再做后续处理。,第二节 信号数字化出现的问题,一、概述,从以上过程看到，原来希望获得模拟信号x(t)的频域函数X(f)，由于输入计算机的数据是序列长为N的离散采样后信号x(t)s(t)w(t)，所以计算机输出的是X(f)p。X(f)p不是X(f)，而是用X(f)p来近似代替X(f)。处理过程中的每一个步骤：采样、截断、DFT计算都会引起失真或误差，必须充分注意。好在工程上不仅关心有无误差，而更重要的是了解误差的具体数值，以及是否能以经济、有效的手段提取足够精确的信息。只要概念清楚，处理得当，就可以利用计算机有效地处理测试信号，完成在模拟信号处理技术中难以完成的工作
4、。,二、时域采样、混叠和采样定理,采样把连续时间信号变成离散时间序列的过程。这一过程相当于在连续时间信号上“摘取”许多离散时刻上的信号瞬时值。在数学处理上，可看作以等时距的单位脉冲序列(称其为采样信号)去乘连续时间信号，各采样点上的瞬时值就变成脉冲序列的强度。以后这些强度值将被量化而成为相应的数值。,TS采样间隔；N序列长度，N=T/TS；fs采样频率，fs=1/TS。,若采样间隔太小(采样频率高)，则对定长的时间记录来说其数字序列就很长，计算工作量迅速增大；如果数字序列长度一定，则只能处理很短的时间历程，可能产生较大的误差。若采样间隔过大(采样频率低)，则可能丢掉有用的信息。,傅立叶变换的卷
5、积定理,注意到原频谱X(f)是f的偶函数，并以f=0为对称轴；现在新频谱X(f)*S(f)又是以fs为周期的周期函数。因此，如有混叠现象出现，从图中可见，混叠必定出现在f=fs/2左右两侧的频率处。有时将fs/2称为折叠频率。可以证明，任何一个大于折叠频率的高频成分f1都将和一个低于折叠频率的低频成分f2相混淆，将高频f1误认为低频f2。相当于以折叠频率f2/2为轴，将f1成分折叠到低频成分f2上，它们之间的关系为：(f1+f2)2=fs/2 这也就是称fs/2为折叠频率的由来。,不产生混叠的条件：a)模拟信号x(t)为带限信号b)奈魁斯特采样定理 通常fs=（34）fc,二、量化和量化误差,
6、量化用有限个允许值近似地代替精确值。量化方法：截尾、舍入截尾将二进制数的多余位舍掉。舍入是将二进制数的多余位舍去或舍去后且在最低有效位上加l，这与十进制中的四舍五入法相似。信号x(t)可能出现的最大值为A，量化单位为当信号x(t)落在某一小间隔内，经过舍入方法而变为有限值时，将会产生量化误差e(n)量化误差的最大值为2，可以认为量化误差在(-2，2)区间各点出现的概率是相等的，其概率密度为1，均值为零。求得其标准差:s=0.29显然，量化单位愈大，则量化误差愈大。对信号采集时，量化增量的大小与AD转换器位数有关。如：8位的AD转换器最大为AD转换器允许的工作电压幅值的1256。,三、截断、泄漏
7、和窗函数,信号数字化处理时，需要截断原始信号。从原理上讲，截断就是将无限长的原始信号乘以时域有限宽的窗函数。,根据傅里叶变换关系:截断后的频谱为余弦信号的频谱与窗函数频谱的卷积；产生泄漏泄漏由原来的两条谱线，变为一个两段连续谱。这表明原来信号和由其中截取的信号两者的频谱不同了。原来集中在0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了。只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠。减少混叠的方法：（1）增大截断长度T；（2）采用其它的窗函数,窗函数的选择：应考虑被分析信号的性质与处理要求 如要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如分析窄带信号，
8、且有较强的干扰噪声应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；如随时间按指数衰减的函数可采用指数窗来提高信噪比,四、频域采样、时域周期延拓和栅栏效应,经过时域采样和截断后，信号的频谱在频域内还是连续的。如果要使之数字化频率离散化，实行频域采样 频域采样与时域采样相似，在频域中用脉冲序列D(f)乘信号的频谱函数，在时域里，其结果则是将信号平移至各脉冲坐标位置重新构图，从而相当于在时域中将窗内的信号波形在窗外进行周期延拓。对一函数实行采样，即是“摘取”采样点上对应的函数值。其效果有如透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，视为零。这种现象被称为栅栏效应。
9、不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。只不过时域采样如满足采样定理要求，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样的栅栏效应则影响较大，“挡住”或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以致于整个处理失去意义。,五、频率分辨力、整周期截断,频率采样间隙f也是频率分辨力的指标 此间隔越小，频率分辨力越高，被“挡住”的频率成分越少 在利用DFT(离散傅利叶变换)将有限时间序列变换成相应的频谱序列的情况下，f和分析的时间信号长度T的关系是:f=fs/N=1/T(7-14)这种关系是DFT算法固有的特征。这种关系往往加剧频率分辨力和计算工作量的矛盾。根据采样定理，若所感兴趣的最高频率为fh，最
10、低采样频率 fs应大于2fh。提高频率分辨力就必须增加数据点数N，从而 急剧地增加计算工作量。,两条途径:(1)在DFT的基础上，采用“频率细化技术(ZOOM)”，其基本思路是在处理过程中只提高感兴趣的局部频段中的频率分辨力，以此来减少计算工作量。(2)改用其他把时域序列变换成频谱序列的方法 在分析简谐信号的场合下，需要了解某特定频率f0的谱值，希望DFT谱线落在f0上。单纯减小f，并不一定会使谱线落在频率f0上。从DFT的原理来看，谱线落在f0处的条件是：f0f=整数 考虑到f是分析时长T的倒数，简谐信号的周期T0是其频率f0的倒数，因此只有截取的信号长度T正好等于信号周期的整数倍时，才可能
11、使分析谱线落在简谐信号的频率上，才能获得准确的频谱。显然这个结论适用于所有周期信号。,因此，对周期信号实行整周期截断是获取准确频谱的先决条件。从概念来说，DFT把时窗内信号向外周期延拓。若事先按整周期截断信号，则延拓后的信号将和原信号完全吻合，接合处无任何畸变。反之，延拓后将在t=kT交接处出现间断点，波形和频谱都发生畸变。其中k为某个整数。,第三节 相关分析及其应用,在测试技术领域中，无论分析两个随机变量之间的关系，还是分析两个信号或一个信号在一定时移前后之间的关系，都需要应用相关分析。主要内容：相关和相关系数信号的自相关函数信号的互相关函数相关函数的估计,1相关和相关系数,相关当两个随机变
12、量之间具有某种内在关系时，随着某一个变量数值的确定，另一变量却可能取许多不同值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。,相关系数衡量两个随机变量之间相关程度大小的量被称为相关系数。,分析表明，xy1当数据点分布愈接近于一条直线时，xy的绝对值愈接近1，x和y的线性相关程度愈好，将这样的数据回归成直线才愈有意义。xy的正负号则是表示一变量随另一变量的增加而增加或减小。当xy接近于零，则可认为x、y两变量之间完全无关，但仍可能存在着某种非线性的相关关系甚至函数关系。,二、信号的自相关函数,对各态历经随机信号及功率信号可定义自相关函数Rx()为,自相关函数具有的性质,1）由式
13、（514）有,5)周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数，其幅值与原周期信号的幅值有关，而丢失了原信号的相位信息。,例5.1 求正弦函数的自相关函数，初始相角为一随机变量。解:此正弦函数是一个零均值的各态历经随机过程，其各种平均值可以用一个周期内的平均值表示。该正弦函数的自相关函数为,可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在=0时具有最大值，但它不随的增加而衰减至零。它保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了初始相位信息。,图是某一机械加工表面粗糙度的波形，经自相关分析后所得到的自相关图呈现出周期性。这表明造成表面粗糙度的原因中包含有某种周期因素。从自相关图能确定该周期因素的频率，从而可
14、以进一步分析其原因。,三、信号的互相关函数,定义：,互相关函数具有的性质,1）当=0时，Rxy()不一定出现最大值，而在大于零的某处互相关函数出现最大值。2）平稳随机过程的Rxy()是非奇非偶函数。,3）当时，有两种情况。3-1)当两随机信号不含有相同频率的周期成分时，则两随机信号不相关，这时，Rxy()uxuy。3-2)当两随机信号含有相同频率的周期成分时，则两随机信号具有某种程度的相关性，表现为Rxy()具有周期分量，且该分量的频率与当两随机信号所含的周期分量的频率相同。,4)两个均值为零具有相同频率的周期信号，其互相关函数中保留了原两信号的频率、幅值及相位信息。,5)如果随机信号x(t)
15、和y(t)均为几个分量叠加而成则其互相关函数为组成它们各个分量两两之间互相关之和。推论：如果随机信号x(t)为几个分量叠加而成则其自相关函数为组成它们各个分量的自相关及它们两两之间互相关之和。,6）自相关函数的范围,5)例题例5-2 设有两个周期信号x(t)、y(t)由此例可见：两个均值为零且具有相同频率的周期信号，其互相关函数中保留了这两个信号的圆频率、对应的幅值以及相位差值的信息。,例5-3 设有两个周期信号x(t)、y(t),例5-2和例5-3是自相关函数的一个重要特性：简称为：同频相关，不同频不相关相关滤波就是利用这个原理,4)互相关函数的应用 互相关函数可在在噪声背景下提取有用信息的
16、一个非常有效的手段。如果我们对一个线性系统(例如某个部件、结构或某台机床)激振，所测得的振动信号中常常含有大量的噪声干扰。根据线性系统的频率保持性，只有和激振频率相同的成分才可能是由激振而引起的响应，其他成分均是干扰。因此只要将激振信号和所测得的响应信号进行互相关(不必用时移，=0)就可以得到由激振而引起的响应信号幅值和相位差，消除了噪声干扰的影响。这种应用相关分析原理来消除信号中噪声干扰、提取有用信息的处理方法叫做相关滤波。它是利用互相关函数同频相关、不同频不相关的性质来达到滤波效果的。,V=d/d,S=1/2vm,对能量有限信号，有,四、相关函数的估计,使模拟信号不失真地沿时轴平移是一件困
17、难的工作。因此，模拟相关处理技术只适用于几种特定信号(如正弦信号)。在数字信号处理中，信号时序的增减就表示它沿时间轴平移，是一件容易做到的事。所以实际上相关处理都是用数字技术来完成的。对于有限个序列点N的数字信号的相关函数估计，有,第四节 功率谱分析及其应用,时域中的相关分析为在噪声背景下提取有用信息提供了途径。功率谱分析则从频域提供相关技术的信息，它是研究平稳随机过程的重要方法。自功谱密度函数互谱密度函数,一、自功谱密度函数,(1)定义及其物理意义假定x(t)是零均值的随机过程，即ux=0，又假定x(t)中没有周期分量，那么当，Rx()0。这样，自相关函数Rx()可满足傅里叶变换的条件。可得
18、到Rx()的傅里叶变换Sx(f),定义S(f)为x(t)的自功率谱密度函数，简称自谱或自功率谱。由于Sx(f)和Rx()之间是傅里叶变换对的关系，两者是唯一对应的，Sx(f)中包含着Rx()的全部信息。因为Rx()为实偶函数，Sx(f)亦为实偶函数。由此常用在f=(0)范围内Gx(f)=Sx(f)来表示信号的全部功率谱，并把Gx(f)称为x(t)信号的单边功率谱右图。,若=0，根据自相关函数Rx()和自功率谱密度函数Sx(f)的定义，可得到 可见Sx(f)曲线和频率轴所包围的面积就是信号的平均功率，Sx(f)就是信号的功率密度沿频率轴的分布，故称Sx(f)为自功率谱密度函数物理意义,2、巴塞伐
19、尔定理,巴塞伐尔定理在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的信号总能量，这就是巴塞伐尔定理，即 此式又叫做能量等式。这个定理可以用傅里叶变换的卷积公式导出。,3、功率谱的估计,无法按式(531)来计算随机过程的功率谱，只能用有限长度了的样本记录来计算样本功率谱，并以此作为信号功率谱的初步估计值。,对于数字信号，功率谱的初步估计为：也就是对离散的数字信号序列x(n)进行FTT运算，取其模的平方，再除以N(或乘以2N)，便可得信号的功率谱初步估计。这种计算功率谱估计的方法称为周期图法。它也是一种最简单、常用的功率谱估计算法。,可以证明：功率谱的初步估计不是无偏估计，估计的方差为在大多数的应用场
20、合中，如此大的随机误差是无法接受的，这样的估计值自然是不能用的。这也就是上述功率谱估计使用“”符号而不是“”符号的原因。,为了减小随机误差，需要对功率谱估计进行平滑处理。最简单且常用的平滑方法是“分段平均”。这种方法是将原来样本记录长度了总分成q段，每段时长T=T总q。,可见，所分的段数q愈多，估计方差愈小。但是，当原始信号的长度一定时，所分的段数q愈多，则每段的样本记录愈短，频率分辨率会降低，并增大偏度误差。通常应先根据频率分辨率的指标f，选定足够的每段分析长度T，然后根据允许的方差确定分段数q和记录总长T总。为进一步增大平滑效果，可使相邻各段之间重叠，以便在同样T总之下增加段数。实践表明，
21、相邻两段重叠50者效果最佳。谱分析是信号分析与处理的重要内容。周期图法属于经典的谱估计法，是建立在FFT的基础上的，计算效率很高，适用于观测数据较长的场合。这种场合有利于发挥计算效率高的优点又能得到足够的谱估计精度。对短记录数据或瞬变信号，此种谱估计方法无能为力，可以选用其他方法。,4、应用,自功谱密度函数的应用：()更明显地反应出信号的频率结构；()更准确地获得线性系统的幅频特性；()有效地检测出信号中有无周期成分。,()更明显地反应出信号的频率结构,()更准确地获得线性系统的幅频特性,()有效地检测出信号中有无周期成分,周期信号的频谱是脉冲函数，在某特定频率上的能量是无限的。但是在实际处理
22、时，用矩形窗函数对信号进行截断，这相当于在频域用矩形窗函数的频谱sinc函数和周期信号的频谱函数实行卷积，因此截断后的周期函数的频谱已不再是脉冲函数，原来为无限大的谱线高度变成有限长，谱线宽度由无限小变成有一定宽度。所以周期成分在实测的功率谱密度图形中以陡峭有限峰值的形态出现。,二、互谱密度函数,如果互相关函数满足傅立叶变换的条件（无穷区间内绝对可积的条件），则定义 互相关函数是并非偶函数，因此互谱密度函数具有虚、实两部分。同样，互谱密度函数保留了互相关函数中的全部信息。,互谱估计的计算式如下：,互谱估计的计算式如下：,这样得到的初步互谱估计的随机误差太大，不适合应用要求，应进行平滑处理，平滑
23、的方法与功率谱估计相同。,2、应用,对线性系统，可以证明：故从输入的自谱和输入、输出的互谱就可以直接得到系统的频率响应函数。式(544)与式(5-37)不同，所得到的H(f)不仅含有幅频特性而且含有相频特性。这是因为互相关函数中包含有相位信息。,例：,由此可见:利用互谱进行分析将可排除噪声的影响。这是这种分析方法的突出优点。然而应当注意到，利用式(5-48)求线性系统的H(f)时，尽管其中的互谱Sxy(f)可不受噪声的影响，但是输入信号的自谱Sx(f)仍然无法排除输入端测量噪声的影响，从而形成测量的误差。“在线测试”为了测试系统的动特性，有时人们故意给正在运行的系统以特定的已知扰动输入z(t)
24、。从式(5-46)可以看出，只要z(t)和其他各输入量无关，在测量sxy(f)和x(f)后就可以计算得到(f)。这种在被测系统正常运行的同时对它进行测试，称为“在线测试”。,3、相干函数,相干评价系统的输入信号和输出信号之间的因果性，即输出信号的功率谱中有多少是输入量所引起的响应。,相干函数为零，表示输出信号与输入信号不相干当相干函数为1时，表示输出信号与输入信号完全相干，系统不受干扰而且系统是线性的相干函数在01之间，则表明有如下三种可能：)测试中有外界噪声干扰；)输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出；)联系x(t)和y(t)的系统是非线性的。,例5-4 图523是船用柴油机润滑油
25、泵压油管振动和压力脉冲间的相干分析。润滑油泵转速为n=781rmin，油泵齿轮的齿数为z=14。测得油压脉动信号x(t)和压油管振动信号y(t)。压油管压力脉动的基频为f0=182.24Hz。,第五节 现代信号分析方法简介,本节简单介绍一些现代信号分析和处理方法，详细内容请参考有关书籍。一、功率谱估计的现代方法二、时频分析三、统计信号处理,一、功率谱估计的现代方法,1非参数方法(1)多窗口法(MTM)MTM方法是使用多个正交窗口以获取相互独立的谱估计，然后把它们合成为最终的谱估计。这种估计方法比经典非参数谱估计法具有更大的自由度和较高的精度。(2)子空间方法 子空间方法又称为高分辨率方法。这种
26、方法在相关矩阵特征分析或特征分解的基础上，产生信号的频率分量估计。如多重信号分类法(MUSIC)或特征向量法(EV)。此法检测埋藏在噪声中的正弦信号(特别是信噪比低时)是有效的。,2参数方法 参数方法是选择一个接近实际样本的随机过程的模型，在此模型的基础上，从观测数据中估计出模型的参数，进而得到一个较好的谱估计值。此方法与经典功率谱估计方法相比，特别是对短信号，可以获得更高的频率分辨率。参数方法主要包括AR模型、MA模型、AR-MA模型和最小方差功率谱估计等。通过模型分析的方法来做谱估计，预先要解决的是模型的参数估计问题。,二、时频分析 时域分析可以使我们了解信号随时间变化的特征，频域分析体现
27、的是信号随频率变化的特征，二者都不能同时描述信号的时间和频率特征，这时就要用到时频分析。对于工程中存在的非平稳信号，在不同的时刻，信号具有不同的谱特征，时频分析是非常有效的分析方法。时频分析的目的是建立一个时间频率二维函数，要求这个函数不仅能够同时用时间和频率描述信号的能量分布密度，还能够体现信号的其他一些特征量。,1短时傅立叶变换(STVT)短时傅立叶变换的基本思想：把非平稳的长信号划分成若干段小的时间间隔，信号在每一个小的时间间隔内可以近似为平稳信号，用傅立叶变换分析这些信号，就可以得到在那个时间间隔的相对精确的频率描述。短时傅立叶变换的时间间隔划分并不是越细越好，因为划分就相当于加窗，这
28、会降低频率分辨率并引起谱泄漏。由于短时傅立叶变换的基础仍是傅立叶变换，虽能分析非平稳信号，但更适合分析准平稳信号。,2小波变换 小波变换是20世纪80年代中后期发展起来的一门新兴的应用数学分支，近年来已被引入到工程应用领域并得到广泛应用。小波变换具有多分辨特性，通过适当地选择尺度因子和平移因子，可得到一个伸缩窗，只要适当地选择基本小波，就可使小波变换在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分。,3Wigner-Ville分布短时傅立叶变换和小波
29、变换本质上都是线性时频表示，它不能描述信号的瞬时功率谱密度，虽然WignerVille分布也是被直接定义为时间与频率的二维函数，但它是一种双线性变换。igner-Ville分布是最基本的时频分布，由它可以得到许多其他形式的时频分布。,三、统计信号处理 在大多数情况下，信号往往混有随机噪声。由于信号和噪声的随机特性，需要采用统计的方法来分析处理，这就使得数学上的概率统计理论方法在信号处理中得以应用，并演化出统计信号处理这一领域。,统计信号处理涉及如何利用概率模型来描述观测信号和噪声的问题，这种信号和噪声的概率模型往往是信息的函数，而信息则由一组参数构成，这组参数是通过某个优化准则从观测数据中得来
30、的。显然，用这种方法从数据中得到的所需信息的精确程度，取决于所采用的概率模型和优化原理。在统计信号处理中，常用的信号处理模型包括高斯随机过程模型、马尔可夫随机过程模型和稳定分布随机信号模型等。而常用的优化准则包括最小二乘(LS)准则，最小均方(LMS)准则，最大似然(ML)准则和最大后验概率(MAP)准则等。在上述概率模型和优化准则的基础上，出现了许多统计信号处理算法，包括维纳滤波器、卡尔曼滤波器、最大熵谱估计算法和最小均方自适应滤波器等。,思考题,1、数字信号处理的主要内容有哪些？2、测试信号数字化处理的基本步骤有那几步？3、基本概念：采样、采样定理、混叠、截断、加窗、泄漏、量化、量化误差、
31、周期延拓、栅拦效应、频率分辨率、整周期截断、窗函数、相关、相关系数、自相关函数、互相关函数、相干、周期图法、平滑处理、相关滤波等。4、自相关函数的性质及应用？5、互相关函数的性质及应用？6、自功谱密度函数的物理意义及典型应用？7、互功谱密度函数的典型应用？8、同频相关不同频不相关的含义是什么？9、同周期的三角波、方波的自相关及它们之间的互相关函数是什么？10、什么是能谱？能谱与自功谱之间的关系是什么？11、什么是自功谱？自功谱和信号的幅值谱之间的关系什么？12、相关函数和自功谱密度函数的估计方法是什么？13、学会从自相关函数和互相关函数的图形中获取信号的相关信息。,习题5-1、5-2、5-3、5-4、5-7、5-8,
