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1、一元二次方程的应用,1.3,学习目标：1、能运用一元二次方程解决一些简单 的代数问题2、一元二次方程的根的判别式的应用,第一课时,一、建立一元二次方程模型解数与代数问题,例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与 一元一次多项式2x-1的值相等？,例2 当y取什么值时，一元二次多项式(y-5)2+9y2的值等于40？,例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与 一元一次多项式2x-1的值相等？,原方程可以写成 x2-3x-1=0.,这里 a=1，b=-3，c=-1，b2-4ac=(-3)2-41(-1)=9+4=13，,因此,从而 当 或 时，x2-x-2与2x-1的值相等,一
2、、建立一元二次方程模型解数与代数问题,举例,例2 当y取什么值时，一元二次多项式(y-5)2+9y2的值等于40？,原方程可以写成 2y2-2y-3=0.,这里 a=2，b=-2，c=-3，b2-4ac=(-2)2-42(-3)=4+24=28，,因此,从而 当 或 时，(y-5)2+9y2的值等于40,例3 当 t 取什么值时，关于 x 的一元二次方程 x2+(x+t)2=t2+2t-1，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？,一、建立一元二次方程模型解数与代数问题二、一元二次方程的根的判别式的应用,这里 a=2，b=2t，c=t2-2t+1，b2-4ac=
3、(2t)2-42(t2-2t+1)=4t2-8(t2-2t+1)=4t2-4t2+16t-8=16t-8.,（1）当b2-4ac=16t-80，即t 时，原方程有两 个不相等的实数根；,（2）当b2-4ac=16t-8=0，即t=时，原方程有两 个相等的实数根；,（3）当b2-4ac=16t-80，即t 时，原方程没有 实数根.,小结：做此类题的方法：1、分辨未知数和参数。2、判断方程是一元二次方程（a0）还是一元一次方程(a=0,b 0)。3、根据根的情况列式,1.当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-6与一元一次多项式3x-2的值相等？,答：,2.当t取什么值，关于x的一元二次方程 有两
4、个相等的实数根？,答：,P22,作业P27 A 1T 2T B 1T,第二课时,菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？,菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半,举例,例4 一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽 为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成 的菱形，如图1-5所示.菱形的水平方向的对角线 比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积 是护窗正面矩形面积的（1）求菱形的两条对角线的长度；（2）求组成菱形的每一根铁条的长度,图 1-5,分析 本题的等量关系是：菱形的面积=.,菱形两对角线乘积的一半,原方程可以写成 x2+20 x-4800=0，,解:,（1）设菱形的竖直方
5、向的对角线长为x cm，则它的水 平方向的对角线长为(x+20)cm，根据题意，可 以列出方程,这里 a=1，b=20，c=-4800，b2-4ac=202-41(-4800)=400+44800=400(1+48)=40049，,从而 x1=60，x2=-80（不合题意，舍去）,因此,即菱形的竖直方向的对角线长为60 cm，于是它的水平方向的对角线长为80 cm,即组成菱形的每一根铁条的长度为50 cm.,举例,例5 如图1-6，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩 形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方 形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面 积为364 cm2.求截去的小正方形的
6、边长.,图 1-6,分析 本题的等量关系是：=.,从而 x1=27，x2=7,因此,原方程可以写成 x2-34x+189=0.这里 a=1，b=-34，c=189，b2-4ac=(-34)2-41189=(217)2-4189=4(172-189)=4(289-189)=400，,如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了矩形铁皮的长40 cm.因此x1=27不合题意，应当舍去,答：截去的小正方形的边长为7 cm,从例4和例5可以看出，在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况,1.在例5中，如果要使
7、折成的无盖长方体的盒子的底面积为540 cm2，那么截去的小正方体的边长是多少？,答：边长为5 cm.,例5 如图1-6，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364 cm2.求截去的小正方形的边长.,2.例5和第1题中无盖长方体盒子的体积分别是多少？哪个体积大？,答：设例5中长方体的体积为V1，第1题中长方体 的体积为V2，则有 V1=2548(cm3)，V2=2700(cm3)，V1V2.,作业 P27 A 3T P30 4T 5T 6T,第三节一元二次方程的应用,小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙
8、，围成一个矩形花园，如图1-7所示.现在已备足可以砌10 m长的墙的材料.,图 1-7,1、如果砌成的矩形花园为12.5平方米，求矩形花园的边长？,2、如果砌成的矩形花园为12平方米，求矩形花园的边长？,3、如果砌成的矩形花园为12.55 平方米，求矩形花园的边长？,解：设与已有墙面垂直的每一面墙的长度为x m，则与已有墙面平行的一面墙的长度为(10-2x)m.根据题意，列出议程 x(10-2x)=12.55.2x2-10 x+12.55=0.,1、砌成的矩形花园为12.5平方米，求矩形花园的边长？,解：设与已有墙面垂直的每一面墙的长度为x m，则与已有墙面平行的一面墙的长度为(10-2x)m
9、.根据题意，列出议程 x(10-2x)=12.5.,3、砌成的矩形花园为12.55平方米，求矩形花园的边长？,举例,例6 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少？,根据题意，得 5(x+1)2=7.2.,整理，得 x2+2x-0.44=0.,解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）,答：该校图书馆的藏书平均每年增长的百 分率为20%.,一水泥生产厂家今年1月份生产水泥50万吨，为了给北京修建奥运会场馆提供足够水泥，从2月份开始增大生产量，到3月底，第一季度共生产了水泥165.5万吨。求2月、三月份的平均增长率？,利息问题与增长率问题相似：小张将
10、1000元人民币按一年定期存入银行，到期后又将本金和利息再按一年定期存入银行，两年后本金和利息共获1036.324元，求这种存款的年利率是多少（应扣除20%的利息税）？,全解29,本息和=本金+本金利率期数,1.经过调查研究，某工厂生产一种产品的总利润L(元)与产量x(件)的关系式为 L=-x2+2000 x-1000，0 x1900.,（1）产量是多少件时，可以使总利润达到99万元？,答：1000件.,（2）总利润可不可能达到99.1万元？,答：不可能.因为此时方程无实数根.,2.某城市现有人口100万，2年后为102.01万，求这 个城市的人口的平均年增长率,答：1%.,建立一元二次方程的
11、模型，求出一元二次方程的解，这是数学的基本功之一.,一元二次方程在数学科学、自然科学、社会科学和生产生活中，都有重要应用,一元二次方程可以写成右端为0，而左端是只含一个未知数的二次多项式，它的一般形式是 ax2+bc+c=0(a，b，c是已知数，a0),解一元二次方程的基本思路是：降低次数，转化为两个一元一次方程.降低次数的基本方法是因式分解法或直接开平方法.,为了能这么做，往往要先配方，即要把含未知数的项放在一个完全平方式里.而这些步骤只需要按一般形式的一元二次方程,ax2+bc+c=0(a0),来做，求出解x的公式，称为一元二次方程的求根公式,运用求根公式就可以解每一个具体的一元二次方程，
12、取得一通百通的效果，于是解一元二次方程的算法如下：,一元二次方程,写成一般形式ax2+bx+c=0(a0),解两个一元一次方程,无实数解,计算b2-4ac,b2-4ac0,运用一元二次方程解实际问题的关键是：找出问题中的等量关系，以便列出方程.要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况,补充类型,数字问题：1、有一个两位数，十位数字比个位数字小2，且这个两位数等于其数字之积的3倍，求这个两位数。2、有一个正数，其整数部分是小数部分的5倍，若把小数点向右移动一位，其结果比原整数部分的平方大20，求这个数。,例1,某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了
13、迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？,营销问题,例：课本P30 B4T,某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批良种西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种良种西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共24元。该经营户要想每天盈利200元，应将每千克良种西瓜的售价降低多少元？,最大利润问题,例：某人经销水果，如果每斤盈利1
14、0元，每天可售出50斤，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每斤涨价1元，日销量将减少20斤。1、现要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每斤应涨价多少元？2、若单纯从经济角度看，每斤这种水果涨价多少元，才能使该人获利最多？,最大利润问题,例2,某项工作，甲、乙两组合做8天可以完成，已知甲组单独完成全部工作所需时间比乙组单独完成全部工作所需时间少12天，问单独完成全部工作甲组、乙组各需多少天？,行程问题,例：甲乙两地间铁路长2400千米，经技术改造后，列车实现了提速，提速后比提速前速度增加20千米/小时，列车从甲地到乙地行使时间减少4小时，已知列车在现有条件下安全行使的速度不超过140千米/时，请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？,全解39,结 束,
