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1、-1-,第六章 IIR滤波器的设计,-2-,主要内容,理解数字滤波器的基本概念了解最小相位延时系统了解全通系统的特点及应用掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法掌握Butterworth（Chebyshev）低通滤波器的特点掌握利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法,反回,翻页,-3-,6.1 引言,翻页,1 滤波器的基本概念2 LP到其他滤波器的变换3 滤波器的性能指标4 数字滤波器的设计步骤5 数字滤波器的技术参数6 表征滤波器频率响应的特征参量7 IIR数字滤波器的设计方法,-4-,数字滤波器：,是指输入输出均为数字信号，通过一定运算改变输
2、入信号中各种频率分量的相对比例或者滤除某些频率分量的处理单元。,高精度、稳定、体积小、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能,优点：,-5-,1、滤波器的基本概念,（1）滤波器的功能 滤波器的功能是对输入信号进行处理以增强所需的频率真成分，抑制不要的频率成分。,a）时域说明b）频域说明,翻页,-6-,（2）四种基本的滤波器,四种基本滤波器为低通（LP）、高通（HP）、带通（BP）和带阻滤波器（BRF）：,翻页,通带,阻带,过渡带,-7-,（3）四种基本滤波器的数字表示,低通高通带通带阻,翻页,H(ej0)=1H(ej2)?,-8-,2、LP到其他滤波器的变换,由LP实现的HP,翻页,频域关系
3、：高通=全通-低通,-9-,LP实现的BP,翻页,频域关系：带通=低通高通,L,H,H L,L,H,H L,L,H,-10-,LP实现的BRF,翻页,频域关系：带阻=低通+高通,L H,H,L,-11-,3、滤波器的性能指标,带宽：当幅度降低到0.707时的宽度称为滤波器的带宽（3dB带宽）,翻页,3dB带宽,-12-,通带、阻带与过渡带：信号允许通过的频带为通带，完全不允许通过的频带为阻带，通带与阻带之间为过渡带。,翻页,-13-,滚降与滚降率：滤波器幅频特性在过渡带的衰减和衰减速度称为滚降与滚降率。,翻页,-14-,阻带衰减：输入信号在阻带的衰减量,翻页,-15-,带内平坦度：通带和阻带内
4、的平坦程度,翻页,-16-,4、数字滤波器的设计步骤,数字滤波器的设计三个步骤:(1)按要求确定滤波器的性能参数；(2)用一个离散的因果稳定的线性移不变系统的系统函数去逼近去逼近这一性能要求；(3)用有限精度的运算实现；实现可以采用通用计算机，也可以采用专用DSP。,翻页,-17-,5、数字滤波器的技术参数,滤波器的频率响应：,为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分大小的变化情况,为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况,翻页,-18-,理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近,翻页,-19-,通带最大衰减：,阻带最小衰减：,翻页,-20-,6、表征滤波器频率响应的特征参
5、量,幅度平方响应（h(n)是实的）,的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的。,H(z)的极点：单位圆内的极点,翻页,对零点有类似的结论。,-21-,相位响应,相位响应：,翻页,-22-,群延迟响应,相位对角频率的导数的负值,若滤波器通带内=常数，则为线性相位滤波器,翻页,(推导略 P.224-225),-23-,7.IIR数字滤波器的设计方法,先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器,用一离散的因果稳定的LSI系统逼近给定的性能要求：,即为求滤波器的各系数,计算机辅助设计法,s平面逼近：模拟滤波器,z平面逼近：数字滤波器,翻页,-24-,6.2 最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统,
6、因果稳定系统,n 0时h(n)=0,1）若全部零点在单位圆内,则为最小相位延时系统。,2）若全部零点在单位圆外，则为最大相位延时系统。,逆因果稳定系统,n 0时h(n)=0,1）若全部零点在单位圆内，则为最大相位超前系统。,2）若全部零点在单位圆外，则为最小相位超前系统。,翻页,-25-,6.3 全通系统,翻页,-26-,一阶全通系统：,极点：,零点：,零极点以单位圆为镜像对称,极点：,零点：,翻页,-27-,二阶全通系统,两个零点（极点）共轭对称,极点：,零点：,零点与极点以单位圆为镜像对称,翻页,-28-,N 阶数字全通滤波器,极点：的根,零点：的根,zp和zo 关于单位圆镜象对称。,翻页
7、,-29-,全通系统的应用,1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成最小相位系统 Hmin(z)和全通系统Hap(z)的级联,其中：H1(z)为最小相位延时系统，为单位圆外的一对共轭零点,翻页,-30-,2）对于非稳定系统可通过级联一个全通系系统，通过零极对消使其成为稳定系统，而幅度不变。,翻页,上述全通系统是否是最小相位系统？,-31-,3）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位,利用均方误差最小准则求均衡器Hap(z)的有关参数,翻页,如果所设计的系统是一个非线相位系统，可通过级联一个全通系统，使其逼近线性相位。,-32-,6.4 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,设计思想：,s 平面 z
8、平面,模拟系统 数字系统,H(z)的频率响应要能模仿 Ha(s)的频率响应，,因果稳定的 Ha(s)映射到因果稳定的 H(z),翻页,即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆,即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内|z|1,-33-,设计方法：,-冲激响应不变法,-阶跃响应不变法,-双线性变换法,翻页,-34-,6.5 冲激响应不变法,一、变换原理,数字滤波器的单位冲激响应h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t),T抽样周期,翻页,-35-,设,则：,翻页,（第三章）,-36-,从频率响应来看：,数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为2p/T
9、只有当模拟滤波器的频率响应是带限的，且带限于折叠频率以内时，即,才能使数字滤波器的频响在折叠频率以内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真,翻页,数字域折叠频率,/T,-37-,实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在|W|Ws/2处衰减越快，失真越小,当滤波器的设计指标以数字域频率wc给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象,翻页,混叠,-38-,二、模拟滤波器的数字化,翻页,u(n),-39-,系数相同：,极点：s 平面 z 平面,稳定性不变：s 平面 z 平面,翻页,-40-,当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正,令：,则：,翻页,-41-,试用冲激响应不变法，设计IIR数字
10、滤波器,例：设模拟滤波器的系统函数为,解：据题意，得数字滤波器的系统函数：,设T=1s，则,翻页,-42-,模拟滤波器的频率响应：,数字滤波器的频率响应：,翻页,-43-,优点：,缺点：,保持线性关系：w=WT（第二章）线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器,频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器,h(n)完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应ha(t)时域逼近良好,冲激响应不变法的优缺点,翻页,HW6-1:1,-44-,6.6 阶跃响应不变法,变换原理,数字滤波器的阶跃响应g(n)模仿模拟滤波器的阶跃响应ga(t),T 抽样周期,FWD,-45-,6.7 双线性变换法,脉冲响应不变法、阶跃
11、响应不变法：时域模仿逼近，缺点是产生频率响应的混叠失真为了克服这一缺点，采用双线性变换法。使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似频域模仿逼近,翻页,-46-,一、变换原理及特点,脉冲响应不变法的映射是多值映射,导致频率响应交叠。改进思路：先将复平面s压缩到另一个复平面s1，然后再将s1映射到Z平面。,翻页,S平面,S1平面,Z平面,-47-,翻页,S平面,S1平面,-48-,为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有确切的对应关系，引入系数 c,翻页,-49-,2）某一特定频率严格相对应：,1）低频处有较确切的对应关系：,特定频率处频率响应严格相等，可以确切地控制截止频率位置,二
12、、变换常数c的选择,翻页,-50-,三、逼近情况,1）,2）,翻页,-51-,四、优缺点,优点：,避免了频率响应的混迭现象,s 平面与 z 平面为单值变换,翻页,-52-,缺点：除了零频率附近，W与w之间严重非线性,2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变,分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变,翻页,-53-,预畸变,给定数字滤波器的截止频率 w1，则,按W1设计模拟滤波器，经双线性变换后，数字滤波器的截止频率恰好为w1,翻页,按W1=w1T 设计模拟滤波器，经双线性变换后，数字滤波器的截止频率不等于w1,-54-,五、模拟滤波器数字化方法
13、,可分解成级联的低阶子系统,翻页,-55-,可分解成并联的低阶子系统,翻页,-56-,6.8 常用模拟低通滤波器特性,将数字滤波器技术指标转变成模拟滤波器技术指标，设计模拟滤波器，再转换成数字滤波器,模拟滤波器,巴特沃斯 Butterworth 滤波器,切比雪夫 Chebyshev 滤波器*,翻页,-57-,1、由幅度平方函数 确定模拟滤波器的系统函数,翻页,常用模拟滤波器如巴特沃思、切比雪夫滤波器等通常以幅度平方的形式给出。,若s0是Ha(s)的零点，则-s0是Ha(-s)的零点。若h(t)是实函数，则s0*也是Ha(s)零点。同理-s0*是Ha(-s)的零点。对于极点有类似的结论。,因此，
14、Ha(s)Ha(-s)的零、极点关于象限对称分布。,-58-,Ha(s)Ha(-s)的零极点分布,将左半平面的的极点归Ha(s)。,将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 Ha(s)的零点，虚轴上的零点一半归Ha(s)。,由于(j)*=-j，(-j)*=j，因此，虚轴上的零极点必定是二阶的。,翻页,若j是极点，则-j也是极点,-59-,由幅度平方函数得H(s)H(-s)，其零极点象限对称,对比 和，确定增益常数,由零极点及增益常数，得,翻页,-60-,例：,解：,极点：,零点：（二阶）,零点：,的极点：,设增益常数为K0,翻页,-61-,1）巴特沃尔斯滤波器（Butterworth）,2.常见
15、模拟滤波器设计,幅度平方函数：,称Wc为Butterworth低通滤波器的3分贝带宽,N为滤波器的阶数,Wc为通带截止频率,翻页,-62-,1）幅度函数特点：,（3dB不变性）,通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小,过渡带及阻带内快速单调减小,当WWst（阻带截止频率）时，对应的衰减为阻带最小衰减,翻页,st,-63-,Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点：,2）幅度平方特性的极点分布：,翻页,-64-,极点在s平面呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点,极点间的角度间隔为,极点不落在虚轴上,N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点,Ha(s)Ha(-
16、s)的零极点分布(a)N=3(三阶）(b)N=4（四阶）,翻页,-65-,3）滤波器的系统函数：,得归一化系统的系统函数,去归一化，得,翻页,令,P261 表6.4,-66-,4）滤波器的设计步骤：,翻页,Buterworth 滤波器,-67-,根据技术指标求出滤波器阶数N：,确定技术指标：,由,得：,同理：,令,则：,翻页,-68-,求出归一化系统函数：,或者由N，直接查表得,其中技术指标Wc给出或由下式求出：,其中极点：,去归一化,阻带指标有富裕,或,通带指标有富裕,翻页,-69-,Buterworth 滤波器设计的关键是确阶次N,令,则：,翻页,由N，直接查表得,去归一化,阻带指标有富裕
17、,或,通带指标有富裕,阻带截止频率,-70-,例：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于0.2p rad的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率0.3p到p之间的阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变换法。,1、用冲激响应不变法设计,1）由数字滤波器的技术指标：,2）得模拟滤波器的技术指标：选T=1 s,翻页,-71-,a）确定参数,用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真,3）设计Butterworth模拟低通滤波器,翻页,-72-,b)求出极点（左半平面）,c)构造系统函数,c)去归一化,翻页,-73-,4）将Ha(s)展成部分分式形式:,变换成But
18、terworth数字滤波器：,翻页,-74-,用冲激响应不变法设计出的Butterworth滤波器,翻页,-75-,2、用双线性变换法设计,1）由数字滤波器的技术指标：,2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：,翻页,-76-,a）确定参数,用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题,3）设计Butterworth模拟低通滤波器,翻页,-77-,b)求出极点（左半平面）,c)构造系统函数,翻页,-78-,c)去归一化,翻页,-79-,4）将Ha(s)变换成Butterworth数字滤波器：,翻页,HW6-2:8,-80-,2）切贝雪夫滤波器*,N：滤波器的阶数,Wc：截止频率，不一定为3dB
19、带宽,0e1，表示通带波纹大小，e越大，波纹越大,CN(x)：N 阶Chebyshev多项式,Type I Chebyshev,Chebyshev I 型滤波器,翻页,-81-,N为偶数,N为奇数,通带内：在1和 间等波纹起伏,通带外：迅速单调下降趋向0,-82-,Chebyshev I 型滤波器的三个参量：,Wc：通带截止频率，给定,e：表征通带内波纹大小,N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数,由通带衰减决定,阻带衰减越大所需阶数越高。,Ws为阻带截止频率,翻页,-83-,可以证明,可以用作图法确定极点。,翻页,-84-,N=4时的切比雪夫I 型极点分布,以短轴为半径画小 圆，以长轴为
20、半径画大圆,2.以虚轴为对称轴，/N 为间隔，等分大小圆,3.极点的纵坐标由大圆上 对应的点决定，横坐标 由小圆上对应的点决定,翻页,-85-,Chebyshev I 的简化计算,翻页,实部为负，确保在左半平面,-86-,Chebyshev II 型滤波器,通带内：单调特性阻带内：等波纹起伏,翻页,-87-,小结：利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤,将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标,通带截止频率、通带衰减,阻带截止频率、阻带衰减,通带截止频率,阻带截止频率,通带截止频率,阻带截止频率,确定数字滤波器的技术指标：,冲激响应不变法,双线性变换法,翻页,-88-,按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器,Butterworth低通滤波器,Chebyshev低通滤波器,将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器,冲激响应不变法,双线性变换法,翻页,-89-,6.9 设计IIR滤波器的频率变换法,本章结束,
