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1、1,什么是流体静力学？流体静力学专门研究流体在静止状态下，或者流体在外力作用下处于平衡状态时的力学规律及其应用。,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学,第二章 流体静力学,流体静力学在本质上是研究静止流体中的压力和质量力两者平衡的问题。,静止流体包括：A.绝对静止（流体相对于地球坐标不运动）B.相对静止（参考坐标相对于地球运动，但流体各部分对该参考坐标不运动）流体静力学的基础是欧拉方程。,2,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.1 欧拉方程式,2.1 欧拉方程式,欧拉（Euler,1707-1783）18世纪瑞士数学家、物理学家、工程师。近代数学先驱，是数学史上和高斯齐名最杰出伟大数学家
2、之一。,3,压力与质量力相互平衡,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.1 欧拉方程式,2.1 欧拉方程式,1775年，欧拉首先提出“静止液体中单位质量流体上压力与质量力相互平衡的微分方程式”。欧拉平衡微分方程，是将重力场内静止流体中分离出一个边长为dx,dy,dz 的微元体。其中心点A（x,y,z）的静压力为p，abcd面中心点m 和efgh面中心点的静压力分别如图所示。,4,取静止流体体积微元，边长 dx,dy,dz,中心A。,x方向：作用于A点压力p,把m,n点的压力视为作用于面上的平均压力，则：,面上总压力：,面心n点压力=,面心m点压力=,一、压力分析,第一篇 动量传输 第2章
3、流体静力学 2.1 欧拉方程式,5,沿x方向微元受到的压力：,同理，沿y和z方向压力分别为：,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.1 欧拉方程式,6,质量力概念：质量力是非接触力，如重力、惯性力，均匀作用于流体质点上，其大小与流体的质量成正比。,二、质量力分析,对于此微元体，设gx gy gz分别为重力加速度在 X、Y、Z 坐标上的分量，可将其视为单位质量力，即质量为1 时所受的力，用X，Y，Z表达。,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.1 欧拉方程式,7,平衡时，压力+质量力0，即：Fx+Fx=0Fy+Fy=0Fz+Fz=0,式（2-1）静止流体 Euler方程,也可以将（2-1
4、）式（除以），变化为以下形式：,三、压力与质量力平衡,（2-1a）,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.1 欧拉方程式,8,全微分形式：,（2-2）,将（2-1a）转化为全微分形式：（2-1a）三个式子的两端分别乘以dx、dy、dz，并且相加得到欧拉方程的全微分形式。,即：,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.1 欧拉方程式,9,令：,单位质量力,U：质量力的势函数,如果是流体是不可压缩流体，则const上面式（2-2）的右边是函数p的全微分，所在左边也应该是某个函数 U（x,y,z）的全微分形式。,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.1 欧拉方程式,10,2.2 不同情况下
5、静止流体的等压面和静压力 p20,(2-4)等压面的微分方程式,公式（2-2）,成立的条件是,等压面的微分方程式：,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和静压力,等压面概念：静止流体中，压力相等的各连续点所组成的面，在此面上任何两点间的压力差总是等于零。压力差等于零。所以（2-2）中的dp=0,或者公式（2-3）中的dU0（U是质量力的势函数，所以等压面即等势面）,11,式（2-5）重力场下静止流体等压面方程,2.2.1 重力场中静止流体的等压面和静压力,一、流体静力学基本方程：右图是重力场容器中的静止流体,流体的任意点上作用的质量力只有重力。故单位质量力：
6、X=gx=0、Y=gy=0、Z=gz=-g，代入等压面的微分方程 Xdx+Ydy+Zdz=0中，得-gdz=0，对此式积分，并且取=const,则z=C 所以，重力场下静止流体的等压面是平行于地面的等高平面。说明静止流体中同一高度的流体质点上的压力都相等。,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和静压力,12,如果把X=0、Y=0、Z=-g 代入欧拉方程全微分形式：（Xdx+Ydy+Zdz）=dp（2-2）中，则得：dp=-gdz,将此式积分后，得流体静力学基本方程：,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和静压力,二、流体静
7、力学基本方程推导：,说明在重力场中，任意点的(p/g)+z 都相等。,13,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和静压力,若液体表面上一点高度 z0,压力p0，据流体静力学基本方程，则有 C=p0/g+z0,三、静压力计算式推导：,静压力计算公式,代入流体静力学基本方程式 p/g z C 中得：p0/g+z0 p/g z,化简得到：p=p0 g(z0z)，设 z0zh，得到静压力计算式：p=p0 gh(2-8),14,重力场下，静止流体,等压面：z C 任一点静压：p=p0 gh流体静力学基本方程式：p/g z C(2-6)中,1、压力水头：p/g 是压力所
8、做的功，称压力水头（压力高度）2、位置水头：z是流体质点距离某基准面的高度，代表势能，称位置水头。3、静水头：p/g+z 是单位重量流体的总势能，称静水头。,四、压力水头，位置水头，静水头概念：,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和静压力,15,五、流体静压力基本方程的物理意义：在静止的不可压缩、密度均匀的流体中，任意点的单位重量流体的总势能保持不变，或者说，静水头的连线是一条水平线。,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和静压力,16,离心力场：是由旋转流体占据的空间，在此空间中每一点都能产生离心质量力。课本p22图，
9、在失重状态下，在旋转半径r(x,y)处截取单位质量液体，则单位质量离心力为，它在x轴、y轴、Z轴方向上的分量分别为：,将X,Y、Z值带入等压面微分方程（2-4）中，得：,2.2.2 离心力场中，相对静止液体的等压面和静压力（不考虑重力场）p22,结论：无重力场影响时，绕水平轴做圆周运动液体的等压面是圆柱面系列（以液体旋转轴线为轴）,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和静压力,经过积分运算得,17,旋转圆筒壁上的离心压力计算式为：（2-10）卧式离心铸造可以用该式。,对上式取从r0 到r的定积分，得到离心力场中半径r处的静压力计算式（2-9）：,第一篇 动量
10、传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和静压力,如果将,带入欧拉方程全微分形式（2-2）中，,得到：,18,（离心力场+重力场）,盛液之容器（绕垂直Z轴）以等角速度水平旋转。在旋转半径 r 处单位质量力为：,X=2 r cos=2xY=2 r sin=2yZ=-g,带入等压面微分方程式：中,2.2.3 重力场、离心力场共同作用时，相对静止流体的等压面和静压力 p23,得：,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和静压力,19,积分，由于：,该式表明：等速旋转容器中，相对静止液体内的等压面为一系列以旋转轴为轴线的回转抛物面。,对,得到：,第
11、一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和静压力,20,由于r=0时,z=h0，所以C=h0,若把 带入欧拉方程全微分形式（2-2）中，,r=0时,z=h0，这时自由表面压力等于大气压,即 Pr z=pa,则 C=Pa所以，离心力场+重力场中，等速旋转容器中，液体各点压力计算公式为（2-12）：,得到自由表面表达式：,积分后得到：,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和静压力,21,如何求液体中两点（r1 Z1）,(r0 Z1)的压力差?将此两点分别带入,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.2 不同情况下静止流体的等压面和
12、静压力,将所得两式相减，得到：,22,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.3 压力的计量和测量,2.3 压力的计量和测量 p25,2.3.1 压力的计算压力的测量基准及单位：（1）绝对压力P:以绝对真空为测量基准（即以压力值为零作基准）测得的压力。（2）计示压力Pe:是由压力表、测量计表示的压力称为计示压力。它是以大气压力为基准测得的，所以也称为相对压力、表压力。（3）真空度Pv：是指小于大气压力的绝对压力值。（4）绝对压力、计示压力的关系如下：绝对压力P=计示压力Pe+大气压力Pa,23,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.3 压力的计量和测量,压力的单位有下列三种表示形式：（1
13、）应力单位:用单位面积上的力表示。单位为Pa或kPa（2）液柱高度:常用水柱（mH2O）和水银高度（mmHg）表示压力的大小。（3）大气压力:标准大气压(atm)是在北纬45海平面上、温度为15时测定的大气压数值。大气压力与前两种单位的关系是：1标准大气压(atm)=101337Pa=10.33mH2O=760mmHg 1工程大气压(at)=98100 Pa=10mH2O=735mmHg,24,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.3 压力的计量和测量,压力的计算单位换算关系,计算单位换算关系：1 Pa=1 N/m21标准大气压（atm）=1.01325105Pa105Pa=0.1Mpa1
14、 bar（气象学常用）=牛顿/平方厘米=105Pa=0.1Mpa=10 1atm1 atm=76 mmHg1 拖（Torr）拖是“拖耳”简称。1毫米汞柱产生的压力。1 拖=1 mmHg=133.32Pa,25,绝对压力分两种情况：（左：绝对压力大于大气压）（右：绝对压力小于大气压）,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.3 压力的计量和测量,绝对压力、计示压力（相对压力；表压力）、真空度的关系如图所示,26,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.3 压力的计量和测量,例：有一加热炉炉膛高H=1.2m，炉内充满1350 的气体（该气体在1atm,0 时的密度为1.29kg/m3），炉体外
15、面大气温度为20，密度为a=1.20kg/m3，炉底部炉气表压为零，求炉顶部、炉膛内的表压？,解：1350 时的炉气密度为：=1.29 273/（273+1350）=0.219kg/m3,根据流体静力学基本方程：(p/g)+z=C(2-6),在重力场中任意点的(p/g)+z 都相等。所以，炉膛内炉底处气体压力（P底）与炉顶处气体压力（P顶）关系如下：（P顶）=（P底）-gH(1)在大气中，相当于炉底高度处的大气压（P底）与相当于炉顶高度处的大气压（P顶）关系如下：（P顶）=（P底）-a gH(2)求顶部表压：Pe顶=（1）-（2）=（P顶）-（P顶）=（P底）-（P底）-（-a）gH=Pe底-
16、（-a）gH=0-（）g1.2=11.5Pa=1.18mmH2O柱高。,27,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.3 压力的计量和测量,测压计分三大类：（1.液柱式压力计、2.金属压力计、3.传感器压力计）1液柱式测压计（分为两类：管式测压计、微压计）（1）管式测压计,2.3.2 压力的测量,28,（2）微压计：一端与被测量物相通，另一端用橡胶管接微压计。,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.3 压力的计量和测量,29,2金属压力计（压力表）原理：流体压力传递至弹性金属元件，弹性金属元件变形量显示在指针上，测量数值比较大的压力值。,工作过程：压力表通过表内的敏感元件（波登管、膜盒、
17、波纹管）的弹性形变，再由表内机芯的转换机构将压力形变传导至指针，引起指针转动来显示压力。,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.3 压力的计量和测量,30,3传感器压力计原理：利用传感器把流体的压力信号转变为电信号，显示压力数值。,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.3 压力的计量和测量,31,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.4 静止液体的总压力,2.4 静止液体的总压力 p29,总压力 P 概念：作用于某一面(A)上的压力p的总和。,32,水平放置容器底面上，由液体产生的作用于水平底面上的压力只与液体的密度、底平面面积、液体深度有关。而与容器形状无关。注意区分液体压力与液
18、体重量的区别。,容器底面积A，液体密度，深h,根据静压力计算式(2-8):p=p0 gh(2-8)所以，底平面总压：F=pA(p0+gh)A其中，仅由液体产生的压力：F=gh A,2.4 1.重力场中,静止液体作用在平面上的总压力,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.4 静止液体的总压力,1.平面底面总压力：,33,2.倾斜平面总压力：取面积A,是A对x轴的面积矩。yc 是面积A的形心到x轴的距离。,hc平面形心C的淹深（液面下深度）,在（2-25）中，,沿着整个面积A对该式进行积分，可以得到液体作用在A面积上的总压力如下（2-26）：,(2-2 6)中,第一篇 动量传输 第2章 流体静
19、力学 2.4 静止液体的总压力,34,作用于平面A上的液体总压力是一个假想体积的液体重量，该假想体积是以面积为A的平面为底，以平面形心淹深hc为高的柱体。2.对于水平放置的底平面，淹深hc 就是液体的深度h，对于垂直平面，淹深hc 是液体深度h的一半。,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.4 静止液体的总压力,35,其中，Jc是形心惯性矩yc 是面积A的形心到x轴的距离。,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.4 静止液体的总压力,3.压力作用点问题：,作用在A面积上的总压力不与该平面的形心重合。总压力的作用点可根据固体力学的力矩原理：“合力力矩=各个分力力矩代数和”求得（2-27）
20、,36,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.4 静止液体的总压力,P31 两例题,37,2.静止液体作用于曲面上的压力,1、工程上受液体压力的表面通常是曲面。2、作用于曲面上的各点的流体静压力均垂直于容器壁，但这些力相互不平行。形成了复杂的空间力系。3、求总压力的问题其实是空间力系的合成问题。需要将这些非平行的力分解为X轴、Z轴方向的分力系，然后求出各分力系的合力，最后把分力系的合力合成总压力。,2.4 2.静止液体作用在曲面上的总压力,abcd 曲面为二维曲面，曲面母线与y轴平行,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.4 静止液体的总压力,38,考虑一个沿宽度方向对称的二维曲面。面
21、积为A。取坐标轴y平行于曲面的母线。曲面在xz面上的投影是曲线ab。取面积微元dA，它的淹深为h，则仅由液体作用于其上的总压为：,把dF分解成水平和垂直分力：,(2-28)其中，hc是形心的淹深,Ax是A 在yoz坐标面上的投影,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.4 静止液体的总压力,39,垂直分力等于曲面上方液柱体积（压力体）内液体的重量。作用线通过压力体重心。,总压力与水平线的夹角,同理：,总压力,所以,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.4 静止液体的总压力,（2-28式）说明：液体总压力作用在曲面上的水平分力等于作用在该曲面在yoz坐标面的垂直投影面上的液体总压力。,40
22、,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.4 静止液体的总压力,P32例题 作业题,41,对此式从r=r0 至r=R 积分，得到轴上压力,注意：角速度(弧度/秒)，n是每分钟转度(rpm),求作用在端盖上的总压力F：在半径r处取一个微元环，宽度为dr,则此环上产生的总压力dF为：根据公式（2-9离心压力计算公式）得到：,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.4 静止液体的总压力,2.4.3 离心总压力 P.33,径向总压力由于相互抵消，壁上的压力为零，轴向有压力。一般情形：考虑截面为环状（有芯）,42,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.4 静止液体的总压力,P34 例题讲解：,43,例题 P.34作业：P35，2.4 2.5 2.8,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.5 静止液体中物体上浮力,2.5 静止液体中物体上浮力,阿基米德原理（浸于液体中的物体所受的浮力等于其所排挤的液体的重量）,44,第一篇 动量传输 第2章 流体静力学 2.5 静止液体中物体上浮力,例题 图示为测量容器中A点压强的真空计。已知h1=1m，h2=2m，试求A点的真空压强 pv。,解 在空气管段两端应用流体静力学基本方程得:,故A点的真空压强为,
