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1、第五节 定积分在几何上的应用,微元法 元素法,用定积分表示的量U必须具备三个特征:,一.能用定积分表示的量所必须具备的特征,(3)部分量 的近似值可表示为,二.微元法,则U相应地分成许多部分量;,用定积分表示量U的基本步骤:,(1)U是与一个变量 的变化区间a,b有关的量;,(2)U 对于区间a,b具有可加性.,分成许多部分区间,即如果把区间a,b,根据问题的具体情况,选取一个变量,例如 为积分变量,并确定其变化区间a,b;,(2)在区间a,b内任取一个小区间,求出相应于这个小区间的部分量 的近似值.,在 处的值 与 的乘积,就把 称为量U的微元且记作,即,如果 能近似地表示为a,b上的一个连
2、续函数,(3)以所求量U的微元 为被积表达式,在区间a,b上作定积分,得,平面图形的面积,一 直角坐标情形,1.曲边梯形,当 在a,b上连续时,由曲线 和 及 轴,所围成的曲边梯形面积就是,2.一般图形,以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为,如果函数 在a,b上连续,且,则介于两条曲线,则图形的面积为,注意:根据具体的图形特点,也可以选择积分变量或者利用图形的对称性简化计算.,例1 求椭圆的面积(如图).,解 由对称性,椭圆的面积,则,例2 求由,所围图形面积.,解：两抛物线的交点为(0,0)及(1,1).,取x为积分变量,其变化区间为0,1.由前面讨论可知:,例3 求由,所围图形
3、面积.,解：两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).,根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为-2,4.,图形的面积微元为:,从而可得图形面积,二.极坐标情形,1.曲边扇形,其中r()在,上连续,且r()0.,相应于,+d的面积微元为,则图形面积为,设图形由曲线r=r()及射线=,=所围成.,取为积分变量,其变化区间为,2.一般图形,及射线=,=所围图形的面积微元为,则面积为,由曲线,例4 求r=1与r=1+cos所围公共面积.,解 如图,曲线交点为,由对称性,则,而,立体的体积,一.平行截面面积已知的立体体积,点 且垂直于 轴的截面面积.,如图,体积微元为,则体积为,取 为积分变
4、量,其变化范围为a,b.,设立体介于 之间,表示过,A(x),dV=A(x)dx,x,.,a,V,b,a,a,a,a,.,过点M(x,0,0)作垂直于x轴的截面，则截面为正方形，边长为,称为旋转体.,则如前所述,可求得截面面积,二.旋转体的体积,则,平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体,设旋转体由图1的曲边梯形绕x轴形成.,图1,同理,如旋转体由图2的曲边梯形绕y轴形成.,例6 求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的 体积.,解 可求得过点O及P(h,r)的直线方程为,由公式得,则体积为,图2,图3,柱壳法-由平面图形,绕 轴旋转所成的旋转体的体积为,柱壳法就是把旋转体看成是以y 轴
5、为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的，以此柱壳的体积作为体积元素。,在区间 上,柱壳体的体积元素为,即为圆柱薄壳,当 很小时，此小柱体的高看作，,x=g(y),c,d,x=g(y)绕 y 轴旋转,y,dA=2 g(y)ds,.,(ds是曲线的弧微分),.,.,故旋转体侧面积,求旋转体侧面积A,ds,平面曲线的弧长,光滑曲线可应用定积分求弧长.,若函数 的导函数在区间a,b上连续,则称曲线 为区间a,b上的光滑曲线,一.直角坐标情形,设光滑曲线方程:,可用相应的切线段近似代替.即,则弧长微元(弧微分),故弧长为,取 为积分变量,变化区间为a,b.,a,b内任意小区间 的一段弧 长,二.参数方程情形,设光滑曲线方程:,弧长微元,则如前所述,例9 求星形线,的弧长.,解 由对称性及公式,例10 求阿基米德螺线r=a(a0)上相应于从0到2的一段弧长.,解,三.极坐标情形,设曲线方程:r=r()().化为参数方程:,则,
