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初等函数的连续性,一、四则运算的连续性,定理1,例如,二、反函数与复合函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,定理3,证,将上两步合起来:,意义,1.在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，,注,1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数 在极限值点处连续,例1,解,例2,解,同理可得,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,例如,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续),定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,注意,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意2.初等函数求极限的方法代入法.,例3 求,解,它的一个定义区间是,例4,解,例5 求,解,不能应用差的极限运算法则，须变形先分子有理化，然后再求极限,四、小结,连续函数的和差积商的连续性.,反函数的连续性.,复合函数的连续性.,初等函数的连续性.,定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.,思考题,思考题解答,是它的可去间断点,
