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1、弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用,q=q(x),规定：q(x)向上为正。,将 x 轴的坐标原点取在 梁的左端。,设梁上作用有任意分布荷载其集度,假想地用坐标为 x 和 x+dx的两横截面 m-m 和 n-n 从梁中取出 dx 一段。,x,x+dx 截面处 则分别为 Q(x)+dQ(x),M(x)+dM(x)。由于dx很小，略去q(x)沿dx的变化,m-m截面上内力为Q(x)，M(x),Y=0Q(x)-Q(x)+dQ(x)+q(x)dx=0,得到,写出平衡方程,略去二阶无穷小量即得,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,Q(x)
2、图为一向右下方倾斜的直线,剪力图为一条水平直线,弯矩图为一斜直线,在Q=0的截面,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,例题 一简支梁受两个力P作用如图 a 所示。已知 P=25.3KN，有关尺寸如图所示。试用本节所述关系作此梁的剪力图和弯矩图。,解：求梁的支反力。由平衡 方程 mB=0 和 mA=0 得,将梁分为AC，CD，DB三段。每一段均属无外力段。,每段梁的剪力图均为水平直线,AC段：Q1=RA=23.6KN,CD段：Q2=RA-P=-1.7KN,DB段：Q3=-RB=-27KN,A,B,C,D,200,115,1265,P,P,1,3,最大剪力发生在DB段中的任一横截面上,A,B,
3、C,D,200,115,1265,P,P,1,3,每段梁的弯矩图均为斜直线。且梁上无集中力偶。故只需计算A、C、D、B各点处横截面上的弯矩。,最大弯矩发生在 C 截面,在集中力作用的 C，D 两点剪力图发生突变，突变值 P=25.3KN。而弯矩图有尖角。在AC段剪力为正值。在CD和DB段，剪力为负值。最大弯矩发生在剪力改变处，负号的C点截面处。说明剪力图和弯矩图是正确的。,A,B,C,D,P,P,1,3,4.72,3.11,例题 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100KN/m,如图 a 所示。试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图。,解：计算梁的支反力,将梁分为 AC、CD、DB三段。AC和DB
4、上无荷载，CD段有向下的均布荷载。,DB段：水平直线,最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上。,CD段：向右下方的斜直线,AC段：水平直线,Q1=RA=80 KN,AC段：,CD段：,其极值点在Q=0的中点E处的横截面上。,DB段：,MB=0,MB=0,全梁的最大弯矩梁跨中E点的横截面上。,例 作梁的内力图,解：支座反力为,将梁分为AC、CD、DB、BE 四段,AC：向下斜的直线（）,CD：向下斜的直线(),DB：水平直线(）,Q=P2-RB=-3KN,EB：水平直线(）,Q=-3KN,F点剪力为零,令其距A点为x,=5m,X=5m,3m,4m,4m,4m,A,B,c,D,E,=5m
5、,3m,4m,4m,4m,A,B,c,D,E,3m,4m,4m,4m,A,B,c,D,E,F,式中，QA，QB分别为在 x=a,x=b 处两各横截面A及B上的剪力。等号右边积分的几何意义是上述两横截面间分布荷载图的面积。,若在 x=a 和 x=b 处两个横截面A，B间无集中力则,若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得,式中，MA，MB分别为在 x=a,x=b 处两个横截面 A 及 B上的弯矩。等号右边积分的几何意义是A，B两个横截面间剪力图的面积。,例题 计算 下图中的梁 C、E 两横截面上的 剪力和弯矩。,在AC段中 q=0，且 QA=RA,解：,在AC段中 Qc=80KN，剪力图为矩形，M
6、A=0,在CE段中，剪力图为三角形QC=80KN，MC=16KN.m,例题 用简易法作 所示组合梁的 剪力图和弯矩图。,解：,已求得支座反力为,RA=81KNRB=29KNmA,将梁分为AE，EC，CD，DK，KB五段。,AE段：水平直线,QA右=QE左=RA=81KN,ED段：水平直线,QE右=RA-P=31KN,DK段：向右下方倾斜的直线,QK=-RB=-29KN,KB段：水平直线,QB左=-RB=-29KN,设距 K 截面为 x的截面上剪力 Q=0。即,AE，EC，CD梁段均为向下倾斜的直线,DK段：向上凸的二次抛 物线,在 Q=0 的截面上弯矩有极值,KB段：向下倾斜的直线,弯矩图如图(c)所示。,x,x,解：,AB段：没有荷载，在B处有集中力，P=20KN。因为,所以,补充例题：已知简支梁的剪力图，作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。,BC段：无荷载,d,AB段：向右上倾斜的直线,a,b,c,BC段：向右下倾斜的直线,CD段：向上凸的二次抛物线。该段内弯矩没有极值。,
