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1、1,静力学篇,第 5 章 摩 擦,2,两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此间产生的阻碍相对滑动的作用，称为滑动摩擦。当其接触表面之间有相对滚动趋势或相对滚动时，彼此间产生的阻碍相对滚动的作用，称为滚动摩擦。阻碍的程度用力来度量，分别称为滑动摩擦力或滚动摩擦力。,摩擦,滑动摩擦,滚动摩擦,3,摩擦,滑动摩擦,滚动摩擦,摩擦,4,摩擦是一种极其复杂的物理-力学现象，本章主要研究滑动摩擦，仅介绍工程中常用的简单近似理论。重点研究有摩擦时物体的平衡问题。,摩擦有不利的一面，也有有利的一面。,摩擦学,5,摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或相对滑动的方向相反，
2、它的大小根据主动力作用的不同，可以分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。,5-1,滑动摩擦,6,1静滑动摩擦力,由上式可知，静摩擦力的大小随水平力的增大而增大，这是静摩擦力和一般约束反力共同的性质。,7,2最大静滑动摩擦力,静摩擦力又与一般约束反力不同，它并不随力的增大而无限度地增大。当力的大小达到一定数值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，只要力再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以 表示。此后，如果 再继续增大，但静摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。这就是静摩
3、擦力的特点。综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改变，但介于零与最大值之间，即,8,大量实验证明：最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力（即法向反力）成正比，即,式中 是比例常数，称为静摩擦系数，它是无量纲数。上式称为静摩擦定律(又称库仑定律)。静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关，而与接触面积的大小元关。静摩擦系数的数值可在工程手册中查到，表5-1中列出了一部分常用材料的摩擦系数。但影响摩擦系数的因素很复杂，如果需用比较准确的数值时，必须在具体条件下进行实验测定。,9,表5-1常用材料的滑动摩擦系数,10,静滑动摩擦力的特点,1 方向
4、：沿接触处的公切线，,2 大小：,3,（库仑摩擦定律）,与相对滑动趋势反向；,静摩擦定律给我们指出了利用摩擦和减少摩擦的途径。例如，汽车，火车。,11,3动滑动摩擦力,当滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力再继续加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以 表示。实验表明:动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即,式中 是动摩擦系数，它与接触物体的材料和表面情况有关。,12,动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。一般情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即,实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。对于不同材料
5、的物体，动摩擦系数随相对滑动的速度变化规律也不同。多数情况下，动摩擦系数随相对滑动速度的增大而稍减小。但当相对滑动速度不大时，动摩擦系数可近似地认为是个常数，参阅表5-1。在机器中，往往用降低接触表面的粗糙度或加人润滑剂等方法，使动摩擦系数降低，以减小摩擦和磨损。,13,2 大小：,（对多数材料，通常情况下）,动滑动摩擦的特点,1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向；,14,5-2 摩擦角和自锁现象,1摩擦角 当有摩擦时，支承面对平衡物体的约束反力包含两个分量：,15,摩擦角与摩擦锥,动画,第5章 摩 擦,16,可见，摩擦角与摩擦系数一样，都是表示材料的表面性质的量。,17,2 自锁现
6、象,18,应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。,自锁条件:,3.测定静摩擦系数 利用摩擦角的概念，可用简单的试验方法，测定静摩擦系数。,19,动画,第5章 摩 擦,利用摩擦角测定摩擦因数,20,动画,摩擦自锁条件,第5章 摩 擦,21,动画,螺旋千斤顶,第5章 摩 擦,22,考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下的几个特点：（1）分析物体受力时，必须考虑接触面间切向的摩擦力，通常增加了未知量的数目；（2）为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，即库仑定律，补充方程的数目与摩擦力的数目相同;(3)由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定
7、的范围，而不是一个确定的值。工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时静摩擦力等于其最大值，补充方程只取等号。有时为了计算方便，也先临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。,5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题,23,第5章 摩 擦,例 题,24,小物体A重G=10 N，放在粗糙的水平固定面上，它与固定面之间的静摩擦因数fs=0.3。今在小物体A上施加F=4 N的力，=30，试求作用在物体上的摩擦力。,2.列平衡方程。,1.取物块A为研究对象，受力分析如图。,解:,25,3.联立求解。,最大静摩擦力,因为,所以作用在物体上的摩擦力为,26,在倾角大于摩擦角f 的固定斜面上放有重G
8、的物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上作用了水平力F。试求这力容许值的范围。,取物块为研究对象。,1.设 F 值较小但仍大于维持平衡的最小值Fmin，受力分析如图。,列平衡方程,解:,27,2.设F 值较大但仍小于维持平衡的最大值Fmax，受力分析如图。,联立求解,28,3.综合条件（a）和（b），得,联立求解,列平衡方程,29,物块重G，放于倾角为的斜面上，它与斜面间的静摩擦因数为fs，如图所示。当物块处于平衡时，试求水平力F1的大小。（用几何法求解）,30,解：,由图a可见，物块在有向上滑动趋势的临界状态时，可将法向约束力和最大静摩擦力用全约束力FR来代替，这时物块在G，FR，F
9、1max三个力作用下平衡，受力如图。,根据汇交力系平衡的几何条件，可画得如图b所示的封闭的力三角形。,求得水平推力的最大值为,31,FR,F1min,G,法线,同样可画得，物块在有向下滑动趋势的临界状态时的受力图 c。,(c),作封闭的力三角形如图 d 所示。,得水平推力的最小值为,32,综合上述两个结果，可得力F1的平衡范围，即,33,图示匀质木箱重G=5 kN，它与地面间的静摩擦因数 fs=0.4。图中h=2a=2 m，=30。（1）问当D处的拉力F=1 kN时，木箱是否平衡？（2）求能保持木箱平衡的最大拉力。,h,a,A,D,34,解:,因为 FfFmax，所以木箱不滑动。,又因为d 0
10、，所以木箱不会翻倒。,解方程得,1.取木箱为研究对象，受力分析如图。,欲保持木箱平衡，必须,（1）不发生滑动，即FfFmax=fsFN。,（2）不绕点A翻倒，即d 0。,木箱与地面之间的最大摩擦力为,列平衡方程,35,2.求平衡时最大拉力，即求滑动临界与翻倒临界中的最小力F。,列平衡方程,解得,木箱发生滑动的条件为 Ff=Fmax=fsFN,木箱绕 A 点翻倒的条件为d=0，则,F=F翻=1 443 N,由于F翻F滑，所以保持木箱平衡的最大拉力为,36,制动器的构造和主要尺寸如图所示。制动块与鼓轮表面间的摩擦因数为fs，试求制动鼓轮转动所必需的力F1。,O,A,B,C,a,b,c,R,O1,r
11、,37,1.取鼓轮为研究对象，受力分析如图。,解:,列平衡方程,解方程得,38,2.取杠杆为研究对象，受力分析如图。,39,列平衡方程,由于,40,物块重G=1 500 N，放于倾角30o为的斜面上，它与斜面间的静摩擦因数为fs=0.2，动摩擦因数为f=0.18。物块受水平力F=400 N，如图所示。问物块是否静止，并求此时摩擦力的大小与方向。,O,G,F,41,取物块为研究对象，假设摩擦力沿斜面向下，受力分析如图。,列平衡方程,解得,摩擦力为负，说明平衡时摩擦力的方向与假设的方向相反，即沿斜面向上。,因为,所以物块下滑。,最大摩擦力为：,解:,42,一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h=20
12、 cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因数 fs=0.25。问作用于支架的主动力F 的作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。,h,d,B,A,F,x,43,2.列平衡方程。,3.联立求解。,1.取支架为研究对象,受力分析如图。,解析法,解:,补充方程,44,支架受力分析如图所示。,由几何关系得,解得,几何法,45,宽a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重G，重心C在其几何中心，柜与地面间的静摩擦因数是 fs，在柜的侧面施加水平向右的力F，求平衡时地面的约束反力，并求能使柜翻倒或滑动所需推力F 的最小值。,h,C,a,b,F,G,46,1.假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。,
13、解:,取矩形柜为研究对象,受力分析如图。,联立求解得柜子开始滑动所需的最小推力,补充方程,列平衡方程,47,2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。,柜不绕 B 翻倒条件：FNA0,使柜翻倒的最小推力为,列平衡方程,48,图示为凸轮机构。已知推杆和滑道间的摩擦因数为fs，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触处的摩擦忽略不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。,49,解方程可得,d,A,x,y,a,O,B,b,FB,FA,取推杆为研究对象，受力分析如图。,解:,列平衡方程,补充方程,代入式(c)解得,50,解：,取推杆为研究对象，这时应将A，B处的摩擦力和法向反力分别合成为全约束反力FRA和FRB。这样一来
14、，推杆受F，FRA和FRB三个力作用。,图解法,用比例尺在图上画出推杆的几何尺寸，并自A，B两点各作与水平线成夹角f（摩擦角）的直线，两线交于C点，如图所示。C点至推杆中心线的距离即为所求的临界值alim，可用比例尺从图上量出。,或按下式计算，得,A,x,y,a,O,B,C,b,a极限,F,f,f,FRA,FRB,51,长为l的梯子AB一端靠在墙壁上，另一端搁在地板上，如图所示。假设梯子与墙壁的接触是完全光滑的，梯子与地板之间有摩擦，其静摩擦因数为fs。梯子的重量略去不计。今有一重为G的人沿梯子向上爬，如果保证人爬到顶端而梯子不致下滑，求梯子与墙壁的夹角。,l,a,A,B,G,52,例题,以梯
15、子AB为研究对象，人的位置用距离 a 表示，梯子的受力如图。,解：,由式（b）和（c）得,53,因 0al，当 a=l 时，式（e）左边达到最大值。即就是人爬到梯子的顶端时梯子不下滑，则人在人梯子任何位置上，梯子都不会下滑。所以为了保证人沿梯子爬到顶端时而梯子不下滑，只需以a=l 代入式（e），得,A,B,f,E,C,FNB,G,FRA,式中f 为梯子与地板间的摩擦角。,或,（e）,54,在坑道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧装置楔联结。坑道支柱中的联结结构装置如图所示。它包括顶梁I，楔块II，用于调节高度的螺旋III及底座IV。螺旋杆给楔块以向上的推力FN1。已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数
16、均为fs（或摩擦角f）。求楔块不致滑出所需顶角的大小。,55,1.取楔块为研究对象，受力分析如图。,解：,列平衡方程,补充方程,解方程可得,由此得,56,将 fs=tanf 代入上式得,即,所以,57,匀质轮子的重量G=3 kN，半径 r=0.3 m；今在轮中心施加平行于斜面的拉力FH，使轮子沿与水平面成=30的斜面匀速向上作纯滚动。已知轮子与斜面的滚阻系数=0.05 cm，试求力FH的大小。,FH,A,r,O,1.取轮子为研究对象,受力分析如图。,解:,58,2.列平衡方程。,3.联立求解。,补充方程,59,重为G=100 N的匀质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在杆端B作用一垂直于AB的力
17、FB，其大小为FB=50 N。A为光滑铰链，轮与杆间的摩擦因数为fs1=0.4。轮半径为r，杆长为l，当=60 时，AC=CB=0.5l，如图所示。如要维持系统平衡，（1）若D处静摩擦因数fs2=0.3，求此时作用于轮心O处水平推力F的最小值;（2）若fs2=0.15,此时F的最小值又为多少？,60,解：,此题在C，D两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大值，系统即处于临界状态。,先假设C处的摩擦达到最大值，当力F为最小时，轮有沿水平向右滚动的趋势。,61,受力分析如图，其中D 处摩擦力未达到最大值，假设其方向向左。,62,1.以杆AB为研究对象，受力分析如图。,解得,列平衡方程,补充
18、方程,63,2.以轮为研究对象，列平衡方程。,由式(c)可得,代入式(e)得 FND=184.6 N,当 fs2=0.3时，D处最大摩擦力为,64,解方程得,最小水平推力为,受力图不变，补充方程(b)改为,此时C处最大摩擦力为,说明前面求得 不合理，D处应先达到临界状态。,3.当 fs2=0.15时,。,65,半径为R，轮上绕的滑轮上作用有力偶有细绳拉住半径为R，重量为G的圆柱，如图所示。斜面倾角为，圆柱与斜面间的滚动摩阻系数为。求保持圆柱平衡时，力偶矩MB的最大与最小值；并求能使圆柱匀速滚动而不滑动时静滑动摩擦因数的最小值。,R,B,A,MB,R,O,G,66,解：,1.取圆柱为研究对象，当
19、绳拉力最小时，圆柱有向下滚动的趋势。,最小拉力为,补充方程,列平衡方程,G,x,y,A,O,FN,Ff,Mf,max,67,2.取圆柱为研究对象，当绳拉力最大时，圆柱有向上滚动的趋势。,所以最大拉力为,补充方程,列平衡方程,x,y,A,O,G,FN,Ff,Mf,max,68,3.以滑轮B为研究对象，受力分析如图。,列平衡方程,当绳拉力分别为 或 时，力偶矩的最大与最小值为,69,4.求圆柱只滚不滑时的最小动摩擦因数fmin。,取圆柱为研究对象，列平衡方程。,补充方程,联立解得,满足只滚不滑的条件为,比较上述结果，可得,例 题 14,摩 擦,例题,70,如图所示，总重为G的拖车在牵引力F作用下要
20、爬上倾角为的斜坡。设车轮半径为r，轮胎与路面的滚动摩阻系数为，其它尺寸如图所示。求拖车所需的牵引力。,a,C,x,y,b,H,h,F,G,A,O,71,拖车的两对轮子都是从动轮，因此滑动摩擦力的方向都朝后。设拖车处于开始向上滚动的临界状态，因此前后轮的滚动摩阻力偶的力偶矩 M1f,max 和 M2f,max 都达到最大值。,解：,列平衡方程,1.取整个拖车为研究对象，受力分析如图。,72,2.再取前轮为研究对象，受力分析如图。,同样由后轮得,轮子滚动临界时的补充方程,解方程可得,列平衡方程,FN1,Fx,Fy,F1,M1f,max,O,y,x,73,系船的绳索紧绕在码头的立柱上，码头工人以20
21、0 N的力拉绳索的一端，绳索的另一端拉船的力为7 kN，如图所示。已知绳索与立柱之间的静滑动摩擦因数为0.3，问钢索应在立柱绕多少圈才能维持平衡，防止打滑？,码头工人,船,74,F1,F2,解：,由,得,所以所需圈数,75,胶带传动机构如图所示，已知胶带与胶带轮之间的静滑动摩擦因数为fs=0.35，胶带允许承受的最大拉力为2 500 N，胶带轮的半径r1=50 mm，r2=200 mm，试求电机给予胶带轮I的最大力矩MA，以及这时作用于胶带轮II的工作阻力矩MB的大小。,76,由胶带轮的平衡，容易判断紧边拉力在各胶带轮的下方。,解：,当MA达最大值时，胶带轮的平衡处于临界状态，F2达到胶带拉力的最大允许值。,即,可得,分别作胶带轮及的受力图。,77,由胶带轮的平衡得,由胶带轮的平衡得,
