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1、第六章 随机过程的基本概念,于翠屏,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,1,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,2,第六章 随机过程的基本概念,理解随机过程的基本概念，知道样本函数、状态空间的定义；了解随机过程一维分布函数、分布密度的定义，知道推广到n维的情形；掌握随机过程的数字特征：均值函数、方差函数、自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数。熟练掌握均值函数和相关函数的求法；了解二阶矩过程、正交增量过程、马尔可夫过程、独立增量过程、平稳增量过程、正态随机过程、泊松过程、维纳过程、平稳过程的定义及性质；知道两随机过程互不相关和相互正交的概念。,2023/9/6,北京
2、邮电大学电子工程学院,3,第一节 随机过程的定义,例6.1.1 考察进入某商店的顾客数。用表示单位时间内（如每天）进入商店的顾客数，则 是一个随机变量，且(),表示顾客的到达率。研究n个时间段进入商店的顾客数，则需要用一个n维的随机向量（1,2,n）来刻画。研究随着t的不断变化，在(0，t内进入商店的顾客数，则需要用一族随机变量(t)来研究。对每一个固定的t,(t)是一个随机变量。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,4,第一节 随机过程的定义,假设目标是活动的，则某一时刻测量到该目标的距离是随机变化的，可以用一个随机变量来研究，一次测量的结果是一个非负实数。在指定的n个时刻测量到该目
3、标的距离可以用一个n维随机变量 来刻画，一次测量的结果是一个分量为非负实数的n维向量(x1,x2,.,xn)。如果对该目标在整个运动过程进行跟踪测量，测量的结果就需要用一族随机变量(t)来研究,一次测量的结果是自变量为t的取非负实数的函数x(t)。,例6.1.2 考察测量到某一目标的距离。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,5,2,1,t 1,t 2,n,t n,第一节 随机过程的定义,例6.1.2 考察测量到某一活动目标的距离。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,6,第一节 随机过程的定义,随机过程的基本概念 定义.设(,F,P)为一概率空间，TR(1)，如果对任一tT，
4、有一定义在(,F,P)上的随机变量(,t)与之对应，则称(,t),tT为一随机过程，简记为(t),tT。状态空间：定义中的T是时间、长度、重量等物理量的集合，以后我们不妨将它看作时间区间。固定tT，把随机过程所取的值称为在时刻t的状态，并将所有可能的状态构成的集合称为状态空间，用E来表示。样本函数：(,t)是一个二元函数，当取定时，它是自变量为t，且定义域为T的函数，称为该随机过程的样本函数。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,7,例 抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S=H,T,出现H和T的概率均为0.5，定义：,当t固定时，X(t)是一个随机变量，当样本点固定时，得到两个样本函数co
5、st,t。状态空间为R.,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,8,第一节 随机过程的定义,例6.1.4 随机相位正弦过程，t R,服从 上的均匀分布，A和是常数。则它的状态空间是-A,A；对任意i，是样本函数。,x(t),t,第一节 随机过程的定义,例 设g(t)是周期为T，幅度为A的矩形波,是服从两点分布的随机变量，则=g(t),t0是一随机过程，g(t)和-g(t)均是它的样本函数。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,9,T,=1,=1,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,10,注意：,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,11,第二节 随机过程的有限维分布
6、函数族,对于一维和多维随机变量，利用它们的分布函数可以完全刻画它们的统计特性，对于随机过程，同样借助于分布函数来研究其统计规律。设(,t),tT为一随机过程，取定t T和x R,定义为随机过程(t)的一维分布函数，称F(t;x),tT为随机过程(t)的一维分布函数族。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,12,第二节 随机过程的有限维分布函数族,定义 设(t),tT为一随机过程，对任意正整数n及任意tiT，xiR(i=1,2,.,n)，称分布函数 的全体 为随机过程(t)的有限维分布函数族。,概率密度：,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,13,随机过程的有限维分布函数族具有下
7、列性质：,（1）对称性,（2）相容性,对nm，有：,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,14,第二节 随机过程的有限维分布函数族,定理（Kolmogorov存在定理）设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数族F，则必存在概率空间(,F,P)及定义在其上的随机过程(,t),t T,使(,t),t T的有限维分布函数族与F重合.,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,15,二维随机过程 定义 设(,F,P)为一概率空 间，T为一参数集，TR(1)，若(,t),t T和(,t),t T是定义在(,F,P)上的随机过程，则称(,t),(,t),t T为定义在(,F,P)上的二维随
8、机过程。,二维随机过程的有限维分布函数,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,16,第三节 随机过程的数字特征,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,17,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,18,均值函数和方差函数刻画了随机过程在不同时刻的统计特性，均值函数表示在各个不同时刻随机过程取值的摆动中心。方差函数表示在各个不同时刻随机过程的取值关于均值的平均偏离程度。但它们不能描述在不同时刻随机过程之间的相互关系，因而必须借助于相关函数和协方差函数。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,19,解：,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,20,解：,则：,2023/
9、9/6,北京邮电大学电子工程学院,21,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,22,在,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,23,下求X(t)的自相关函数，先求 X(t1),X(t2)的联合分布。,，,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,24,当,于是，对任意t1，t2，有,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,25,在实际问题中，除考虑一个随机过程在不同时刻的性质外，还须考虑两个不同的随机过程之间的关系。例如，通信系统中信号过程与干扰过程之间的关系，此时，我们必须引入互协方差函数和互相关函数来描述它们之间的关系。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,26,
10、2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,27,第四节 复随机过程,对上述复随机过程，定义其均值函数、方差函数、相关函数和协方差函数如下：,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,28,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,29,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,30,第五节 几种重要的随机过程,一、二阶矩过程定义6.5.1 设随机过程X(t)，tT，若对任意tT，均值函数和方差函数均有限，则称X(t)为二阶矩过程。,从而方差也有限。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,31,定理6.5.1 二阶矩过程X(t)，tT的协方差函数CX(t1，t2)存在。,2023/
11、9/6,北京邮电大学电子工程学院,32,定理6.5.2 RX(t1，t2)是二阶矩过程X(t)，tT的相关函数，则对。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,33,注意：相关函数的非负定性才是二阶矩过程的本质特性。,定理6.5.4 设CX(t1，t2)非负定，则必存在一个二阶矩过程(还可以要求是正态的)X(t)，tT以CX(t1，t2)为其协方差函数。(见定理7.2.2),由于：，若作，则有：，即 是零均值的二阶矩过程。因此，为方便起见，以后不妨假设二阶矩过程均值为零。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,34,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,35,二、正交增量过程,
12、对于零均值正交增量过程，假设 T=a,b，且X(a)=0，下面考虑X(t)的协方差函数。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,36,取t1=a，at2=t3=s，st4=t,则,于是,同理，当st时有：,从而：,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,37,三、独立增量过程,注意：零均值的独立增量过程为正交增量过程。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,38,独立增量过程在不相重叠的时间区间上随机过程增量是相互独立的正交增量过程在不相重叠的时间区间上的随机过程增量是正交的。正交增量过程不一定是独立增量过程。独立增量过程为零均值二阶矩过程时却一定是正交增量过程。,四、平稳增量
13、过程,X(t)-X(s)的分布仅与（t s）有关，与起点s无关，这种性质称为时齐性，或齐次性。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,39,例 考虑一种设备（比如说电子元件）一直使用到坏为止，然后换上同类型的设备。设N(t)表示在时间段0,t内更换设备的件数，则N(t),t0是随机过程。对于任意0t1tn，N(t1)，N(t2)-N(t1)，N(tn)-N(tn-1)分别表示在时间段0,t1，t1,t2，tn-1,tn更换设备的件数，可以认为它们是相互独立的随机变量。所以N(t),t0是独立增量过程。另外，对于任意的st，N(t)-N(s)的分布仅依赖于t-s，故 N(t),t0是平稳独立增量过程。,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,40,五、马尔可夫过程,六、正态过程,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,41,七、维纳过程,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,42,证明：,（1）显然。,（2）不妨设s t，有,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,43,八、泊松过程,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,44,九、平稳过程,即：严平稳过程的任意有限维分布不随时间的推移 而改变,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,45,解：,=DY=2,=DX=2,=0,=0,2023/9/6,北京邮电大学电子工程学院,46,
