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1、第一章单自由度系统的振动,单自由度系统的无阻尼自由振动阻尼系统的自由振动单自由度系统的强迫振动,单自由度的定义,自由度：指完整描述一个振动系统时间特性所需的最少的独立坐标数，在理论力学中用广义坐标数。只有一个自由度的振动系统，称为单自由度振动系统，简称单自由度系统。,1.1单自由度系统的无阻尼自由振动,自由振动：系统在初始激励下，或外加激励消失后的一种振动形态，是没有外界能量补充的振动。,系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象，是一种理想条件，实际的系统都有阻尼。如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世界将处于无休止的振动中。,质量-弹簧系统（m-k）,建立系统的微分方程,根据牛顿第二定律（N
2、ewton second law）建立系统的微分方程。,方程化简,对于无阻尼自由振动，我们有 因此，原方程改写为：,确定微分方程的初始条件,在t=0 时，初始位移为，初始速度为则方程的初始条件为：,和,完整形式,单自由度无阻尼自由振动的运动微分方程为：,改写,令，则上式可以写为,求解系统微分方程,上面得到的为质量m的位移x随时间t变化的二阶、常系数、齐次常微分方程。根据微分方程的理论，可知该微分方程组的通解为：,积分常数的确定,这里的A，是任意常数，由微分方程的初始条件，即运动的初始条件确定对通解两端求导,代入初始条件,当 时，从而得到,三角公式推导,根据三角函数公式令：则,幅值和相角的确定,
3、由前面推导幅值相角,初始条件和相角取值的关系,结论1,单自由度无阻尼自由振动为简谐振动位移可以表示为时间的简谐函数（正弦或余弦）,结论2 响应满足叠加原理,系统在初始位移单独 作用下的自由振动，此时，系统在初始速度 单独作用下的自由振动，此时，,系统总响应,振动系统总的响应=上述两部分响应之和叠加性是线性系统的重要特征,数字特征,振幅，振动物体离开静平衡位置的最大位移 圆频率，旋转矢量转动一周（），振动物体的位移值也就重复一次，振动周期，振动重复一次所需要的时间间隔 振动频率，单位时间内完成的振动的次数,固有特性,可见，上述三个量都由振动系统的参数确定，而与初始条件无关，是系统的固有特性，因而
4、又称作：固有圆频率、固有周期和固有频率系统的初始条件只决定振动的振幅和初相位,对于不易得到刚度或质量的系统，静变形计算固有频率,系统参数对振动特性的影响,振系的质量越大，弹簧越软，则固有频率越低，周期越长；质量越小，弹簧越硬，则固有频率越高，周期越短，这个结论对复杂的振动系统也同样的适用,分析弹簧悬挂物体的垂直振动,以振子的平衡位置为坐标原点，建立如图所示的坐标系弹簧的自有长度为，当物体从平衡位置离开时，弹簧的伸长为，则物体的隔离体受力如图所示：,微分方程和求解,可以写出系统的微分方程 由于所以，上式得化简结果仍然是：,结果,因此，系统的固有频率仍然是：由 代入上式：得到：,结论,由弹簧的静变
5、形可以计算出系统的固有频率在写微分方程的时候，可以以物体的静平衡位置为坐标原点，而不必考虑物体重力造成的弹簧静变形,作业,如图所示单摆，摆线长为，求其微分方程和固有频率,如图所示的物理摆，悬挂点和质心的距离为S，对O点转动惯量为J，求其微分方程和固有频率,能量法原理,在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统自由振动时的机械能（动能+势能）保持常值。对上式两端求导，可得,自由振动系统性质,对一个振动系统，如在动能最大时，取势能为零，则在动能为零时，势能取最大值。,常见物体的动能计算,质点或平动刚体 定轴转动的刚体 平面运动的刚体,常见物体的势能计算,拉伸弹簧 扭转弹簧 刚体的重力势能,K 为抗扭弹簧
6、系数,势能参考点的选取,势能是一个参考值，和其具体值的大小和参考点选取有关 在使用 时，要注意，势能基准值的选取，应使振动系统在动能最大时，势能为零。,【例】图示振动系统中，已知鼓轮对转轴的转动惯量，弹簧的刚度系数，物块质量，求系统作微幅振动的固有频率,【解】系统具有一个自由度，选取转角 为广义坐标，系统的动能和势能均是关于 的函数,以静平衡位置为坐标原点。设弹簧的变形为,系统的动能,系统的势能能（静平衡位置为势能零点）,设系统的运动规律为,根据机械能守恒,【例】如图的系统，使其偏转 角后放手，求系统的微分方程和固有频率,【解】,选取圆盘的扭转角 为广义坐标，箭头方向为正向，平衡位置为转角零点
7、，建立如图所示的广义坐标 系统的动能系统的势能,由系统机械能守恒,得：由于 是方程的平凡解，两边除，并令 方程化简为：,作业,系统如图，杆和弹簧的质量不计，在静平衡时水平，求其系统的微分方程和固有频率（提示：取静平衡位置为坐标原点，可不考虑重力势能，当偏角很小时，弹簧的伸长，圆球的位移和速度可以表示为：）,能量法的优点,从上面的分析可以看出，用机械能守恒求解比较方便，而且比较规范，对照大家以前的学过的Lagrange方程，大家可以看出，实际就是无约束系统Lagrange方程在保守力场下的形式。,等效（值）质量,在前面的讨论中，都假定了弹性元件的质量远远小于振动系统的集中质量，因而可以简化为一个
8、集中质量。上文所讨论的例子的弹簧也都是有一个螺旋或扭转弹簧的例子。下面看几个稍微复杂的例子，并说明等效（值）质量的意义。,【例】,如右图，弹簧在静平衡位置长度为，单位长度的质量为，求系统的固有频率。,基本假设,假设系统的变形是线性的，即当弹簧下段的位移为 的时候，在距离弹簧上端 的截面振幅为，假定系统的速度分布也满足线性要求（在端点处显然成立）设质量块的位移为，速度为,弹簧的动能,则在距离上端点距离为，长度为 的长度微元的动能为：则整个弹簧的动能：,总动能,质量块的动能：总动能：,系统微分方程,系统的势能：由：微分方程：固有频率：,等效(值)质量,称为本系统弹性元件的等值质量,【例】,如图所示
9、，悬臂梁的线密度为，端点处有集中质量，求系统的固有频率,杆刚度的确定,由材料力学可知，在静载荷 作用下，悬臂梁的挠度为：,截面处的挠度为，假定在自由振动中，各点的位移和速度仍然按照此比例。,系统的动能,梁的动能：质量块的动能：系统总动能：,系统的方程,系统的势能：根据：系统微分方程：固有频率：,结论,可见，悬臂梁的质量对振动系统的固有频率的影响相当于在自由端加上梁的等效（值）质量，此值稍小于全梁质量的,等效（值）刚度,弹簧的并联若使刚度为，的两根弹簧的下端都伸长，所需要的力所以，并联弹簧的等效（值）刚度为,推论,个弹簧并联后的等值刚度，可用数学归纳法证明。,弹簧的串联,如图所示，两个弹簧串联，
10、在端点处作用力，两个弹簧分别伸长 和，则下端点的位移：,串联弹簧的等效（值）刚度,推论，对于 个串联弹簧的等值刚度,弹性势能,1.2阻尼系统的自由振动,阻尼:两个物体间的摩擦力、气体或液体等介质的阻力、结构材料变形产生的内阻力、电磁阻力等，在振动中这些阻力习惯上称为阻尼。,当振动速度不大时，由于介质粘性引起的阻力近似地与速度的一次方成正比，方向与速度方向相反。这样的阻尼称为粘性阻尼（又称为线性阻尼）。粘性阻尼力可表示为,-C 称为粘性阻尼力系数（简称阻力系数）,无阻尼振动,阻尼振动,m-k-c 质量弹簧阻尼系统,图示有阻尼自由振动系统模型,取平衡位置O为坐标原点，轴x铅垂向下。在物体偏离平衡位
11、置至点x处，物块的运动微分方程为,称为阻尼系数（也称衰减系数）,称为阻尼比,-衰减振动的微分方程,衰减振动的微分方程,特征方程:,其解为,微分方程的解为,欠阻尼状态,当 属于欠阻尼状态，此时特征根是一对共轭复根,此时，振动微分方程的通解为：,其中,和 分别为阻尼振动的初始幅值和初始相角:,欠阻尼状态下，物体不再做等幅简谐运动，而是振幅按指数规律衰减的衰减振动。其运动曲线如图示。,衰减振动已不是周期振动，但仍具有振动的特点。习惯上将Ae t 称为瞬时振幅。,衰减振动周期为,相邻两个振幅之比称为减缩因数，记为,引入对数减缩,对数减缩 也是反映阻尼特性的一个重要参数,临界阻尼状态,当 时，属临界阻尼
12、状态。临界阻尼状态下阻力系数用 表示,此时特征方程的根是两个相等的实根，微分方程的解为,过阻尼状态,当 时，属过阻尼状态。,此时特征方程的根,微分方程的解为,此时物体的运动不具有振动的特点。,【例】图示的弹簧质量阻尼系统，物块质量为10 kg，弹簧刚度系数k=25 kN/m，阻力系数c=100Ns/m。设将物体从静平衡位置压低1 cm后无初速释放。求使振幅减少1%所需的振动次数及时间。,【解】先求系统的阻尼比，以确定运动的性质,该系统是欠阻尼衰减振动系统。衰减振动的减缩因数定义为任意两相邻振幅之比：,对数减缩,设系统振动n次，振幅减到1%,说明系统经过7.4次振动后振幅即减少到1%。所需时间为,
