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1、1,第四节 定积分的应用,一、平面图形的面积,(1)由连续曲线 y=f(x)(f(x)0),直线 x=a,x=b(ab)及x轴所围成的平面图形的面积,面积,2,若f(x)有正有负,则曲边梯形面积为,3,面积:,(2)由连续曲线 y=f(x),y=g(x),直线 x=a,x=b(ab)所围成的平面图形的面积:,4,一般地，,5,及 y 轴围成的平面图形的面积为,一般地，,6,及 y 轴围成的平面图形的面积为：,一般地，,7,解,先求两曲线的交点,选x为积分变量,例1,8,例2,围成的平面图形的面积.,解,由对称性,交点,9,解,由对称性知,例3,总面积等于第一象限部分面积的4倍,10,解,两曲线
2、的交点,例4,此法麻烦.,11,此题选 y 为积分变量比较好,选择积分变量的原则：,(1)积分容易；(2)尽量少分块.,12,解,例5,13,解,例6,两条曲线的交点为,于是,所以,14,二、立体的体积,1.平行截面面积已知的立体的体积,15,解,建立坐标系如图,截面面积,所以立体体积,例7,垂直于 x 轴的截面为直角三角形,16,微元法,设V是总量，它是一些部分量V 的和，在用定积分求总量V 时，通常采用“微元法”，具体做法是：,选定积分变量,例如设x为积分变量；确定积分区间如a,b,取其中任意一个小区间x,x+dx；求出该区间上的部分分量V的近似值，,17,旋转体就是由一个平面图形绕这平面
3、内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,2.旋转体的体积,18,a,b,体积元素:,旋转体的体积为,19,20,直线OP 的方程为,解,例8,21,例9,解,22,例10,解,利用圆面积,23,例11,解,下面再介绍一个新方法.,24,套筒法：,体积微元:,25,上例:,26,例12,解,“套筒法”推广：,27,解,例13,28,解,例13,29,解,例14,圆锥体积,30,解,(1),例15,31,解,(1),(2),导数左正右负，,为极大值点，,即为最大值点，,32,三、经济应用举例,设总成本函数为C=C(Q)，总收益函数为R=R(Q)，,其中Q为产量，,则总成本函
4、数为,则总收益函数为,所以总利润函数为,称为固定成本,33,某商品每周产量为Q，固定成本为200元，成本函数变化率为,例16,解,求成本函数.,如果该商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可获得最大利润？,成本函数为,34,销售收入为,所以利润函数为,得唯一驻点,所以当每周产量 时,利润最大,最大利润为,某商品每周产量为Q，固定成本为200元，成本函数变化率为,例16,解,求成本函数.,如果该商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出，求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时，可获得最大利润？,成本函数为,35,例17,解,所以需求函数为,36,（1）若固定成本C(0)=1(万元)，求总成本函数、总收益函数和总利润函数；（2）当产量从100台增加到500台时，求总成本与总收益的增量；（3）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？,例18 已知生产某产品x单位(百台)的边际成本函数和边际收益函数分别为,37,总收益,总利润,解,（1）总成本,38,解,（2）当产量从100台增加到500台时，总成本与总收益的增量分别为,（3）,最大利润为,39,练习：,P208 习题六,
