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1、二次型,二次型化标准型,一.向量的内积与施密特正交化过程,引言：在几何空间，我们学过向量的长两向量夹角的概念，并由此定义两向量的数量积,利用坐标分别有下面计算公式：设,，,，,（设,则,设,为了今后应用的需要，将这些概念及公式推广到n维向量。,1.向量的内积定义1,n维向量空间,中任两个向量,的内积定义为,并称定义了内积的向量空间为欧氏空间,内积具有下列性质：,（交换性）;,k为数（性质(2)，(3)称单线性）（,当且仅当,。以上证明留给读者。,定义2 设,，,称向量,的长度。长度为1的向量称单位向量。,，即为一单位向量。称将,单位化。,设,向量的长度有下列性质：,。,当且仅当,；(2).齐次
2、性：,；(3).三角不等式：,以上性质证明留给读者。,证略。,(1).非负性：,(4).柯西不等式：,由柯西不等式得：,由此可定义两非零向量的夹角：,；或,对于两非零向量,当,时，称两向量正交。这里显然等价于,又零向量与任何向量看作是正交的，且,中只要有一个为零向量，必有,因此可利用内积定义两向量正交。,称,正交，记,。,定义3 若,因此可利用内积定义两向量正交。,。,定义4 设向量组,为两两正交的非零向量，称其为正交向量组。,如果正交向量组中。每个向量还是单位向量量则称其为标准正交向量组或正交规范向量组。如它们还是向量空间的基底则分别称其为正交基或标准（规范）正交基。即正交规范组（基）满足,
3、定理1 设,为正交向量组，则,是线性无关的。,例1 求与向量,都正交的向量集。,都正交的向量为,由,得齐次线性方程组,解：设与,即为与,解得,都正交的向量集,2.施密特正交化方法,是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组,使其与,等价。,，,设,其作法分两步(1).正交化，令,，,，,，,是正交规范向量组，且,等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交化过程。（方法）,仍与,显然,(2).单位化（规范化）：取,例2 设,用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。解：取,单位化得,3.正交矩阵与正交变换定义5方阵A满足,则称A为正交矩阵。由定义不难得到：,A为正交矩阵,。,令,由上式不难
4、得到：A为正交矩阵,即A的行（列）向量是两两正交的单位向量,的正交规范基）,即是,例3令,验证A为正交矩阵,解：因列向量组为两两正交的单位向量，故为正交矩阵。,定义6 设,则称线性变换,是正交变换。,是正交变换。,例4 证明线性变换,解：线性变换的矩阵为,其行（列）向量是两两正交的单位向量故为正交矩阵，故上述线性变换是正交变换。上述线性变换代表平面上的一个坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换是正交变换,下面介绍正交变换的性质：1）.设,为一正交变换，则,即正交变换保持向量长度不变。2）设,为一正交变换，对任意,则有,即正交变换下向量内积不变。由于正交变换保持向量长度、内积不变，因而保持两向量夹角及正交性不变，因此施以正交变换后图形的几何形状不变，因此可利用正交变换研究图形的几何性质。,
