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1、1,课程名称：计算结构力学及有限元 第一篇有限元基础 参考教材：曾攀编有限元基础教程高等教育出版社出版参考教材：徐芝纶编弹性力学简明教程（第三版）高等教育出版社出版 任课教师：张晓志,2,第1章 绪 论1.1 有限元方法概念及相关问题1.2 弹性平面应力或应变问题,3,1.1 有限元方法概念及相关问题1.有限元方法概念2.有限元方法的分析步骤3.有限元方法的优点与应用4.有限元基础课程的主要教学内容,4,1.有限元方法概念 结构力学中的位移法，是杆系结构有限单元法的基础 计算结构力学中的矩阵位移法，就是杆系结构有限单元法 弹性力学有限单元法离散连续介质（或广义离散结构）的矩阵位移法 有限元法，
2、简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学 问题。即首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结 构力学方法进行求解的一种数值方法。仅限于讨论弹性力学平面问题的（位移）有限单元法 位移法，力法，混合法,5,2.有限元法分析流程或步骤,6,把连续体变换成为离散化结构举例。弹性悬臂板的剖分与集合。划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。,单元、节点需编号,7,3.有限元法主要优点与应用,（1）物理概念清晰，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数学分析）（2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等问题；动与静；线性与非线性）（3）计算规格化（
3、采用矩阵表示），便于计算机编程。（4）无需建立和求解偏微分方程。有限单元法与有限差分法的对比？,8,4.有限元基础课程的主要教学内容A、有限元分析方法B、有限元程序设计C、有限元程序应用,9,1.2 弹性平面问题1.弹性力学基本假定2.两种弹性力学平面问题3.弹性平面问题基本量及方程的矩阵表示4.边界（或支撑）条件5.弹性平面问题的经典解法,10,1.弹性力学基本假定 连续性 完全弹性 均匀性 各向同性以上四条合称为理想弹性体假定 小变形假定（线性叠加原理适用）,11,2.两类弹性力学平面问题 平面应力问题 平面应变问题,12,平面应力问题有限元分析的目的A、获得单元位移场B、获得单元应变场C
4、、获得单元应力场,13,两种平面问题都是空间问题的近似,弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。,但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。,14,平面应力问题,厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为Z轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的
5、外力，所以板面上各点均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三个应力分量，即，所以称为平面应力问题。,15,平面应力问题,三维应力问题,可以简化为：,16,平面应力问题的应变,对应的剪应变：由物理方程中的第三式可见：不独立，在分析问题时不必考虑。于是应变矩阵简化为：,17,平面应力问题的物理方程,物理方程简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：,18,平面应力问题矩阵物理方程,矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵D 为：,19,平面应力问题的几何方程,只有 三个应变分量需要考虑，所以三维几何方程简
6、化为：,20,平面应力问题,弹性体的虚功方程简化为,21,平面应变问题,一纵向(即Z向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，如图1-11所示。由于物体的纵向很长(在力学上可近似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy面，任一纵线为Z轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿Z方向变化，它们都只是x和y的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有Z方向的位移，即 w=0 因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平面应变问题。,22,平面应变问题的几何方
7、程,既然w=0，且u及v又只是x和y的函数，由空间问题几何方程可得。于是矩阵几何方程简化为方程,23,平面应变问题的物理方程,因为由空间物理方程可得又由物理方程1中的第三式可得：在平面应变问题中，虽然，但 一般并不等于零，不过它可以由 及 求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量 需要考虑。,24,平面应变问题的物理方程,物理方程可以简化为：,25,平面应变问题物理方程的矩阵表示,将(1-25)式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：弹性矩阵D则为：,26,平面应变问题的适用条件,需要说明一下，工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z向
8、长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。,27,平面应力与应变问题的弹性矩阵,平面应力情况下的弹性矩阵平面应变情况下的弹性矩阵二者关系：,28,平面应力问题特定弹性体在特定荷载作用下，如果其应力状态满足条件：,称该弹性体处于平面应力状态，称相应的问题为平面应力问题。此时，,29,平面应变问题特定弹性体在特定荷载作用下，如果其应变状态满足条件：,称该弹性体处于平面应变状态，称相应的问题为平面应变问
9、题。此时，,30,3.弹性平面问题基本量及方程的矩阵表示,31,第二次课第6章 用有限单元法解平面问题63 位移模式与形函数（三结点三角形单元的单元分析）,32,回顾：有限元法分析流程或步骤,33,单元分析的目的 建立结点位移与结点力之间的转换关系,结点位移,结点力,34,单元分析 取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：,35,单元分析63 单元位移模式与形函数1、单元位移模式概念与相关问题2、形函数概念与性质3、位移模式与解答的收敛性,36,1、单元位移模式概念与相关问题1）位移模式概念
10、2）全局位移函数与局部（单元）位移函数3）位移模式与单元结点位移之间的关系,37,1、单元位移模式概念与相关问题,1）位移模式概念“位移模式”也称“位移函数”，是单元内部位移变化的数学表达式，是坐标的函数。,38,1、单元位移模式概念与相关问题,2）全局位移函数与局部（单元）位移函数一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取全局位移函数不是一件容易的事情。有限元方法的基本思想是采用有限多个局部位移函数逼近全局位移函数。当单元划分得足够小时，把单元位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精度。这是有限单元法特有的重要优势之一。,39,不同类型单元会有不同的
11、位移函数。这里，以三结点三角形单元为例，说明设定位移函数的有关问题。,一个三节点三角形单元，其节点i、j、m按逆时针方向排列。每个节点位移在单元平面内有两个分量：,（6-1）,一个三角形单元有3个节点（以 i、j、m为 序），共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移列阵为：,3）位移模式与单元结点位移之间的关系,40,本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点位移的关系）为简单多项式：,(6-3）,式中：a1、a2、a6待定常数，由单元位移的6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、a3、a5、a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是连续函数。,(6-2）,41,待定系数的确定,(
12、6-4）,现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定常数a1、a2、a6。设节点i、j、m的坐标分别为（xi、yi）、（xj、yj）、（xm、ym），节点位移分别为（ui、vi）、（uj、vj）、（um、vm）。将它们代入式（6-3），得式（6-4）,(6-3）,42,从式(6-4）左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为,(6-5）,43,式中A为三角形单元的面积，有,(6-6）,特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号的次序必须是逆时针转向，如图所示。至于将哪个节点作为起始节点i，则没有关系。,将式(6-5）代入式(6-3）的第一式，整理后得,同理,44,(6-7）,式中,45,
13、2、形函数概念与性质1）形函数的概念2）形函数的确定3）位移函数与形函数的关系4）形函数的性质,46,1）形函数的概念,形函数是假定单元结点位移分量为（0，1）状态时所对应的单元位移函数。,形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。,47,令,(6-9）,位移模式(6-7）可以简写为,(6-10）,式(6-10）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又称插值函数。,48,形函数的行列式表达,(6-9）,49,用形函数把式(6-10）写成矩阵，有,缩写为,(6-11）,3）位移函数与形函数的关系
14、,50,N为形函数矩阵，写成分块形式：,(6-12）,其中子矩阵,(6-13）,I是22的单位矩阵。,51,形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具有以下性质：,性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有,4）形函数的性质,52,（i、j、m）,性质2 在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对 于本单元，有,53,也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘积的性质（等于行列式值或0）证明。,54,性质3 在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有,证,55,性质4 形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为,(6-14）,式中 为 边的长度。,在三角形
15、的形心，1/3在三角形的ij和im边的中点，1/2,56,(6-3）,补充说明：位移函数与形函数的推导,形函数是假定单元结点位移分量为（0，1）状态时所对应的单元位移函数。,57,计算单元位移函数举例,例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵和位移函数,58,计算单元位移函数举例,由三角形的面积,59,计算单元位移函数举例,(6-11）,举例验证形函数性质；加权平均；内插,60,3、位移模式与解答的收敛性,61,（1）位移函数的个数等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有u和v，与此相应，有2个位移函数；,（3）位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以便用单元节点位移
16、确定位移函数中的待定常数。本单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个待定常数。,（2）位移函数是坐标的函数 本单元的坐标系为：x、y；,62,（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。,（5）位移函数中必须包含单元的常应变。,（6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。,条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。条件（6）是单元的位移协调性条件。理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有限元解收敛于真实解的充分条件。容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必要与充分条件。,63,位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（4）（6）的要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数一般应等于单元节点自由度数。,64,例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。,对任一单元，如单元，取位移函数：,65,、单元的位移函数都是,可以看出：位移函数在单元内是连续的；,以、的边界26为例,两条直线上有两个点重合，此两条直线必全重合。,位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。,
